熱傳導方程在3種無界區域上的二擇一結果

陳雪姣，郭連紅，曾 鵬

(廣東財經大學華商學院，廣東 廣州 511300)

1970年，Gurtin和De La Penha[1]提出了二元混合物中熱傳導方程模型

b1ut+b2υt=k1Δu-γ(u-υ)，

(1)

b2ut+b3υt=k2Δυ+γ(u-υ)，

(2)

尤其注意到Horgan[5]等研究了具有非標準初始條件的模型(1)和(2)在一個半無窮柱體上的空間衰減性．定義的半無窮的柱體區域為

其中，D是坐標平面x1Ox2上一個有界充分光滑的區域，且需要假設方程組(1)和(2)的解在無窮遠處趨近于零．顯然柱體R的母線平行于x3坐標軸．研究方程組(1)和(2)的Phragmén-Lindel?f型二擇一結果．此類型研究不再假設方程組的解在無窮遠處趨近于零，而是證明“能量”隨距柱體有限端的距離呈指數式(多項式)增長或衰減．自從二十世紀90年代以來，Phragmén-Lindel?f型二擇一研究逐漸取得空間衰減性研究逐步成為了研究的熱點，由于在物理、力學和生物學等學科上的巨大應用前景，出現了大量的成果(參考文獻[6]-[10])以及最新成果(參考文獻[11]-[14])．

假設模型(1)和(2)定義在一個新的柱體區域Ωa上，Ωa的定義為

其中，Dx3是與坐標平面x1Ox2平行的一個光滑有界凸區域．例如

令?Dx3表示Dx3的邊界，z是x3軸上的一個動點，Ωz記為

受到了文獻[8]啟發，Payne和Schaefer考慮了3種不同的無界區域，得到了雙調和方程在一個二維半無窮管道上的二擇一結果．另外，文獻[13]研究了調和方程在Ωa上的Phragmén-Lindel?f型二擇一結果．由于本文模型要比文獻[8]和[13]中的模型要復雜，所以文獻[8]和[13]中的方法不能直接推廣到本文模型．參考文獻[8]和[13]的方法，建立方程組(1)和(2)的Phragmén-Lindel?f型二擇一結果．

除了方程組(1)和(2)，還需要初始邊值條件．在柱體的側面?Dx3×(a,∞)×(0,T)上，有

u=υ=0，

(3)

在柱體的有限端D×{a}×(0,T)，有

u=ɡ1(x1,x2,t),υ=ɡ2(x1,x2,t)，

(4)

其中，ɡ1(x1,x2,t)和ɡ2(x1,x2,t)是大于零的可微函數．

初始條件

(5)

ɡ1(x1,x2,t)和ɡ2(x1,x2,t)滿足約束條件

且ɡ1(x1,x2,0)=ɡ2(x1,x2,0)=0．

1 基本不等式

為了證明主要結果，給出一個接下來常用的微分不等式．

引理1[13]若ω?Dz=0，則

其中，r(z)=Dz表示區域Dz的面積．

為了推導二擇一結果，首先定義一個“能量”表達式

(6)

設z0是x3軸上的某個點滿足0≤z0≤z，則

(7)

(8)

將式(8)代入到式(7)，可得

(9)

對式(9)微分，可得

(10)

(11)

另一方面，如果E(z,t)隨z→∞無限增加，則必存在一個關于z的無界函數χ(z,t)使得

(12)

利用H?lder不等式、Young不等式和引理1，由式(6)可得

(13)

再結合式(10)和式(13)，可得

(14)

2 二擇一定理

考慮2種不同類型的柱體區域，當柱體的截面分別滿足一定的約束條件時，可以得到問題(1)～(5)的空間二擇性．

2.1 擴展區域所謂區域Ωa是一個擴展區域是指Ωa隨z→∞截面的面積越來越大．給出定理1．

定理1設u,υ為問題(1)～(5)在一個半無窮柱體Ωa上的解，Ωa的截面的面積滿足

00．

若存在一個z0≥a，使得E(z0,t)>0，則有

成立；

如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0，則有

此時，由式(14)可得

(15)

對式(15)從z0到z積分，可得

即

所以

(16)

如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0．

此時，由式(14)可得

(17)

對式(17)從a到z積分，可得

(18)

結合式(12)、(16)、(11)和(18)即可完成定理1的證明．

證畢.

定理1表明“能量”隨z→∞呈指數式增加或衰減于零．在定理1中如果r(z)=r0>0，說明柱體的截面在任意的z≥a處都是相等的，定理1仍然成立．本文結果要比文獻[5]更具一般性．

如果τ=1，顯然定理1不再成立．采取與式(15)～(18)類似的方法，可以得到“能量”隨z→∞呈多項式增加或衰減于零．具體地，此時的二則一結果可以表述為定理2．

定理2設u,υ為問題(1)～(5)在一個半無窮柱體Ωa上的解，Ωa的截面的面積滿足

00．

若存在一個z0≥a，使得E(z0,t)>0，則有

成立；如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0，則有

如果τ>1，此時說明柱體隨z→∞擴展的速度過快，式(18)右端的函數并不隨z→∞趨近于零，因此得不到衰減性結果．

2.2 特殊區域假設柱體Ωa的截面面積r(z)滿足

00．

(19)

對式(14)進行2種分析．

(20)

對式(19)從z0到z積分，可得

即

(21)

2)如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0．此時，由式(14)可得

(22)

對式(22)從e到z積分，可得

(23)

注意到-E(e,t)≤-E(a,t)，再結合式(12)、(21)、(11)和(23)，可得定理3．

定理3設u，υ為問題(1)～(5)在一個半無窮柱體Ωa上的解，Ωa的截面的面積滿足式(19)．若存在一個z0≥e，使得E(z0,t)>0，則有

成立；如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0，則有

當σ=1時，顯然定理3不再成立.利用與式(20)～(23)類似的方法，可以證明“能量”隨z→∞呈對數式無限增加或無限衰減于零．

定理4設u,υ為問題(1)～(5)在一個半無窮柱體Ωa上的解，Ωa的截面的面積滿足式(19)(σ=1)．若存在一個z0≥e，使得E(z0,t)>0，則有

成立；如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0，則有

2.3 收縮區域假設柱體Ωa的截面面積r(z)滿足

r′(z)≤0r(z)≥r0>0,

(24)

此時Ωa隨z→∞逐漸收縮，最后截面的面積趨近于一個常數.對式(14)分2種情況進行分析，可以得到定理5．

定理5設u,υ為問題(1)～(5)在一個半無窮柱體Ωa上的解，Ωa的截面的面積滿足式(24)．若存在一個z0≥a，使得E(z0,t)，則有

成立；如果對任意的z>a，都有E(z,t)<0，則有

在定理1～5中，在“能量”的衰減估計中，Qi(i=1,2,…,5)中都包含-E(a,t)．為了使得衰減估計有意義，必須推導-E(a,t)的顯式上界.

3 全能量估計

在式(6)和(11)中，取z=a可得

(25)

以及

(26)

定義

S1=ɡ1(x1,x2,t)exp[w1(x3-a)]，S2=ɡ2(x1,x2,t)exp[w2(x3-a)]，

(27)

由式(4)可知S1,S2分別和u,υ在Da處具有相同的邊界條件．因此，式(25)可以寫為

(28)

利用散度定理和方程(1)，可得

(29)

利用H?lder不等式和算術幾何平均不等式，可得

其中，εi(i=1,2,…,5)是大于零的任意常數．把不等式代入到式(29)，可得

(30)

其中，

類似地，

(31)

其中，

把式(30)和(31)代入到式(28)，可得

F1(t)+F2(t)．

(32)

選取適當的ε1,ε2,ε3′，ε4′使得

然后選取適當的ε1′，ε2′，ε3，ε4使得

最后選取適當的ε5,ε5′使得

結合式(26)，由式(32)可得

即

-E(a,t)≤2[F1(t)+F2(t)]．

4 結束語

考慮了3種不同的無界區域，分別得到了解的空間二擇性．在衰減的情形下，推導了全能量的顯式上界,此上界可用于證明方程組(1)和(2)對自身系數的連續依賴性，此連續依賴性也是當前研究的熱點(參考文獻[15-17]．如果方程組(1)和(2)的解在柱體的側面上滿足非齊次Neumann邊界條件或局部非齊次Neumann邊界條件，方程組(1)和(2)的解空間性質將如何演化．受文獻[18]的啟發，下一步以二元熱量方程在空間上的爆破問題為研究重點．