基于能量分析的欠驅動飛行吊運系統協同控制

梁 瀟，王 楊，何 慰，孫 寧，方勇純

(南開大學人工智能學院機器人與信息自動化研究所，天津 300350;南開大學天津市智能機器人技術重點實驗室，天津 300350)

1 引言

機電系統與人們生活密切相關，隨著精密加工和各類先進控制算法的發展，對機電一體化技術的研究極為關鍵[1-3].作為一類應用廣泛的機電系統，旋翼無人飛行器能夠在空中懸停，具有良好的靈活性和較強的機動性，已在搜索和救援、環境監測和貨物運輸、航天拍攝、林火監測等多個方面發揮著重要作用[4-8].值得一提的是，旋翼飛行器相比地面移動機器人受地勢、地形影響較小，極大地擴展了其作業范圍.由于這一優勢，借助夾具、機械臂、吊繩懸掛3種方式，旋翼飛行器可以在地面車輛難以到達的環境下承擔各種運輸任務.

夾具抓握，即在飛行器底端安裝夾持器以攜帶負載飛行[9-10]，但這種方式需要設計復雜的夾持器電子與機械結構，造成了更多的成本投入，同時也將影響旋翼飛行器的轉動特性，降低飛行的靈活性.機械臂操控，即在飛行器底端安裝自由度更高的機械臂攜帶負載[11-12]，能夠延長負載可以到達的空間范圍，但機械臂的使用同樣會對系統機動性造成很大影響，此外，飛行器和機械臂的運動將對彼此產生擾動，為控制帶來極大困難.借助夾具和機械臂的運送方式會影響運輸的平穩，且成本較高，而通過吊繩運送負載可有效避免上述難題，懸掛運送的方法保留了飛行器的機動性，且不受負載體積的限制，因此應用最為廣泛.

利用吊繩進行運送時，需要將負載運送至指定位置，由于負載的運動無法直接控制，可能對周圍帶來安全隱患，因此抑制并消除負載擺動極為關鍵.針對旋翼飛行器吊運系統，有開環控制和閉環控制兩類方案.輸入整形[13]、動態規劃[14]、基于混合整數二次規劃的軌跡生成算法[15]、基于偽譜法的時間最優運動規劃[16]是典型的開環控制方案.與開環控制相比，閉環控制方案由于利用瞬時反饋信號，因而往往具有更好的控制性能.在文獻[17]中，基于輸入狀態穩定理論，研究人員對系統解耦，設計了兼顧飛行器定位和負載消擺的控制器.Guerrero等人[18-19]采用互聯及阻尼分配的無源性控制方案，實現了運送過程中負載擺動的抑制與消除.文獻[20]設計了一種非線性控制器，并通過李雅普諾夫方法和拉塞爾不變性原理對閉環系統的穩定性進行了證明.Yu等人[21]為實現負載軌跡跟蹤，提出了基于反步法的非線性控制策略，能夠保證閉環系統漸近穩定.文獻[22-23]基于飛行吊運系統的串級特性，提出了非線性分層調節控制方案，能夠針對系統內外環分別設計控制輸入，給設計過程帶來了極大便捷，且控制形式簡潔，便于調節.

如前所述，目前對飛行吊運系統的研究往往考慮單個飛行器的運送任務，當負載質量超過單個飛行器的載荷上限時，就需要多個飛行器協同作業.此時，由于使用多架飛行器共同執行任務，不僅使系統的自由度更高，也使得系統動力學特性更為復雜.具體而言，單個旋翼飛行器吊運負載時即為欠驅動系統[24-29]，旋翼飛行器本身也呈現欠驅動特性.此外，負載擺動和飛行器平動之間存在運動耦合，更多的飛行器意味著這一耦合特性也將更為復雜.考慮到多機需要協同運動至指定目標位置，與此同時對負載的擺動進行抑制并消除，這些都為協同吊運的控制帶來困難.

針對此，本文為兩個飛行器的協同吊運任務提出了一種基于能量分析的非線性控制方案，在大幅提高系統載荷能力的前提下，能夠有效消除負載擺動.首先，文章構造關于兩飛行器及負載動態的儲能函數，進而設計兩飛行器所需推力與期望姿態，在兼顧執行器飽和約束，避免了期望姿態奇異性問題的同時，考慮了兩機的協調運動.隨后，通過嚴謹的數學分析，基于拉塞爾不變性原理證明了閉環系統的穩定性;仿真結果表明，該方法具有良好的控制性能，對不確定參數和外界干擾均有較好的魯棒性.

本文的其余部分組織如下:第2節簡要描述了系統動力學模型，并給出了控制目標;第3節完成了控制器的設計以及閉環穩定性分析;第4節通過仿真將所提方法與現有方法進行了對比;第5節對本文工作進行了總結與展望.

2 問題描述

欠驅動旋翼飛行器協同吊運系統示意圖如圖1所示.

圖1 協同飛行吊運系統示意圖Fig.1 Illustration of a cooperative aerial transportation system

坐標系Y OZ為固定于大地的慣性坐標系，圖中:m1，m2代表兩飛行器的質量;m3為負載質量;l0表示兩吊繩與負載連接端間的距離;l1，l2代表繩長;l3代表負載厚度的一半;θ=[θ1θ2θ3]T∈R3，其中:θ1，θ2為兩吊繩與Z軸正半軸之間的夾角;θ3表示負載的偏轉角;φ1，φ2代表飛行器的姿態角;ξ1=[y1z1]T∈R2，ξ2=[y2z2]T∈R2分別為兩飛行器的坐標.為便于描述，定義如下簡寫表達:

系統動力學模型如下:

式中:q=[y1z1y2z2θ1θ2θ3]T∈R7為表示關于飛行器位置與負載姿態的狀態向量;矩陣Mc∈R7×7和Vc∈R7×7分別表示慣量矩陣與向心-柯氏力矩陣，其具體表達式參見附錄.重力向量與控制向量G，U∈R7形式如下:

其中u1，u2，u3，u4分別表示兩飛行器推力在空間坐標軸Y，Z上的分量，分別表達為

式中f1，f2分別表示兩飛行器推力幅值.

為方便接下來的控制器設計與穩定性分析，將式(1)展開為如下形式:

針對實際工作場景，在此作如下合理假設[18，20，22-23，25，29]:

假設1考慮到協同吊運系統的實際工作情況，吊繩及負載擺動角度滿足約束

對于欠驅動協同吊運系統而言，控制目標是使兩飛行器快速、精確地到達目標位置ξ1d=[y1dz1d]T，ξ2d=[y2dz2d]T，同時有效抑制并消除負載的擺動.不失一般性，選取兩飛行器目標位置滿足如下關系:

此時，兩吊繩與負載的期望角度為

綜上，控制目標可表述如下:

3 主要結果

本節將首先闡述控制器設計的過程，隨后給出閉環系統信號的有界性和收斂性分析.

3.1 控制器設計

為完成上述控制目標，首先定義如下誤差量:

通過對欠驅動協同吊運系統的能量分析，可構造如下儲能函數:

式中kp1，kp2，kp3，kp4∈R+為正控制增益.對式(10)關于時間求導，代入式(2)-(8)后整理可得

基于此，設計控制輸入ut=[u1u2u3u4]T∈R4為如下形式:

其中:e=[e1e2e3e4]T∈R4代表兩飛行器組合定位誤差向量;Kp=diag{[kp1kp2kp3xkp4]}，Kd=為正控制增益矩陣.將式(12)代入式(11)后可以得到

經分析可知，在該控制輸入的作用下，閉環系統的平衡點是漸近穩定的.然而，負載的擺動信息沒有直觀反映在控制輸入中，因此，在擺動抑制方面仍有提升空間.

進一步地，基于式(12)，提出如下改進的非線性控制律:

其中ky，ky1，ky2，kz，kz1，kz2∈R+為正控制增益.

注1兩飛行器推力f1，f2與期望姿態φ1d，φ2d可通過控制信號u1，u2，u3，u4計算得到，具體表達如下:

注2由注1可知，通過合適的參數選取，即可將控制輸入約束在一定范圍內.進一步地，將所取控制參數限定在如下范圍:

即可避免期望姿態產生奇異性問題.

注3式(13)中控制輸入ut的第3項通過將負載擺動信號引入反饋控制律，提高了可驅動的飛行器運動與欠驅動的負載擺動之間的耦合關系，因而，能夠提升控制系統的消擺性能.

注4式(13)中控制輸入ut的第4項uc是協調作用項，分別利用速度差作為反饋信號，從而提高飛行運動的一致性，實現兩個飛行器之間的協調運動.

3.2 穩定性分析

本小節將對閉環系統信號的穩定性進行分析.

定理1所提控制方案(13)能保證兩飛行器協同吊運負載至指定位置，并且抑制負載擺動，使系統狀態漸近收斂于平衡點，即

證將式(13)代入式(11)可以得到

因而，V(t)∈L∞.基于此，由式(10)，可以得到如下結論:

接下來，定義集合Φ為

并記Γ為Φ中最大的不變集.根據式(16)可知，在不變集Γ中有

式中β1，β2，β3，β4∈R表示待定常數.接下來分兩步完成定理證明:

步驟1證明在不變集Γ中:e1(t)=0，e2(t)=0，e3(t)=0，e4(t)=0.

將式(19)代入式(13)并結合式(2)-(5)可得

對式(20)-(23)兩邊關于時間作積分，有如下結果:

其中λ1，λ2，λ3，λ4為待定常數.對β1，β2，β3，β4進行分析，以式(24)為例，若β1≠0，有

步驟2接下來，將證明在不變集Γ中，θ1(t)=0，θ2(t)=0，θ3(t)=0.

將式(19)代入式(6)-(8)整理可得

將式(28)代入式(20)-(21)可得

進一步地，將式(32)與式(33)兩邊分別乘以C1，S1后相加，有如下結果:

聯立式(34)與式(29)有

同理，將式(32)-(33)兩分別乘以C2(C3)，-S2(S3)后相加，與式(30)-(31)對照，經類似分析可以得到

由式(28)(35)-(36)可知，最大不變集Γ僅包含平衡點根據拉塞爾不變性原理[30]，可完成本定理中結論的證明.證畢.

4 仿真驗證與分析

本節將給出數值仿真結果，同時將其與PD(proportional differential)控制和線性二次型調節器(linear quadratic regulator，LQR)控制的結果對比，進行3組仿真測試，以評估所提控制方案在飛行器定位與吊繩、負載消擺方面的實際性能.

第1組在本組仿真中，將系統參數設置如下:

兩飛行器的起始位置和目標位置分別為

初始擺動角度為

本文方法的控制增益選取為

PD控制器增益選取為

LQR控制中矩陣Q，R分別選取為

經計算得最優控制增益為

仿真結果如圖2所示，從中可以看出，3種控制方法都能使飛行器到達目標位置.值得注意的是，由于協同控制項和擺動信息項的引入，本文所提基于能量的控制方法相比PD控制和LQR控制，對負載擺動具有更加顯著的抑制和消除作用.

圖2 仿真1結果Fig.2 Results of Simulation 1

第2組為驗證所提方法對不確定參數的魯棒性，在本組仿真中，將吊繩及負載參數改變為

將兩飛行器的起始位置和目標位置改變為

所提方法與PD控制增益選取以及LQR控制中的Q，R矩陣選取與第1組仿真相同.由于LQR方法對系統參數的依賴，其控制增益需相應修改為

仿真結果如圖3所示，將其與第1組仿真結果進行對比，可以看出，在不改變控制增益的情況下PD控制器和所提方法均可實現飛行器定位與負載消擺的目標.同時，本文所提方法在擺動抑制方面依然表現出了更好的性能.

圖3 仿真2結果Fig.3 Results of Simulation 2

第3組在本組測試中，參數設置和控制增益與第1組完全相同.為模擬風力等外界擾動的影響，在30 s至30.5 s，60 s至60.5 s對兩根吊繩對應的擺動角度θ1(t)和θ2(t)分別施加一個幅值為5°的脈沖干擾.

仿真結果如圖4所示.3種方法在受到擾動后最終都能將飛行器定位在目標位置并保持穩定，所提方法的負載擺角θ3(t)在受到擾動后收斂更快.這一仿真情形證明了，在有擾動存在的情況下，本文所提控制方法具有明顯優勢.

圖4 仿真3結果Fig.4 Results of Simulation 3

5 總結與展望

針對欠驅動旋翼無人機協同吊運系統，本文設計了一種基于能量分析的控制方法.該方法不僅可以準確快速的控制兩飛行器運動至指定位置，而且可有效消除負載擺動.同時，所提控制方案能夠將控制輸入約束在一定范圍內，進而避免期望姿態的奇異性問題.文中對所提控制器的性能進行了嚴格的理論分析，并通過數值仿真驗證了算法的控制性能.在接下來的工作中，將進一步擴展本文方法，將其應用于更多個數飛行器的協同吊運問題.

附錄

對稱矩陣Mc中元素表達如下:

其余元素皆為零.