“見”垂直 “想”勾股 “用”方程

文 徐 陽

勾股定理是各省市中考的必考內容。同學們要想熟練掌握并應用勾股定理，首先要分析圖形的特征，理清線段之間的關系，再將條件匯集到同一個直角三角形中，最后利用勾股定理求解。

例1（2020·江蘇蘇州）如圖1，在△ABC中，已知AB=2，AD⊥BC，垂足為D，BD=2CD，若E是AD的中點，則CE=_____。

【解析】條件中僅有的已知線段AB與待求線段CE有何關聯？因為AD⊥BC，所以AB與CE分別是Rt△ABD與Rt△CDE的斜邊，在直角三角形中已知兩邊，可利用勾股定理求第三邊。本題中雖然兩組直角邊的長度都未知，但給出了線段之間的關系。我們不妨用方程思想，設DE=x，DC=y，則AD=2x，BD=2y，在Rt△ABD中，AB2=（2x）2+（2y）2=4x2+4y2=4，在Rt△CDE中，CE2=x2+y2=1，即CE=1。

圖1

圖2

【變式】如圖2，在△ACB中，∠C=90°，AB的垂直平分線分別交AB、AC于點M、N，AN=5，AM=4，則NC的長度為_____。

【解析】連接BN，由垂直平分線的性質定理，得到AN=BN這一組等量關系，并可得Rt△AMN與Rt△BMN中的所有線段長，但對于Rt△ACB與Rt△NCB中的線段，依舊無法直接運用勾股定理求解。仿照例題思路，設NC=x，則在 Rt△NCB中，CB2=52-x2，在 Rt△ACB中，（52-x2）+（5+x）2=82，解得x=1.4。我們用了兩次勾股定理來建立方程解決問題，那么本題是否有其他解法呢？

解法2：Rt△ACB與Rt△NCB有公共邊BC，我們可以借助BC搭橋梁來構建方程。即在 Rt△ACB中，AB2-AC2=BC2，在 Rt△NCB中，NB2-NC2=BC2，由此可得AB2-AC2=NB2-NC2，然后列方程求解即可。

解法3：由垂直可以聯想到勾股定理，也可以聯想到三角形面積。在△ANB中，MN是AB邊上的高且這兩條線段長度均可求，若將CB看作AN邊上的高，利用面積法也可以快速求解，即由此可求出BC。注意要求的是NC的長，切勿答非所問。

【小結】上述問題主要應用了方程思想。方程思想是初中階段一種非常重要的解題思想，有助于同學們在雜亂的條件中理清線段之間的數量關系，進而找到解決問題的方法。解法2可用來解決在銳角三角形或鈍角三角形中，已知三邊，求高的問題。高線可構造出兩個有公共邊的直角三角形。利用公共高搭橋梁找到等量關系，最后運用勾股定理列方程即可。在垂直條件較多的圖形中，同學們還可以考慮使用面積法來求解，要特別注意鈍角三角形在形外的高線。當然，隨著學習的深入，上述問題還會有其他的解法，遇見垂直也將引發我們更多的聯想。同學們要慢慢習得“由一片葉子，想到一棵樹，再想到一片森林”的本領。