船舶垂蕩運動下轉子-隔振系統的非線性動力學分析

張文卓, 李 明

(西安科技大學力學系，西安 710054)

由于風浪的影響，船舶在航行時易于平衡位置附近發生周期性的縱搖、垂蕩和橫搖等牽連運動[1-2]，這些牽連運動會對船舶動力裝置運行的穩定性造成影響。為保證船舶能夠安全、穩定的航行，對船用轉子-軸承系統減振方面的研究十分必要。而氣囊-浮筏隔振裝置因其構造緊湊，以及優異的低頻振動抑制效果，已廣泛應用于船用轉子-軸承系統的振動控制問題[3]。

目前，關于牽連運動下轉子-軸承系統振動特性的研究工作還處于發展階段。文獻[4]利用第二類Lagrange方程建立了飛行器作機動飛行時轉子系統的一般模型，研究了機動飛行條件下發動機轉子的動力學行為，且與試飛數據具有較好的一致性；而文獻[5]基于Hamilton原理，討論了機動飛行條件下直升機尾傳動軸的振動方程，并研究了機動飛行條件下直升機尾斜軸橫向彎曲的動力學行為；文獻[6]則通過引入基礎運動速度，推導出一種改進的滑動軸承油膜力模型，并研究了基礎運動的振幅和頻率變化對轉子系統非線性動力學行為的影響。文獻[7]基于短軸承理論，討論了船舶垂蕩運動下轉子系統的穩態響應變化規律，結果表明垂蕩運動改變了轉子系統進入混沌的路徑。

而在關于浮筏隔振裝置的非線性動力學行為和振動控制的相關研究中，文獻[8]考慮了浮筏和基礎板的彈性變形，建立了浮筏動力學運動方程，并通過數值方法研究了浮筏隔振器的剛度變化對系統振動特性的影響；而文獻[9]基于長軸承理論，推導了附加氣囊支撐浮筏隔振裝置的轉子系統運動方程，并通過數值方法討論了該系統的穩態響應變化規律；文獻[10]則研究了具有雙層QZS(quasi-zero-stiffness)構造的隔振浮筏系統，并對該系統的振動抑制性能進行了系統分析，結果顯示，兩自由度QZS裝置在隔振方面更具優勢，QZS裝置對阻尼比敏感，質量比是低頻隔振設計中的關鍵參數。文獻[11]根據振動機械到浮筏彈性基礎上的最小動力傳遞準則，通過代價函數研究了慣性致動器在浮筏上的最佳安裝位置，從而對振動機械進行主動振動控制。

以上研究集中在分析牽連運動下轉子-軸承系統的非線性振動規律，以及浮筏隔振系統的動力學特性和振動抑制問題。而目前關于牽連運動下轉子-隔振系統振動特性和動力學控制方面的研究較少?，F基于氣囊的強非線性特征，討論船舶垂蕩運動條件下具有立方剛度和線性阻尼的氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉子-軸承系統的動力學分岔規律，并研究氣囊-浮筏隔振裝置對轉子系統振動的抑制效果，以期為船用轉子-隔振系統的非線性動力學設計和振動控制提供理論依據和分析方法。

1 數學模型

1.1 運動方程

圖1為船體垂蕩運動形式及具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉子-軸承系統示意圖。為方便動力學模型的建立，設R0(x0,y0,z0)為固連于地面的慣性參考系，R1(x1,y1,z1)和R2(x2,y2,z2)為固連于船體分別用來描述轉子和浮筏運動的非慣性參考系，而固連于圓盤的R(x,y,z)為局部坐標系。將船體在慣性參考系R0(x0,y0,z0)中沿x0軸平移的垂蕩運動規律簡化為xh=ahsin(Ω0t)，其中ah和Ω0分別為垂蕩運動幅值和角頻率。

圖1 垂蕩作用下具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉子-軸承系統示意圖Fig.1 Schematic diagram of rotor-bearing system with additional the air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion

將浮筏和軸承基座簡化為一個質量單元，而氣囊基于其強非線性特征簡化為具有立方剛度和線性阻尼的彈簧，如圖2所示。

圖2 氣囊-浮筏隔振裝置示意圖Fig.2 Schematic diagram of the air bag-floating raft vibration isolator

根據牛頓運動定律，可得船體垂蕩運動條件下，具有氣囊-浮筏隔振裝置的船用轉子-軸承系統運動方程為

(1)

式(1)中：m1為轉子質量；m2為浮筏及基座質量；e和Ω分別為轉子偏心距和轉子轉速；Fx和Fy為作用于轉子的軸承非線性油膜力[12-13]；k和d分別為氣囊剛度及阻尼；g為重力加速度。

1.2 油膜力模型

滑動軸承結構如圖3所示。軸頸和軸瓦被潤滑油分開而不發生接觸，油膜使軸頸具有承載能力，還能大幅度減少轉子系統的表面磨損。

O為軸承幾何中心，Om為轉子質量中心圖3 滑動軸承示意圖Fig.3 Diagram of sliding bearing

基于長軸承理論，即軸承直徑比其長度小得多，則油膜壓力沿軸向的變化遠比其沿周向的變化小[12]。根據這一假設，雷諾方程可表示為

廬山西海位于江西省西北部,地處九江和南昌之間,區位優勢明顯。廬山西海距九江和南昌較近大約都在100公里以內,而且南北都有機場，距離大約都在80公里以內,并且有多條交通線路經過（如京九鐵路、昌九高速公路、105國道等線路）,區位優勢十分明顯。

(2)

式(2)中：p和R分別為油膜壓力和軸承半徑；φ、β分別為偏位角與周向方位角；e0、c和μ分別為軸承偏心距、油膜間隙和潤滑油黏度；h為油膜厚度，h=c(1+εcosβ)，ε為偏心率，ε=e0/c。

基于Gümbel邊界條件將油膜壓力分布函數p沿軸承表面進行兩次積分?？傻梅蔷€性油膜力的徑向分力Fr和周向分力Fτ的表達式[13]為

(3)

將油膜力通過坐標變換投影到x和y方向為

(4)

1.3 無量綱運動方程

(5)

表1 無量綱參數表達式

(6)

2 結果與討論

式(6)是一個具有4自由度的強非線性微分方程組，對其進行解析研究較為困難，故利用4～5階Runge-Kutta法求解，得到系統的穩態響應、分岔圖和最大Lyapunov指數曲線等以分析隔振裝置的減振性能以及轉子系統的非線性動力學行為[14]。

2.1 隔振系統對轉子振動的抑制

為凸顯氣囊-浮筏隔振裝置對轉子系統振動的抑制效果，給出圖4所示的不考慮隔振裝置時船舶垂蕩運動下轉子系統分岔圖作為對比，取系統參數結合圖4、圖5可以分析氣囊-浮筏隔振裝置對轉子振幅的抑制效果，其結果如表2所示。

為σ=3，Ah=120，υ=[30,70]。而圖5為船舶垂蕩運動下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉子系統分岔圖，此時為參數σ=3，υ=[30,70]，Ah=120，n=7.5，K=9，D=0.2。

圖6為α=0.1時，船舶垂蕩運動下不考慮隔振裝置時轉子系統動力學響應分岔圖及對應的最大Lyapunov指數曲線。而圖7為參數α=0.1時，附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉子系統在船舶垂蕩運動下的穩態響應分岔圖及最大Lyapunov指數(LLE)曲線。

對比圖6、圖7可得出氣囊-浮筏隔振裝置對轉子系統動力學分岔特性的影響，將相關分析結果在表3中列出。

圖4 垂蕩運動下無隔振裝置的轉子系統分岔圖Fig.4 Bifurcation diagram of rotor system without vibration isolator under heaving motion

圖5 垂蕩運動下氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉子系統分岔圖Fig.5 Bifurcation diagram of rotor system with air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion

表2 隔振裝置對轉子振幅的抑制分析

圖6 垂蕩運動下無隔振裝置的轉子系統在α=0.1時的分岔圖及最大Lyapunov指數Fig.6 Bifurcation diagram and largest Lyapunov exponents of rotor system without vibration isolator under heaving motion when α=0.1

圖7 垂蕩運動下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉子系統在α=0.1時的分岔圖及最大Lyapunov指數Fig.7 Bifurcation diagram and largest Lyapunov exponents of rotor system with air bag-floating raft vibration isolator under heaving motion when α=0.1

表3 隔振裝置對轉子系統動力學分岔特性的影響

2.2 隔振裝置耦合轉子系統動力學分析

圖8為參數α=0.1，σ=3，ν=[30,70]，Ah=120，n=7.5，K=9，D=0.2時，附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉子系統在船體垂蕩運動下的軸心軌跡。由圖8可見，初始時隨著轉速不斷增加，轉子系統的位移不斷增大；而在ω從0.95到1.3時，轉子的位移增大趨勢不再明顯，但轉子的軸心軌跡重合程度較低，且占據很大范圍，轉子系統運動十分復雜；而在高轉速時，轉子軸心軌跡的重合程度有所提高，預示著轉子運動的復雜程度有所降低。

圖9為船體垂蕩運動下附加氣囊-浮筏隔振裝置的轉子系統在轉速變化時結合多種方法分析的系統動力學響應。結合對應的最大Lyapunov指數(LLE)將分析結果在表4中列出。

圖8 不同轉速下轉子的軸心軌跡Fig.8 The rotor orbit at different speeds

圖9 轉子-隔振系統的穩態響應Fig.9 The steady-state response of rotor-vibration isolation system when

表4 隔振裝置耦合轉子系統的動力學特性

3 結論

建立了船體垂蕩運動條件下，具有氣囊-浮筏隔振裝置的轉子-軸承系統的運動方程。運用數值方法討論了該系統的非線性振動特性，并分析了氣囊-浮筏隔振裝置對轉子系統振動的抑制效果。結果表明：轉速較低時，轉子系統處于擬周期狀態，隨轉子轉速的增加，系統交替出現擬周期和混沌運動，在高轉速時，轉子系統返回擬周期運動狀態。在較寬的轉速范圍內，氣囊-浮筏隔振裝置對系統振幅的增加具有明顯的限制和滯后效果。且在中、高轉速時，氣囊-浮筏隔振裝置能夠延后和限制轉子系統進入混沌運動狀態。以上結論有助于揭示垂蕩運動下，氣囊-浮筏隔振裝置耦合轉子-軸承系統的運動規律，并為船用轉子-隔振系統的動力學設計和振動控制提供理論依據和研究方法。