彈簧振子碰撞問題歸類分析

胡連冬

(湖南省長沙寧鄉市第七高級中學 410635)

彈簧振子的碰撞問題涉及相互作用觀、運動觀、動量和能量觀，知識綜合性強，物理現象復雜，運動過程多變；這類問題能很好的區分學生的綜合素養，因而成為歷年高考命題的重要素材之一.

一、彈簧振子的定義

如圖1所示，把輕彈簧的一端固定，另一端連接小球或滑塊，當輕彈簧發生形變后，小球或滑塊就在平衡位置附近作往復運動，這種現象叫簡諧振動，其中彈簧和小球或滑塊組成的系統稱為彈簧振子.如圖2中在輕彈簧的兩端各連接一個小球，當彈簧發生形變后，該系統中的兩個小球就相對系統的質心作簡諧振動，這樣的系統稱為“彈簧雙振子模型”，彈簧振子是一種理想化模型.

二、彈簧振子的碰撞問題

1.豎直彈簧振子的碰撞問題

例1質量為m的鋼板與直立輕彈簧的上端連接，彈簧下端固定在地上.平衡時彈簧的壓縮量為x0，如圖3所示.一物塊從鋼板正上方距離為3x0的A處自由落下，打在鋼板上并立刻與鋼板一起向下運動，但不粘連.它們到達最低點后又向上運動.已知物塊質量為m時，它們恰能回到O點.若物塊質量為2m，仍從A處自由落下，則物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度.求物塊向上運動到達的最高點與O點的距離.

設彈簧壓縮x0時的彈性勢能為Ep.在物塊與鋼板碰撞后直到物塊恰好回到O點的過程中，物塊與鋼板及彈簧組成的系統機械能守恒，即：

(1)

物塊與鋼板碰撞后瞬間的速度為V2.

物塊與鋼板回到O點時，還具有向上的速度V3.同理物塊與鋼板及彈簧組成的系統機械能守恒，則：

(2)

物塊返回O點后作豎直上拋運動，物塊向上運動到達的最高點與O點的距離為hm.此過程物塊機械能守恒，

(3)

點評本題的解題關鍵是對物理過程做好仔細分析，甄別每個過程遵循的物理規律.本題的難點是對彈性勢能的理解，彈簧的彈性勢能不要求寫出具體表達式，可用Ep表示，但要理解彈簧的彈性勢能只與彈簧形變有關；同一彈簧形變相同，則彈性勢能Ep相同；彈簧形變為零，則Ep為為零.

例2如圖4所示，一個勁度系數為k的輕彈簧豎直立于水平地面上，下端固定于地面，上端與一質量為m的平板B相連而處于靜止狀態.今有另一質量為m的物塊A從B的正上方h高處自由下落，與B發生碰撞而粘在一起，已知它們共同向下運動到速度最大時，系統增加的彈性勢能與動能相等，求系統的這一最大速度v.

解析A下落到與B碰前的速度v1為：

①

A、B碰后的共同速度v2為：

mv1=(m+m)v2

②

B靜止在彈簧上時，彈簧的壓縮量為x0，且：

mg=kx0

③

A、B一起向下運動到最大速度v時的位移為x，此時A、B的加速度為0，即有：

2mg=k(x+x0)

④

由機械能守恒得：

⑤

⑥

點評本題的難點在于理解AB共同運動何時速度最大.當彈簧振子振動的過程中受到的彈簧的彈力是變力，其合力也是變力，振子從平衡位置向下運動時，振子所受合力減小，振子作加速度減小的加速運動，當合力為零，即加速度為零時，振子速度最大.因此有2mg=k(x+x0).由此可見，要正確處理彈簧振子的碰撞問題，振子的受力分析和運動情況分析是解題過程中必不可少的思維環節.

2.水平彈簧振子的碰撞問題

例3輕彈簧的一端固定，另一端與滑塊B相連，B靜止在水平直導軌上，彈簧處在原長狀態.另一質量與B相同滑塊A，從導軌上的P點以某一初速度向B滑行，如圖5所示；當A滑過距離l1時，與B相碰，碰撞時間極短，碰后A、B緊貼在一起運動，但互不粘連.已知最后A恰好返回出發點P并停止，滑塊A和B與導軌的滑動摩擦因數都為μ，運動過程中彈簧最大形變量為l2，重力加速度為g，求A從P出發時的初速度v0.

解析令A、B質量皆為m，A剛接觸B時速度為v1(碰前)，由功能關系有

點評彈簧振子在碰撞瞬間，由于作用時間極短，彈簧來不及發生形變，因此振子碰撞瞬間AB系統動量守恒；對于AB滑塊何時分離要有清晰的物理情景，振子A受彈簧彈力約束，在AB彈回的過程中，當彈簧恢復原長時，滑塊AB間無相互作用，AB剛好分離，這是分析本題要厘清的臨界點.其次AB碰撞前后系統中各個物體的運動過程是否符合機械能守恒條件，還是只能由能量守恒或動能定理來處理運動過程中的能量關系，對能量觀念也要有清醒的認識.

例4用輕彈簧相連的質量均為2kg的A、B兩物塊都以v=6m/s的速度在光滑的水平地面上運動，彈簧處于原長，質量為4kg的物體C靜止在前方，如圖6所示，B與C碰撞后二者粘在一起運動.求：在以后的運動中，

(1)當彈簧的彈性勢能最大時物體A的速度多大？

(2)彈性勢能的最大值是多大？

(3)A的速度有可能向左嗎？為什么？

解析(1)當A、B、C三者的速度相等時彈簧的彈性勢能最大，由于A、B、C三者組成的系統動量守恒，有

(mA+mB)v=(mA+mB+mC)vA

解得：vA=3m/s

(2)B、C碰撞時B、C組成的系統動量守恒，設碰后瞬間B、C兩者速度為v′則mBv=(mB+mC)v′,v′=2m/s

設物塊A速度為vA時彈簧的彈性勢能最大為Ep，根據能量守恒

(3)由系統動量守恒得

mAv+mBv=mAvA+(mB+mC)vB

設A的速度方向向左，vA<0,則vB>4m/s

則作用后A、B、C系統總的機械能

點評針對彈簧雙振子碰撞問題，要善于通過分析雙振子的受力情況，準確把握雙振子的運動情況；當雙振子系統內各物體速度相等時，彈簧形變量最大，彈簧的彈性勢能最大.同時分析此類問題要切合雙振子運動的實際情況，碰撞前后系統的能量不增加，否則違背了能量守恒定律.

3.斜面上彈簧雙振子碰撞問題

例5如圖7所示，在一個傾角為θ的光滑斜面底端有一個擋板,物體B和物體C用勁度系數為k的輕彈簧連接,靜止在斜面上.將一個物體A從距離物體B為H處由靜止釋放,沿斜面下落后與物體B碰撞,碰撞后A與B黏合在一起并立刻向下運動,在以后的運動中A、B不再分離.已知物體A、B、C的質量均為M,重力加速度為g,忽略各物體自身的大小及空氣阻力.求：

(1)A與B碰撞后瞬間的速度大小.

(2)A和B一起運動達到最大速度時,物體C對擋板的壓力為多大？

(3)開始時，物體A從距B多大距離由靜止釋放時,在以后的運動中才能使物體C恰好離開擋板？

解析(1)A與B碰撞前A的機械能守恒，即

①

AB碰撞瞬間系統動量守恒，若AB碰撞后共同速度為V.則

MVA=2MV

②

(2)AB碰撞后作加速度減小的加速運動，當AB的加速度為零時，AB運動速度最大，若此時彈簧彈力為F.則有：F=2Mgsinθ

因彈簧處于壓縮狀態，故物體C對擋板的壓力為F′=F+Mgsinθ

即F′=3Mgsinθ

(3)AB碰撞后，彈簧振子沿斜面向下運動，直到彈簧壓縮最短，要使物體C恰好離開擋板，即物體C與擋板無相互作用力，則此時彈簧彈力為：N=Mgsinθ

若彈簧伸長x有：Kx=Mgsinθ

③

在AB碰撞前和物塊C剛好離開擋板這兩個時刻，彈簧形變量相同，彈性勢能EP也相同.設物體A距B為h處由靜止釋放，由于A碰撞前機械能守恒、AB碰撞時系統動量守恒、AB碰撞后系統機械能守恒得到：

④

MVA=2MV

⑤

⑥

點評斜面上彈簧雙振子碰撞問題跟水平彈簧雙振子碰撞問題分析方法相似，只是振子在斜面上運動有重力勢能的變化，因此處理問題時要特別注意振子系統內物體受力情況和運動情況分析；審題時要注意題目中關鍵的“字”、“詞”、“句”讀懂其意義，充分挖掘隱含條件；如本題中第(3)小問“使物體C‘恰好’離開擋板”，即彈簧伸長剛好最大時，C與擋板之間無作用，此時振子AB發生的位移最大且速度剛好為零.

4.彈簧雙振子碰撞中的圖像問題

例6如圖8甲所示，質量分別為m=1 kg、M=2 kg的A、B兩個小物塊用輕彈簧相連而靜止在光滑水平面上,在A的左側某處另有一個質量也為m=1 kg的小物塊C以VC=4 m/s的速度向右正對A勻速運動,一旦與A接觸后就將黏合在一起運動.若在C與A接觸前對A施加一個水平向右的瞬時沖量I,從A獲得瞬時沖量作用的時刻開始計時,取向右為正方向,其速度隨時間變化的圖象如圖乙所示(C與A未接觸前),彈簧始終未超出彈性限度.求：

(1)對A施加的瞬時沖量I的大??；

(2)在C與A接觸前,當A的速度分別為6 m/s、2 m/s、-2 m/s時,求對應狀態下B的速度,并在此基礎上粗略畫出B的速度隨時間變化的圖象；

(3)若C分別在A的速度為vA1=4 m/s 、vA2=-2 m/s時與A接觸,試分析這兩種情況下在接觸后的運動過程中彈性勢能最大值Epm1和Epm2.

解析(1)觀察圖乙，A的水平初速為V0=6 m/s.

由動量定理得：I=mV0. 對A施加的瞬時沖量的大小為6Ns.

(2) 當A獲得水平初速6 m/s后，AB和彈簧組成的系統水平方向動量守恒，即：mV0=mVA+MVB.故當A的速度分別為6 m/s、2 m/s、-2 m/s時, 對應狀態下B的速度分別為：0、2 m/s、4 m/s.

當AB第一次速度相同時，彈簧壓縮到最短狀態，此時彈簧彈性勢能最大，若此時AB速度為V.由系統水平方向動量守恒有：

mV0=(M+m)V

①

以后B繼續加速，而A作減速運動，直到彈簧恢復原長時B的速度最大，A的速度達到反向最大，此時彈簧彈性勢能為零，AB速度分別為VAmVBm.根據系統的動量和能量守恒得：mV0=mVAm+MVBm

②

③

由以上三式解得：V=2 m/s,VAm=-2 m/s,VBm=4 m/s.

當彈簧恢復原長后，由于AB速度反向，A先減速后正向加速，B一直減速直到AB第二次速度相同，彈簧拉伸最長，此時AB速度為V=2 m/s.然后A繼續加速運動速度達到正向最大6 m/s .而B繼續減速直到速度減小到零,這時彈簧第二次恢復原長,此后AB兩滑塊速度重復以上周期性變化.因此AB兩滑塊速度圖象關于V=2 m/s對稱，如圖9所示.

mVC+mVA=2mVCA

④

當CA和B速度相同時，彈簧的彈性勢能最大，若CA和B的共同速度為V′.由系統動量守恒得：

2mVCA+MVB=(2m+M)V′

⑤

此時彈簧最大的彈性勢能為：

⑥

由④⑤⑥得：EPm1=13.5 J

當VA=-2m/s時，B的速度為VB=4 m/s .此時彈簧處于原長，彈簧的彈性勢能為零，若C與A碰撞，同理可得此后彈簧的最大彈性勢能為EPm2=4.5 J.為何兩種情況下彈簧的最大彈性勢能不同呢？其原因是當VA=4 m/s時，C與A碰撞無能量損失，而當VA=-2m/s時，C與A碰撞能量損失最大.即C以VC=4 m/s的速度與A碰撞時CA和B及彈簧組成的系統在運動過程中彈簧彈性勢能的變化范圍為：4.5J≤EP≤13.5J.

點評彈簧雙振子碰撞中的速度圖象問題，涉及振子的受力分析和運動狀態分析，由于雙振子受彈簧彈力作變加速運動，振子的運動情況比較復雜，分析此類問題要善于把握兩個臨界狀態：一是彈簧彈性勢能最大時，雙振子具有相同的速度，二是彈簧恢復原長時兩振子的速度(或反向速度)必有一個達到最大.在求解彈簧的彈性勢能時，要綜合運用系統動量守恒和系統能量守恒兩大規律，結合系統初末狀態下的能量關系列方程求解.