圓中常用輔助線的作法

趙瑞國

解與圓有關的幾何問題時，常常需要添加適當的輔助線將復雜的圖形轉化為基本圖形，從而方便求解.因此，掌握作輔助線的一般規律和常用方法，對提高同學們分析問題和解答問題的能力是大有幫助的.下面就介紹幾種圓中常用輔助線的作法.

一、遇弦，作弦心距

已知題目條件中有圓的弦時，常添加已知弦的弦心距為輔助線，這樣既能直接運用弦心距垂直平分弦的性質，又可以組成直角三角形或者矩形，然后利用勾股定理等知識解答.

例1 ?如圖1，在Rt△中，∠=90°，=8，=15，以點為圓心，為半徑的⊙交于點，求的長.

分析：本題中所求AD是圓中的弦，根據求弦的常用方法，先求弦的一半，因此想到過C作CM⊥AB，交AB于點M，由垂徑定理可知M為AD的中點，由三角形的面積可求出CM的長，在Rt△ACM中，根據勾股定理可求出AM的長，從而求得AD.

評析：求解圓中與弦有關的問題，常需作弦心距，其目的是構造以半徑、弦心距、弦為邊的直角三角形，并利用垂徑定理建立通弦、弧、弦心距之間的聯系.

二、遇直徑，作圓周角

在圓中直徑所對的圓周角是直角;反之，在圓中如果圓周角是直角，則該圓周角所對的弦是直徑.在解題時，如果出現直徑且求角的度數或過程中需要求某角的度數時，常要結合直徑作圓周角，再利用直角三角形的一些性質，尋找解題的思路.

例2 ?如圖2，是⊙的直徑，是弦的延長線上一點，且=，的延長線交⊙于點.

（1）求證：=;

（2）連接，若∠=25°，求∠的度數.

分析：（1）由AB是直徑，很自然想到其所對的圓周角是直角.連接.首先證明=，推出∠=∠=∠即可解決問題;（2）連接，根據∠=90°﹣∠，只要求出∠即可;

評析： 由于直徑所對的圓周角為直角，所以在有關圓的證明或計算問題中，利用該性質極易構造出直角三角形，從而可以很方便地將問題轉化到直角三角形中進行求解.

三、遇兩圓相切，作公切線

當題目的已知條件中有兩個圓相切的條件時，常常過切點作它們的公切線，得到弦切角，然后利用弦切角定理獲得相等的角，從而尋找解題途徑. 一般地，若兩圓外切，則添加“外公切線”;若兩圓內切，則添加“內公切線”.

例3 ?如圖3，已知：⊙、⊙外切于點，是⊙上一點，直線切⊙于點交⊙于點，直線交⊙于點.

（1）求證：平分∠;

（2）將“⊙、⊙外切于點”改為“⊙、⊙內切于點”，其它條件不變.（1）中的結論是否仍然成立？畫出圖形并證明你的結論.

分析：（1）欲證平分∠，即證∠=∠，可以過點作兩圓的公切線交于點，根據切線的性質得出∠=∠，∠=∠，再通過角與角相互間的關系得出;（2）同（1），只是∠=∠﹣∠=∠﹣∠=∠.

評析： 在解答有關兩圓相切的問題時，公切線是連接兩圓的“橋梁”，可使兩圓的圓周角產生聯系，進而運用弦切角定理.

四、遇兩圓相交，作公共弦

當題目中有兩圓相交的條件時，作輔助線的常用方法是作兩圓的公共弦.由于兩圓的連心線垂直平分公共弦，這樣就可以把兩圓的半徑、公共弦長的一半、圓心距等集中起來，連通兩圓中的弦、角關系，從而尋找兩圓之間的等量關系.

例4 ?如圖5所示，已知⊙與⊙相交于、兩點，過點作⊙的切線交⊙于點，過點作兩圓的割線，分別交⊙、⊙于點、，與相交于點.

分析：（1）連接，根據弦切角等于所夾弧所對的圓周角得到∠=∠，又根據同弧所對的圓周角相等得到∠=∠，等量代換得到∠=∠，根據內錯角相等得到兩直線平行即可;（2）根據切割線定理得到=·，求出的長，然后再根據相交弦定理得·=·，求出，再根據切割線定理得=·=·（+），代入求出即可.

評析：在解兩圓相交問題時，常作兩圓的公共弦，通過公共弦建立兩圓之間角的等量關系.解答本題要注意弦切角定理、圓周角定理、切割線定理的合理運用.

總之，圓中添加輔助線的方法多種多樣，在解題過程中要仔細推敲題設，找出已知量與未知量間的關系，巧妙添加輔助線建立起兩者之間的聯系，從而快速、準確地找到解題的突破口.