最佳平方逼近的多元二次函數最值問題

岑達康，汪志波

（廣東工業大學應用數學學院，廣東廣州510520）

定義［1］對f（x）∈C［a，b］及C［a，b］中的一個子集φ=span｛φ0（x），φ1（x），…，φn（x）｝，ρ（x）為非負函數，若存在S*（x）∈φ，使

則稱S*（x）是f（x）在子集φ?C［a，b］中的最佳平方逼近函數。

1 求解最佳平方逼近函數

若S*（x）∈φ，其中φ0（x），φ1（x），…，φn（x）線性無關。由式（1）可知求解S*（x）等價于求多元函數

在最小值處 a0，a1，…，an的取值。

式（2）可展開成

2 數值實驗

例1 設f（x）=ex，求［0，1］上的一次最佳平方逼近多項式。

圖1為例1的結果圖。

圖1 最佳平方逼近多項式

3 結語

數值分析教材中通常將最佳逼近函數問題通過多元偏導的方法轉換成極值問題予以證明。本文將最佳逼近函數問題與多元二次函數最值的問題聯系起來，依據線性無關函數族的格拉姆矩陣的正定性，得到最佳平方逼近函數以及誤差。