隨機聚苯鏈的基爾霍夫指標

曹月芬,李美蓮

(1.集美大學理學院，福建 廈門 361021;2.龍巖學院數學與信息工程學院，福建 龍巖 364012)

0 引言

本文僅考慮有限簡單圖，若無特別說明，有關圖論的符號和術語見文獻[1]。

圖中的電阻距離是由Klein等[2]于1993年首先提出的。設G是n階連通圖,其頂點集{v1,v2,…,vn}。把圖G中的每一條邊由一固定電阻(用單位電阻)代替,則可得到對應的電網絡N。那么頂點vi和vj之間的電阻距離r(vi,vj)就等于電網中節點vi和vj之間的等效電阻,并且滿足歐姆定律和基爾霍夫法則?；鶢柣舴蛑笜薑f(G)就定義為G中所有點對之間的電阻距離之和。

(1)

一種大環狀芳香族碳氫化合物稱為聚苯,它們吸引了化學家們的廣泛關注[3-10]。聚苯的分子圖(或者更精確地說,表示碳原子的圖)稱為聚苯系統。如果聚苯系統的每一個頂點都位于一個六邊形中,并且將聚苯系統里每一個六邊形收縮成一個頂點所得到的圖形是一條路,稱它是聚苯鏈。圖1給出了n=1,2時的唯一的聚苯鏈及n=3,4時所有的聚苯鏈。

更一般地,一個具有n個六邊形的聚苯鏈PPCn可以看作是由一個具有n-1個六邊形的聚苯鏈通過一條割邊連接一個新的六邊形而得到(見圖2)。

1 主要結果

定理1 對于n≥1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

證明如前所述，聚苯鏈PPCn可以由PPCn-1通過一條割邊連接一個新的六邊形得到(見圖2)。設末端的六邊形其頂點集為{x1,x2,…,x6},新的邊為un-1x1(見圖2),則：

2)PPCn-1有6(n-1)個頂點。

3)對?v∈PPCn-1,r(x1,v)=r(un-1,v)+1,r(x2,v)=r(un-1,v)+1+5/6,r(x3,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x4,v)=r(un-1,v)+1+3/2,r(x5,v)=r(un-1,v)+1+4/3,r(x6,v)=r(un-1,v)+1+5/6。所以有

r(x1|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)+35/6，(2)

r(x2|PPCn)=r(x6|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+5/6)+35/6，(3)

r(x3|PPCn)=r(x5|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+4/3)+35/6，(4)

r(x4|PPCn)=r(un-1|PPCn-1)+6(n-1)(1+3/2)+35/6。

(5)

Kf(PPCn+1)=Kf(PPCn)+6r(un|PPCn)+71n+35/2。

(6)

對于一個隨機聚苯鏈PPC(n,p1,p2),r(un|PPC(n,p1,p2))是一個隨機變量,把它的期望值記為Un=E(r(un|PPC(n,p1,p2))。

由于上面3種情形分別是以概率p1、p2和1-p1-p2隨機發生的,由數學期望的定義可得：

Un=p1[r(un-1|PPCn-1)+14n-14+35/6]+p2[r(un-1|PPCn-1)+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[r(un-1|PPCn-1)+15n-15+35/6]。

(7)

對于式(7),應用數學期望的定義及線性性質,且由E(Un)=Un，可以獲得:

Un=p1[Un-1+14n-14+35/6]+p2[Un-1+11n-11+35/6]+

(1-p1-p2)[Un-1+15n-15+35/6]。

(8)

式(8)可以化簡為Un=Un-1+(15-p1-4p2)n+p1+4p2-55/6。初始條件是U1=E(r(u1|PPC(1,p1,p2))=35/6。

應用上面的遞推關系和初始條件,有

Un=(15-p1-4p2)n2/2+(p1+4p2-10/3)n/2。

(9)

對于一個隨機聚苯鏈的基爾霍夫指標的期望值的遞推關系可以由式(6)給出,應用數學期望的線性性質以及式(9),可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=E(Kf(PPC(n-1，p1,p2)))+6Un-1+71(n-1)+35/2=E(Kf(PPC(n-1,p1,p2)))+6[(15-p1-4p2)(n-1)2/2+(p1+4p2-10/3)(n-1)/2]+71(n-1)+35/2。這邊的初始條件為E(Kf(PPC(1,p1,p2)))=35/2。

應用上面的遞推關系和初始條件,可得：E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(15-p1-4p2)n3+(3p1+12p2+8)n2+(-11/2-2p1-8p2)n。

推論1 對于一個隨機聚苯鏈PPC(n,p1,p2)(n≥3),有E(Kf(Mn))≤E(Kf(PPC(n,p1,p2)))≤E(Kf(Ln))。

證明由定理1,有E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)p2+15n3+8n2-11/2n。

注意到n≥3，?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p1=-n3+3n2-2n=-n(n2-3n+2)=-n(n-2)(n-1)<0,?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p2=-4n3+12n2-8n=-4n(n2-3n+2)<0。所以，當p1=p2=0(即p3=1)時，para-鏈Ln的基爾霍夫指標具有最大的數學期望值。當p1+p2=1時，E(Kf(PPC(n,p1,p2)))包含有最小值。令p2=1-p1(0≤p1≤1),則:E(Kf(PPC(n,p1,p2)))=(-n3+3n2-2n)p1+(-4n3+12n2-8n)(1-p1)+(15n3+8n2-11/2n),所以，?E(Kf(PPC(n,p1,p2)))/?p1=3n3-9n2+6n=3n(n2-3n+2)>0。從而當p1=0即p2=1時，meta-鏈Mn的基爾霍夫指標獲得了最小的期望值，從而推論1得證。