孟廣武
(1.聊城大學數學科學學院,山東聊城 252000;2.喀什大學數學與統計學院,新疆 喀什 844000)
層次結構是L-拓撲學最顯著的特點.為了最大限度地彰顯這個特點,李永明引入了α-閉集[1],直接將閉集肢解為層次閉集.與此不同,筆者從閉包的角度,提出了一類更為廣泛的層次閉集——Dα-閉集[2].在此基礎上,層次連通性、層次分離性、層次緊性相繼問世,初步形成了層次L-拓撲空間理論[3,4].
本文利用Dα-閉集,在L-拓撲空間中,定義了理想的層次極限點和層次聚點,并研究了它們的基本性質,形成了理想的層次收斂理論.
本文的L=(≤,∨,∧,′)始終表示模糊格,即帶有逆序對合對應的完全分配格;0和1分別表示L的最小元和最大元;.X表示非空分明集.
從X到L的映射被稱為X上的L-集,所有這樣的L-集記作LX,它自然形成一個模糊格(LX,≤,∨,∧,′).對于α∈L,αX表示X 上的常值L-集,β*(α)表示α的標準極小集;(LX,δ)表示L-拓撲空間,M(L)表示L的全體分子之集,M*(LX)表示LX的全體分子之集;對e∈M*(LX),η(e)和η-(e)分別表示e的一切遠域之集和一切閉遠域之集;對A∈LX,r∈L,A[r]={x∈X:A(x) ≥r};對B∈2X(X 的一切子集所成的集族),χB表示B的特征函數.
其它未說明的術語與符號參見[5].
定義1.1[2]設(LX,δ)是L-拓撲空間,α∈M(L),層次閉包算子Dα:LX→δ′定義為
?A∈LX,Dα(A)=∧{G∈δ′:A[α]?G[α]},稱Dα(A)為A的Dα-閉包.
定理1.1[2]設 (LX,δ) 是L-拓撲空間,α∈M(L),A,B∈LX.則
(D1)Dα(0)=0;
(D2)Dα(A∨B)=Dα(A) ∨Dα(B);
(D3)A[α]?(Dα(A))[α];
(D4)Dα(Dα(A))=Dα(A).
定義1.2[2]設(LX,δ) 是L-拓撲空間,α∈M(L),A∈LX.稱A 為(LX,δ)中的Dα-閉集,若(Dα(A))[α]=A[α].
(LX,δ)中的全體Dα-閉集記為Dα(δ).
定理1.2[2]設(LX,δ)是L-拓撲空間,A∈LX.若A∈δ′,則對任意的α∈M(L),A∈Dα(δ),即δ′?Dα(δ).
定義1.3[5]設(LX,δ) 是L-拓撲空間,e∈M*(LX),I是LX中的理想,那么
(1)如果η(e) ?I,則稱e為I的極限點,或稱I收斂于e,記作I→e;
(2)如果?A∈I以及?P∈η(e),A∨P≠1X,則稱e為I的聚點,或稱I聚于e,記作I∞e.
I的一切極限點之并記作limI,I的一切聚點之并記作adI.
定理3.1對LX中的理想I以及α∈M(L),I[α]={A[α]:A∈I}是2X中的下集和上定向集,但一般不是理想.
證明在集合的包含關系之下,I[α]是2X中的下集。事實上,設A[α]∈I[α],對任何B∈2X且B?A[α],則αχB≤A,這里
圖1 W(f,g)的圖像
圖2 C(f,g,h)的圖像