非均勻介質駐波聲場紋影法成像及其聲速測量的改善

陳水橋， 程詩卓， 郭 鹍， 陸子毅， 許熠輝

（浙江大學a.物理學系；b.竺可楨學院，杭州310027）

0 引 言

聲場作為一種常見的物理場，由于其不便觀測、穩定性差而在生活中的應用相對較少，且應用點往往集中于駐波聲場。為了更加方便地研究駐波聲場的特性，將其可視化無疑是一種直觀且高效的方法［1-2］。紋影法基于聲波與光波的一般作用規律：聲場介質密度隨聲場的發生而改變，繼而引起折射率的變化。當一束光穿過聲場介質時，能夠形成穩定的相位光柵，出現相應的紋影圖像［3］。與其他方式相比，紋影法具有直接、快速、不破壞聲場的優勢，不僅為駐波聲場靜態特征的研究提供了一個更為直觀可感的途徑，其非侵入性更是適用于聲場的動態與連續性研究?？梢暬鳛橐淮髢瀯?，將難于測量的壓力數據轉化為易于測量的光強數據，為實驗精度提供了保障，運用后期處理技術，還可使所得結果更為明顯、美觀，便于進一步分析。本實驗利用超聲波駐波聲場的聲輻射壓力在空間中呈周期分布的性質，再結合紋影法，對非均勻空氣介質中的超聲波形成的駐波聲場進行成像，并進行相關處理，使得能夠直觀反映出超聲波駐波聲場的某些特性，進而更加精準測量其波長以及其他關聯數據。為使圖像更加形象可視，在MATLAB中對圖片做灰度直方圖均衡化之后［4］，使得圖像中原來灰度值分布集中的區域分布到其他區域，從而使得圖像灰度值整體范圍變大，某些局部灰度細節變化可見，從而達到增強圖像對比度和清晰度的效果。并在此后進一步用圖像處理工具進行了加工，再進行灰度-顏色映射處理，得到較好偽彩色紋影圖。最后測量了聲波速度，驗證了實驗效果。最后，還用數理方法分析了儀器系統的靈敏度。

1 基本原理

1.1 駐波聲場形成原理

氣體介質中駐波聲場的形成綜合利用了超聲波的波動特性與能量特性［5］。如圖1 所示，在聲源對面設有反射度良好的反射裝置，設聲波波長為λ，L 為生源與反射端距離。由聲源發出的超聲波經反射端反射，反射波與原波頻率相同、傳播方向相反，當聲源處與反射端相距L 為λ／2 的整數倍時，兩者相干形成穩定駐波。

圖1 駐波聲場形成原理圖

另外，由于超聲波的能量特性，超聲波聲場改變了聲源與反射端間的氣體介質的密度分布，進而形成聲場作用下的輻射壓力。圖1 中輻射壓力為F，M 為一質量較小物體，P 是波源發出的聲波的沿z 軸方向的振幅。

設兩列相干波的波函數表達式為

將兩類波合成為

可見，聲輻射壓力F沿波動方向為周期分布［6］。由于聲輻射壓力具有回復力的特性，此時如果將物體M置于波節處，當樣品偏離平衡位置，就有被拉回原位置的趨勢，當其位置相對于平衡位置有微小偏移時，會在附近做小振幅振動，最終在波節附近實現物體的懸浮。

1.2 紋影法成像原理

紋影法是一種將光通過相物體引起的相位分布轉換為光強分布的方法［7］。如圖2 所示，對于Z 型透鏡光路，設通過相物體的入射光為

圖2 紋影法成像原理示意圖

通過相物體引起相位滯后（通常相位滯后很?。?，可表示為

式中：第1 項代表直射光；后1 項含有φ，它包含了相物體分布的信息，這兩項的相干疊加構成了屏幕上相物體的像。由于相物體與周圍介質在邊緣具有折射率梯度，如果相物體折射率大，會使光線向相物體方向偏折，使得其區域與背景產生照度差異，從而使得相物體像的相位差異轉化為照度差異，相物體可見（為方便起見，之后的討論將主要簡化為幾何光學）。

1.3 非均勻介質中光的傳播原理和偏折角推導

在均勻介質中光沿直線傳播，而當介質中出現湍流、熱對流等干擾因素時，會導致同一透明介質的局部折射率n發生變化，使得光線傳播發生擾動。擾動區域的圖像會與周圍的圖像形成差異，即可見陰影。

透明介質的折射率為

在標準大氣中，對于可見光，格拉斯通-戴爾常數k≈0.23 cm3／g［8］。式中：空氣密度ρ 的兩個量級變化能引起n的值變化30%，因此若想通過光學手段觀察密度變化小的氣體，需要非常靈敏的光學設備。

忽略光的相干性，簡化為幾何光學。取右手直角坐標系x，y，z，令z 軸為未受擾動時的光線傳播方向，x、y軸構成的平面垂直于z軸，如圖3 所示。接下來證明，光的不均勻性所導致光的折射和彎曲程度與x、y平面內各自折射率梯度成正比［9］。

圖3 非均勻介質中光傳播的幾何光學分析圖

假設紋影光路為在x、y方向上各向同性的二維光路，即沿z 軸對稱。圖3 中，假設垂直折射率梯度dn／dy ＜0，且忽略在x、z軸上的折射率梯度變化，認為初始時刻通過z1的是平面波，波陣面垂直于水平光軸z軸。當波前通過被測對象，即從z1到z2時，設不同的微分時間Δt 對應微分距離Δz，折射的偏折角度為Δε。由于光線始終垂直于波前陣面，通過z1的水平光線同樣有Δε的偏折角。

定義n ＝c0／c，其中本地光速為c，真空光速為c0。由圖3 可知，

不同時刻Δt有Δt ＝Δz（n／c0），合并得：

當Δy→0 時，方程中n／（n1n2）可以簡化為1／n。令所有微元趨近于0，可得：

由于ε是非常小的角度，因此可近似為dy／dz，即圖中的斜率。將其代入導數后，可以得到：

該式揭示了折射梯度大小與折射光線曲率的關系。由此，在x、y軸方向上，光線的偏折角經積分可得

式中：n0為周圍介質的折射率。

可以看到，光線的折射取決于折射率梯度，光線總是朝著n值較高的方向彎曲。而對于氣體而言，光線總是朝著密度ρ較高的地方彎曲。這些非均勻透明介質所產生的梯度擾動即為紋影。所以，紋影圖像也揭示了偏轉角度的存在。

2 儀器系統

本文采用離軸單反射鏡系統，主要包括聲場系統和光學系統兩大部分。其系統原理示意圖如圖4所示。

圖4 儀器系統示意圖

圖中，聲場系統需要讓兩個超聲波換能器之間產生駐波聲場［10］。根據當時的實驗條件（溫度、濕度等），計算出在該條件下超聲波的理論波長λ，并預先將兩個超聲波換能器的間距調整為3λ。打開電源后稍微調整換能器間距使泡沫塑料小球能夠在該聲場中懸浮，由此來檢驗駐波聲場的形成。本文應用的超聲波發生器選用科美達可調頻率功率超聲波發生器，能夠產生20 ～40 kHz的高頻信號，最大功率300 W。超聲波換能器采用28 kHz，60 W的壓電陶瓷。

光學系統主要由球面反射鏡、狹縫器、刀片和照相機組成。點光源用LED光源，可連續調節光強。球面反射鏡的鏡面直徑203 mm，焦距800 mm。成像設備采用佳能EOS 80D 單反相機。在確認駐波聲場的形成后，就對光路進行細致的調整以在相機中觀察到駐波聲場的紋影圖像。方法如下：將點光源與一個光屏靠在一起，在之前確定的水平面上同時前后移動，找到一個圖像最清晰、像點最小的位置，即球面鏡的焦點。將點光源固定在焦點附近，用刀片擋掉一定量的光。調整刀片擋光量（約80% ～90%）、相機的位置、快門時間以及ISO以得到盡量大且清晰的紋影圖像。其中球面反射鏡放置在光源的曲率半徑軸上（R ＝2f）。發散的光束將充滿反射鏡并且以相同的路徑返回，在光源處形成光源的像。通過在光源和圖像光束之間設置較小的離軸分離，并加入刀口即可構建與前一個紋影系統有相似效果的紋影系統。在焦距很大時，兩個紋影系統的測試區域可以近似。測試區位于接受光源發散光的反射鏡前，理想情況下，同一光束會兩次橫穿測試平面上的點，每次橫穿時都會產生一個偏轉角ε。

3 實驗與分析

3.1 圖像的獲取與處理

調節相機參數，快門時間1／200 ～1／800，ISO80-160，幀率50，拍攝視頻，截取其中效果較明顯的幀如圖5 所示。然后，在MATLAB中對圖5 進行全局灰度增強和直方圖均衡處理，使得紋影細節放大，調節效果如圖6 所示。

圖5 相機拍攝紋影圖

圖6 直方圖均衡處理紋影圖

在Lightroom中調節曲線，對圖6 進行對比度、銳化、亮度調整，得到圖7 效果圖。再在MATLAB 中對圖8 作灰度-顏色映射，得到偽彩色圖。

圖7 圖像工具處理紋影圖

圖8 偽彩色紋影圖

3.2 聲速測量

游標卡尺測量超聲波振子直徑數據如表1 所示。

表1 超聲波振子直徑測量數據

所以u（D）＝0.04 mm，得到振子直徑為D ＝（5.820 ±0.004）cm。

設超聲波振子直徑對應像素值為Δm，紋影波相鄰兩條彩色條紋間距對應像素值為Δn，其比值為

對圖10 中多個條紋坐標進行測量，所得數據如表2 所示。為配合測量比值δ 需要，其中Δn 未連續測量，而是任意選擇最清楚的條紋測量。

表2 條紋坐標測量值

又因為v ＝λ／T，λ ＝D／δ，T ＝1／f［11-12］，所以推導得聲速測量公式為

已知超聲波發生器所用頻率f ＝28.013 kHz，Δ儀＝1 Hz。所以將上述測量值代入式（9），得到實驗聲速值：

實驗時室溫為18.4 ℃，根據文獻計算得該溫度下聲速理論值為342.431 7 m／s，所以本方法測量的聲速誤差較小。

3.3 儀器系統靈敏度分析

紋影光學系統最大的優勢就是其靈敏度。它的輸出圖像為x、y軸的二維圖像，圖像特征由成像的縮放以及灰度對比決定，靈敏度僅需考慮這兩點［15］。為了更方便討論靈敏度，依然對Z 型反射鏡系統進行分析［13，14］。設光源照度為B（cd／m2），假定采用的是一個水平光源狹縫和水平刀口，那么在沒有刀口的情況下，紋影圖像照度

式中：b為光源狹縫的寬度；h為光源狹縫的高度；f1為第1 反射鏡的焦距；放大因子k 為紋影圖像相當于測試區域的大小比例。［16］

讓刀口阻擋除聚焦的光源像以外的所有光束（刀口成圓孔形），該部分具有高度a。用a 和f1／f2替換光源像的無遮擋實際高度h，f2為第2 反射鏡的焦距，則式（10）可改寫成

設ΔE 為照明變化值，是紋影圖像照度E 與其背景照度E0的增益。假定紋影對象在實驗區域有ε 的偏折角，y 軸分量εy將有部分光源圖像在垂直刀口平面產生向上偏移距離Δa ＝εyf2，代替式（11）中的a，

則有

得到了測試區εy偏折形成的對應圖像點的照度增益。

設對比度為C，指圖像點對于一般紋影照度增益ΔE與紋影照度E的比值，即

設紋影靈敏度為s，也稱對比靈敏度，定義為圖像對比度比折射角度的變化率，即

對于單反射鏡紋影光路，旁軸近似下，該結論也類似，第2 反射鏡的焦距等于第1 反射鏡的焦距，即單鏡的焦距。

由此說明，在觀察范圍一定時，反射鏡的焦距影響成像的靈敏度，因此需要一個大焦距的凹面鏡。同時，刀口截止的程度也影響著紋影的對比度，因此也可以通過提高刀口截止來提高靈敏度。但刀口截止提高時，測試區域邊緣會產生衍射光線，在刀口平面產生二次衍射，產生模糊效應，影響圖像分辨，因此刀口截止不能無限提高。

4 結 語

通過自組紋影法測量裝置能夠直觀便捷得到超聲波駐波聲場的一些性質，并且通過圖像處理技術方便了對數據的準確獲取。本文用光線折射幾何理論證明了光的不均勻性所導致的光的折射和彎曲程度與x、y平面內各自折射率梯度成正比。得到的有關聲場的數據和圖形比較清晰，并準確測量了聲速值，且與理論值誤差較小。最后分析了影響成像的靈敏度以及對實驗的各種影響因素。