Mn(c)×R1中具有三個不同特征值的偽平行類空超曲面

戴忠柱, 姜蘊芝, 初裴裴

(營口理工學院 基礎部, 遼寧 營口 115014)

眾所周知,Lorenzian空間中超曲面的研究在廣義相對論中起著很重要的作用.超曲面是余維數為1的子流形,作為子流形的代表得到了廣泛研究.1982年,Thurston[1]給出了空間中關于幾何化猜想的八個模型以來,許多數學工作者對與該結論相關的乘積空間中子流形問題進行了深入研究,并將其推廣到Lorenzian乘積空間中的超曲面問題,關于刻畫Lorenzian乘積空間中超曲面的相關幾何問題,近幾年逐漸成為一個活躍的研究課題之一,見文獻[2-3].

偽平行超曲面是半平行超曲面的自然推廣,是幾何弦理論的模型空間,因此刻畫偽平行超曲面的特征具有一定意義.對于空間形式及黎曼乘積空間中的偽平行超曲面的分類已經得到許多深刻的結果[4].關于偽黎曼空間形式中偽平行超曲面還沒有完全分類結果,但也得到了許多深刻的結論,Magid[5]研究了Lorenzian空間中平行及半平行超曲面并給出了相應的分類結果,劉建成等[6]研究偽黎曼空間形式中偽平行類空子流形,將黎曼空間形式中偽平行,半平行概念推廣到偽黎曼空間形式中,刻畫了偽平行超曲面的存在性及幾何特征.類比黎曼乘積空間中研究偽平行超曲面的方法,本文研究高維Lorenzian乘積空間Mn(c)×R1中偽平行超曲面存在的充要條件及基本的結論.

1 預備知識

設Mn(c)×R1是Lorenzian乘積空間,其度量為〈,〉=〈,〉Mn-dt2.其中Mn(c)是n維單連通黎曼流形,具有誘導度量〈,〉Mn.光滑浸入f:Σn→Mn(c)×R1是類空超曲面,記

為外圍空間Mn(c)×R1的單位類時向量場.對于任意η∈T⊥Σn,T∈TΣn

?t=f*T+〈η,?t〉η=T+〈η,?t〉η

假設η和?t具有相同的時間定向

其中:θ是η與?t所成的雙曲角.

式中:X,Y∈TΣn,A：TΣn→TΣn為Σn限制到高斯映照N上的形狀算子或第二基本形式.

Σn上的曲率算子R定義為

R(X,Y)Z=[X,Y]Z-[X,Y]Z

(3)

式中：X,Y,Z∈T(Mn(c)×R1),X*為X在Mn(c)上的投影,且X*=X+〈X,?t〉?t，ε=±1.

Gauss方程和Codazzi方程分別為

式中：X,Y,Z∈TΣn；V∈T⊥Σn.

(6)

定義1設f:Σn→Mn(c)×R1是等距浸入,若對于任意的X,Y∈TΣn,存在Σn上的實值光滑函數φ,使得

R(X,Y)·B=φ(X∧Y)·B

則稱f是偽平行浸入.

若對于任意的X,Y,Z,W∈TΣn,特別地,當φ=0時,f是半平行浸入.由此可見,偽平行浸入是半平行浸入的一個推廣.

定義2設H是Σn在Mn(c)×R1中的平均曲率向量場,如果R⊥(X,Y)H=0,則稱f是H-平行浸入.

2 主要定理及證明

定理1設f:Σn→Mn(c)×R1是等距浸入,f是偽平行浸入當且僅當

(λj-λi)(c-cε|Tj|2-cε|Ti|2+ελiλj+φ)=0

(9)

或

cεTjTk(λi-λk)=0,(k≠i,j)

(10)

式中:T□=〈T,e□〉,λi,λj,λk是Σn的主曲率.

證明令{e1,e2,…,en}為Σn上局部正交標架場,由偽平行的定義有

另一方面,由Gauss方程(6)及B(ei,ei)=〈Aηei,ei〉η=λiη

將上述兩式代入

由偽平行的定義有

φ(λi-λj)=(λj-λi)(c-cε|Tj|2-

cε|Ti|2+ελiλj)η

(λj-λi)(c-cε|Tj|2-cε|Ti|2+ελiλj+φ)=0

同理

R(ei,ej)ek=-εTjTkei+εTiTkej

由偽平行的定義

定理得證.

定理2設f:Σn→Mn(c)×R1是偽平行浸入,則f是H-平行浸入.

證明f:Σn→Mn(c)×R1是偽平行浸入,對任意法向量場η∈T⊥Σn,選取Σn的切標架場{e1,e2,…,en}使得Aηei=λiei,i=1,2,…,n,則對于任意X,Y∈TΣn

另一方面

2〈B(R(X,Y)ei,ei),η〉}=

n〈R⊥(X,Y)H,η〉

結合兩式有

R⊥(X,Y)H=0

定理得證.

定理3令f:Σn→Mn(c)×R1是至少具有三個特征值的偽平行類空超曲面,則形狀算子Aη有如下表示:

證明令{e1,e2,…,en}為Σn上局部正交標架場,滿足:

Aηei=λiei,?i∈{1,2,…,n}

情形1:T?span{ei,ej},則存在k∈{1,…,n}-{i,j}使得Tk≠0.由方程(10)可知Ti=Tj=0,即T⊥{ei,ej},根據方程(9)得到λiλj=c+φ;

情形2:T∈span{ei,ej},根據方程(11)得到λiλj=ccosh2θ+φ;

由以上討論,假設Aη的三個特征值為ν,μ,λ,對應特征向量的下標組成的集合分別記為A,B,C.則λμ,λν,νμ∈{c+φ,ccosh2θ+φ},說明三個乘積之間至少有兩個相等,不妨假設λν=μν,若ν≠0,則λ=μ,與假設至少有三個特征值矛盾,于是令ν=0,即λν=μν=0,λμ≠0∈{c+φ,ccosh2θ+φ}.

2) 當c+φ=0時,λμ=μν=0=c+φ,由情形1,T⊥span{ei,ej},?j∈B∪C,?i∈A,說明T=0與假設矛盾.即λμ=-csinh2θ.定理得證.

說明:由定理3可知,φ=-ccosh2θ≠0對于Lorentzian乘積空間Mn(c)×R1中具有三個不同主曲率的類空超曲面,不可能是半平行類空超曲面.

推論1令f:Σn→Mn(c)×R1是至少具有三個特征值的為平行類空超曲面,則Σn是常角超曲面.

X(coshθ)=-〈AηX,T〉=0

說明coshθ是常數.