Hilbert空間中帶約束集優化問題的迭代算法

崔云玲

(阜陽師范大學 數學與統計學院，安徽 阜陽 236037)

設H是具有內積(·,·)和范數‖·‖的Hilbert空間，C是H的非空閉凸子集。F:C→H為連續單調映像，VI(C,F)為變分不等式的解集。Ti為連續偽壓縮映象，Fix(T1)為T1的不動點集。若對每個j=1,2,…,M，φj:C→R為實值函數，Aj為非線性映象，Θj為一個雙重函數，則GMEP(Θj,φj,Aj)表示廣義混合平衡問題Θj(x,y)+φj(y)-φj(x)+(Ajx,y-x)≥0的解集。

本文研究約束集為

其中u∈C,μ＞0為常數，當f為偽壓縮映象，γ＞0時，h(x)為關于γf的勢函數。

事實上，類似于(1)的優化問題已經有所研究，見文[1-5]。最近，嚴格偽壓縮映象也被用來解決類似的優化問題，Jung[6]提出了如下的迭代算法

其中u∈C,μ＞0為常數，映象S:C→H由Sx=kx+(1-k)Tx定義。已經證明{xn}強收斂到一點∈Fix(T)，是優化問題(1)的唯一解。另一方面，也有一些迭代法被用來研究變分不等式和不動點問題，同時涉及逆強單調映象和非擴張映象，見文[7-17]。

受文[3，5-6]的啟發，本文首先對其優化問題的約束集進行強化，并提出一種迭代求解的方法，然后證明了該序列強收斂于變分不等式、不動點和廣義混合平衡問題的公共解。

1 預備知識

2 主要結果

本部分引入一個迭代算法，并尋求它在連續單調映象的變分不等式問題的解集、有限連續偽壓縮映象的不動點集和實Hilbert空間中一般有限混合平衡問題的解集。這三個解集的交集中一公共元，該元即優化問題(1)的解，最后驗證其收斂性。

3 小結

綜上所述，本文在實Hilbert空間中引入了優化問題的一般迭代法，綜合考慮變分不等式問題、連續偽壓縮映象和廣義混合均衡問題的解集的交集為約束集，在該約束集上引入了一般隱式迭代法，并對其收斂性進行了分析研究。本文的研究還可以把隱式迭代法離散化，嘗試得到一般顯式迭代法，該迭代法的收斂性有待進一步研究。