基于分頻編碼的彈性波全波形反演

邵祥奇 何兵壽* 史才旺

(①中國海洋大學海底科學與探測技術教育部重點實驗室，山東青島 266100； ②青島海洋科學與技術國家實驗室海洋礦產資源評價與探測技術功能實驗室，山東青島 266100； ③南方科技大學地球與空間科學系，廣東深圳 518000)

0 引言

近年來，全波形反演(FWI)方法在理論和實際應用方面均取得了較大進展[1-5]。但是，FWI的龐大計算量和過低的計算效率是限制該方法進入三維地震勘探領域的瓶頸之一。目前，業界提高反演效率的思路主要有兩種： 一是提高收斂速度； 二是提升正演(反演需要不斷進行多次正演)計算速度。前者通過改進反演算法減少迭代次數，降低計算量[6-10]； 后者采用高性能的計算機硬件提高計算效率或采用降維思路降低計算量[11-26]。

本文主要討論第二種思路。FWI大部分運算量集中在正演計算過程中(FWI的每次迭代至少需要三次正演)，因此業界普遍認為高效的正演計算是解決FWI反演效率問題的有效途徑，采用降維思路減少運算量是提高正演效率的有效方法。降維技術的本質是采用某種壓縮方式減少參與反演的炮數，主要方法包括震源編碼法[16-20]、炮采樣法[21-23]和主成分分析法[24-28]等。

Romero等[16]在地震資料的逆時偏移處理中提出了相位編碼技術，將多炮數據壓縮為幾個超級炮進行計算，但編碼算法會在偏移結果中產生串擾噪聲。Krebs等[17]將相位編碼技術引入FWI領域，利用隨機的極性編碼函數壓制反演中的串擾噪聲，將所有炮轉換成一個超級炮集記錄并進行反演，提升了運算效率。此外，學者們還提出了平面波編碼[18]、頻域隨機相位編碼[19]、頻率組編碼[20]、頻域分割編碼[27]等方法，完善并豐富了編碼方案。

炮采樣法也是一種高效的加速策略。Díaz等[21]提出了一種隨機抽取炮集進行反演的方法，每次迭代時僅使用部分炮，在保證效果的同時能夠減少運算。Ha等[22]提出了在Laplace域循環炮采樣，不同于隨機炮采樣，該方法循環使用炮集中的所有炮，使反演中每一炮的使用次數較均衡。Shi等[23]將炮采樣技術應用到頻率多尺度FWI中，在每個頻率段均隨機抽取炮集參與反演，該方法不僅能加速運算，而且不會引入額外的串擾噪聲。

主成分分析法也是一種經典的降維方法，Liu等[24]將主成分分析法應用于FWI，減少了炮集的數量，提高了計算效率。段超然等[25]在高頻部分使用主成分分析法，使FWI在缺少低頻成分時也能高效收斂。

震源編碼技術實現簡單、效果明顯，是目前應用最廣泛的加速方法，但同時也存在一些缺陷，主要表現在傳統震源編碼技術嚴重依賴于觀測系統。震源編碼技術應用的前提是采用檢波點固定的方式觀測，因而在模擬同時激發震源時，無法對單炮獲取特定炮檢距的地震記錄。對于滾動排列觀測系統，震源編碼會造成模擬與觀測資料的不匹配。鑒于此，Choi 等[29]提出了基于歸一化互相關目標函數的波形反演，提升了震源編碼對海上拖纜資料的反演精度。夏冬明等[30]在此基礎上發展了基于歸一化局部互相關目標函數的反演方法，進一步改善了對拖纜數據的反演效果。Huang等[31]提出了基于分頻編碼的最小二乘偏移方法，能夠真正實現拖纜資料中多炮數據的完全分離。Zhang等[32]將分頻編碼應用于聲波FWI，并且討論了其在計算效率、內存消耗、抗噪性方面的優點。

在前人研究的基礎上，本文主要解決目前編碼方法只適用于特殊觀測系統的缺陷，提出了一種基于震源分頻編碼的混合域彈性波FWI方法。首先為同時進行正向延拓的每一炮賦以不同的頻率，并利用該頻率對應的諧波代替原時間域子波進行正演，通過相位靈敏度檢測(Phase Sensitivity Detection，PSD)提取單頻波場，從而實現各炮頻率域波場的完全分離；然后實現多炮編碼反演。這樣既能壓制炮間串擾噪聲，又能對每一炮波場和記錄實現靈活處理，可以適應排列滾動的觀測系統。

1 震源編碼技術

混合域彈性波FWI的運算量和炮集數成正比，運用震源編碼技術將多炮數據進行組合、正演，可有效減少計算量。震源編碼技術借助于編碼函數，將炮集疊加、組合得到超級炮記錄，利用常規方法對該超級炮記錄進行反演。

在頻率域，超級炮記錄可表示為

(1)

式中： 上標“～”表示超級炮；dn是第n炮得到的觀測地震記錄；γn表示第n炮的編碼函數序列；NS為總炮數。

相對應的超級炮震源可表示為

(2)

(3)

(4)

式中：Pn是第n炮的正傳波場；Bn是第n炮的殘差波場。

推導得出超級炮對應的梯度

(5)

式中：E(m)為目標函數，m為待反演參數，本文指速度； R(·)表示取實部；上角標“*”表示取共軛；A是波動方程的阻抗矩陣，滿足AP=s，s為震源子波。

2 分頻編碼技術

2.1 分頻編碼策略

本文把分頻編碼技術引入彈性波波形反演中。其核心思想是：在正演過程中，同時對多個炮記錄進行正向延拓，給每一炮賦以不同頻率的諧波震源，使同時正向延拓的各炮波場在頻譜上互不重合。同時，在炮點波場正傳和殘差反傳過程中，采用相位靈敏度檢測技術提取每炮的單頻波場，實現各炮波場的完全分離，避免炮間串擾。

2.2 基于相位靈敏度檢測的分頻多炮正演

分頻編碼技術的核心在于給每炮賦以不同頻帶的震源函數，避免多炮同時延拓中的炮間串擾。震源的頻帶一般由震源函數的中心頻率控制，不同炮可以選擇不同主頻的震源函數。但由于不同主頻的震源函數往往具有一定的頻帶寬度，當炮數較多時，難以完全分離多炮頻譜，利用諧波作為震源可以避免這一缺陷。

利用諧波震源進行正演，首先需要提取正確的波場信息。本文引入PSD正演方法實現頻率域波場的準確提取。Nihei等[26]提出的基于PSD的正演方法用諧波作為震源，在正演過程中可以很方便地提取出不同頻率的單頻波場，實現多震源的同步模擬且互不干擾。

PSD方法是利用一個參考信號和參考信號的90°相移信號計算原諧波信號的頻譜。對于含有兩個頻率的信號，原信號εsig用振幅Esig和相位θsig表示為

εsig=Esig1cos(ω1t+θsig1)+Esig2cos(ω2t+θsig2)

(6)

式中下標“1”和“2”分別對應這兩個頻率。

選取兩個不同的頻率ω1和ω2， 令它們滿足以下關系

(7)

式中k為正整數。

以ω1為例，設計如下參考信號和相移信號

(8)

式中 ref1表示參考信號。

ω1對應的單頻信號的振幅和相位[26]可以表示為

(9)

其中

(10)

Nihei等[26]證明PSD算法與傅里葉變換的功能是相同的，但是前者更適用于對諧波信號進行處理。對只包含幾個等間隔頻率的信號，PSD算法僅需要選擇很小長度的信號進行運算就能夠得到其頻率響應，效率更高。

在時間域正演過程中，通常使用Ricker子波作為震源，但PSD算法需要以諧波震源作為輸入。為了得到與常規正演方法等價的結果，需要建立Ri-cker子波和諧波震源之間的數學聯系。實際上，諧波震源能夠視為Ricker子波的某一個或幾個頻率成分，所以僅需要將Ricker子波做離散傅里葉變換后，提取出某幾個頻率的響應，再做傅里葉反變換，就能得到諧波震源。處理實際資料時，對真實的子波做類似操作即可。當然，這樣做的前提是能夠獲取較為準確的震源子波，否則使用不正確的子波將會導致錯誤的反演結果。子波的提取是波形反演需要解決的一個重要問題，但是本文的研究目標是加快反演速度，暫不考慮如何提取子波的問題。另外，本文方法可以與當前的不依賴于子波的反演方法相結合[33-35]，即使利用錯誤的震源子波進行反演也能得到正確的反演結果。

本文基于PSD的彈性波正演方法流程如圖1所示。

利用PSD算法實現分頻多炮正演實驗可以驗證PSD算法的有效性。以簡單的均勻介質為例，網格數設為150×200，網格間距為10m，縱、橫波速度分別為2500、1500m/s。設有4個炮點，炮點深度為20m，炮點等間隔分布，橫向坐標分別為400、800、1200和1600m，原始子波是主頻8Hz的Ricker子波，時間長度設為4s，四個炮點分別同時正演2、3、4、5Hz的單頻波場。

圖1 基于PSD的彈性波分頻編碼正演流程

利用PSD方法進行正演所得到的各炮點頻率響應如圖2所示，其中幾乎見不到多炮的串擾。

為精確驗證PSD算法能夠有效避免炮間串擾，做了如下對照實驗：每次只設置一個震源一個頻率，其他參數與圖2保持一致，得到不含炮間串擾的波場。將兩次實驗結果中橫坐標1km處不同深度的波場值繪制成圖3。對比可知，兩次實驗得到的波場幾乎一致，這也說明PSD算法具有足夠的精度，可以在分頻率的多炮正演中得到準確的頻率域波場值。

2.3 分頻編碼的彈性波混合域FWI

從理論上講，分頻編碼技術不會引入額外噪聲[31]。本文應用分頻編碼方法以實現混合域的彈性波反演。與Huang等[31]實現的最小二乘偏移方法不同，混合域FWI一般采用多尺度反演策略，在每一個尺度下，可供使用的頻段是受限的，所以頻率的選擇在分頻編碼混合域反演中非常重要。

圖2 分頻編碼單次正演的各炮頻率響應(實部)

圖3 分頻編碼與單諧波震源波場值對比

通常而言，隨多尺度反演的遞進，可供選擇的頻段逐漸拓寬。如果對每一尺度反演都設置相同的頻率數目，結合上述兩個限制條件，就不難得出如下結論：小尺度反演時，頻率間隔大，Δω較大而PSD計算時長??；大尺度反演時，頻率選擇較密集，Δω較小而PSD計算時長大。反之，若Δω固定不變，則在大尺度反演時，可供選擇的頻率更少，進一步造成能同時正演的炮數變少，正演次數就會明顯增加。本文選擇用較多的頻率個數完成多炮同時正演。具體到反演過程中，首先確定反演使用的頻率個數M，把每M炮數據組合成為一個超級炮(組合方法可以有多種，本文選擇把空間上鄰近的M炮數據進行組合)；然后每次迭代前把M個頻率的數據隨機分配給組合中的M炮，讓迭代過程中各炮使用的頻率不斷變化，這樣可以使原始數據得到充分利用。

3 模型算例

3.1 分頻編碼對FWI的加速效果

為證明本文方法的加速效果，用部分Overthrust模型的正演記錄進行測試。圖4為部分Overthrust縱、橫波速度模型，該模型網格數為500×160，網格間隔為25m×25m。正演記錄的炮點均勻分布于地表，第一炮位于0m處，炮間距為125m，共得到100炮合成地震記錄，全排列接收，道間距為25m。反演所用的初始模型(圖5)是將圖4進行高斯平滑得到的。

圖4 部分Overthrust速度模型

圖5 反演使用的初始速度模型

采用多尺度反演策略，每個頻率組包含10個頻率(表1)，反演分5個頻段，每個頻段迭代15次。分別采用常規全部炮反演、傳統震源編碼(極性編碼)反演和分頻編碼反演，并將三者反演結果(圖6)進行對比。

表1 分頻編碼反演的頻率組信息

圖7為三種方法的誤差對比， 反演誤差定義為[19]

(11)

式中：mFWI和mTRUE分別為反演結果和真實模型的彈性參數； ‖·‖2表示L2范數。

從圖6、圖7可以看出，分頻編碼方法和極性編碼方法的反演精度與常規方法相近。但就計算量而言，由于每次迭代需要4次正演(梯度計算需要兩次，步長估計需要兩次)，因此常規全部炮反演需要計算30000(100×5×15×4)次正演，而本文方法與極性編碼一樣，將10炮數據組合為1炮進行反演，因此正演次數僅為常規方法的十分之一。

當然，計算效率的提升與組合的炮數有關。通常反演中能夠進行組合的炮數受頻帶寬度的影響，不能把任意多的炮集進行組合。此算例中，每個超級炮都由固定的10炮數據組成。而在一般的多尺度反演中，大尺度反演時給定的頻帶寬度往往較小，能夠選擇的頻率點(亦即能夠進行組合的炮數)也比較少；隨著尺度變小，頻帶可以更寬，從而可以用更多的炮進行組合。但是由于混合域算法中需要存儲每個頻率的波場，更多的頻率點意味著存儲量的增加，同時也意味著需更多的計算完成PSD的頻率分離，因此最終選擇多少個頻率需視情況而定。

圖6 全排列接收時不同方法縱波速度(左)、橫波速度(右)反演結果

圖7 誤差分析對比

3.2 滾動排列觀測系統反演測試

應用傳統震源編碼方法反演時，每炮的接收排列必須相同且覆蓋整個工區，但是排列滾動的數據只在炮點附近一定范圍內接收，遠炮點并沒有數據，所以面對滾動排列觀測系統傳統編碼方法反演效果很差。

仍以圖4所示的部分Overthrust模型為例，采用中間放炮的方式進行觀測，炮點均勻分布于地表，第一炮位于0m處，炮間距為125m，每炮300道接收，道間距為25m，在模型兩邊排列固定不動，炮點滾動，共得到100炮兩分量記錄。首先采用傳統震源編碼反演方法(極性編碼)對合成記錄進行反演，反演結果如圖8a所示。顯然，常規震源編碼方法反演得到的結果與真實模型相差很大。由圖8a可以看出，橫波的反演結果優于縱波，這與本文的實驗條件有關。傳統震源編碼方法應用于排列滾動的地震數據時，誤差主要源于排列范圍之外(遠炮檢距)的數據缺失。具體到本文的實驗，采用爆炸震源激發，橫波分量均來自于波的類型轉換，因此占比較少。遠炮檢距存在很強的縱波分量，尤其是直達縱波，這一部分數據的缺失會對縱波反演產生極大的不利影響。結合圖6給出的反演結果，可以看出，傳統編碼方法在全排列接收時可以給出正確的反演結果，但是在滾動排列情況下會受到嚴重的干擾。

利用本文的分頻編碼方法對排列滾動的數據進行反演，結果如圖8b所示。由圖可見本文方法的反演結果結構清晰，與真實模型基本一致，遠遠優于圖8a的反演結果。計算效率方面，本文基于GPU集群環境利用MPI+CUDA實現多炮并行反演，采用16張Tesla K80運算。反演共進行75次迭代，分頻編碼方法完成反演用時70min，極性編碼方法用時66min，分頻編碼方法耗時略高。分頻編碼方法首先需要對記錄做分頻處理；其次，本文在實施相位靈敏度檢測時需要適當延長正演時間，因此產生了一些額外計算量。但是這些額外的計算量相比于波場正演和反傳而言影響較小，所以整體上兩種編碼方法計算效率相近。

圖8 流動排列接收時不同方法縱波(左)、橫波(右)速度反演結果

4 結束語

分頻編碼方法在不明顯降低反演精度的基礎上，能夠將運算效率提升數倍，有效減少正演次數，減小全波形反演的計算量。本文的分頻編碼方法首先利用諧波震源實現分頻的多炮同步正演，再利用基于相位靈敏度檢測的波場分離方法，實現不同炮波場的完全分離，從而能夠在梯度計算中避免引入多炮串擾噪聲。另外，本文使用的這種分離方法僅依靠頻率信息，與震源、接收點的排列布置無關，能夠適用于滾動排列觀測系統，彌補了傳統震源編碼方法在觀測系統適應性上存在的不足。