基于復雜網絡的森林空間結構穩定性研究

李 銳，達娃扎西，魏 甫

(1.國家林業和草原局中南調查規劃設計院，長沙 410014;2.西藏自治區林業調查規劃研究院，拉薩 850000)

現有的森林穩定性研究中往往是從局部森林考慮，以單木作為研究對象，通過林分空間結構指數角尺度、混交度和大小比數等對林分空間結構進行優化，采用間伐和合理補植補造的方式降低林木競爭，使林分趨向平均化，來提高林分結構穩定性[1-2]。對于達到成熟齡的人工林，一般情況下的處理方式就是對其進行皆伐，對于中齡林，進行間伐時也是憑實際的經驗來操作，幾乎不可能做到在人工林中對林木的屬性因子和空間位置關系進行全部調查，然后對其進行計算優化調控，因而林分的空間結構優化調整大多數還是停留在局部小范圍，在林業管護站或工區這一大面積的范圍內很難系統的實施。

本文在研究森林結構穩定性時采用小班水平上的劃分方法，將小班看做是林分中的“單木”，其相鄰小班之間的邊緣效應[3-5]近似模擬林分中“單木”與“單木”之間的空間位置關系，進而實現小班的“混交”模式。利用復雜網絡[6-8]將之抽象化為森林耦合網絡[9-10]，網絡中的每個節點代表現實林分中相對應的小班。對選取網絡的進行隨機攻擊，分析節點介數分布對網絡的結構穩定性影響，構建森林耦合網絡結構穩定性模型，網絡的穩定反映了整個森林系統的穩定，進而從系統工程學的角度上來闡述森林系統的穩定性。

1 構建森林景觀斑塊耦合網絡

耦合體是由斑塊組成，內部具有連續性同時外部具有阻隔性的較為封閉的系統。構建的條件一是內部的斑塊具有連續性，每個斑塊至少有一個斑塊與之相連；二是耦合體的外部具有阻隔性，即耦合體與耦合體之間必定沒有斑塊相連；三是在耦合體內部允許“空洞”的出現，即耦合體內部可以出現斑塊的缺失[11]。

以湖南省桃源縣森林資源二類調查數據為基礎，基于鄰接關系構建斑塊耦合網絡。首先，將小班重新劃分，樹種劃分為為松木、杉木、闊葉、竹林、灌木林和經濟林，齡組劃分為幼齡林、中齡林、成熟林；其次對相同的小班進行合并，得到新的斑塊。這些由新斑塊構成，并相互連續形成閉合區域的斑塊集合即為森林景觀斑塊耦合體。如圖1所示，小班①、小班②、小班③和小班⑥(圖中粗黑線所示區域)均代表闊葉中齡林，小班④和小班⑤(圖中黑色虛線所示區域)則代表杉木幼齡林。小班合并之后，分別得到圖2中的新斑塊和，而這些由新斑塊構成并相互連續的，且形成閉合區域的斑塊集合即為森林景觀斑塊耦合體。

圖1 小班融合前

圖2 小班融合后

從構建的耦合體中選取斑塊數為150左右，且外形不同的耦合體10個。將之抽象化為森林景觀斑塊耦合網絡。在耦合網絡中，每一個節點都對應斑塊的幾何中心，每一條邊表示斑塊之間相互連接，斑塊之間的邊緣效應都極顯著，默認為節點之間的邊權都為1[12]。

2 相關指標選取

2.1 節點數——網絡規模指標

針對森林耦合網絡，對其攻擊主要是考慮節點的移除，從此方面考慮網絡的規模，即節點數，可作為評判網絡的結構穩定性的一方面標準。

2.2 介數——節點重要程度指標

森林系統的能量物質循環往往是在局部范圍內傳輸的，而非單一小班對之間，因此在研究某一節點時重要程度時，還需要考慮多個節點對該節點的影響，這里就引入介數來對網絡中單個節點的重要程度進行分析。介數指標主要是描述節點對于信息流動的影響力，描述了能量和物質流經該點的可能性，若該點的能量流和物質流相應的增大，反映為網絡指標上即為介數的增大，利用介數即可確定節點的能量、物質負載程度，一定程度上表征節點的重要程度。

假設網絡具有n個節點，則節點x的介數指標定義為：

(1)

式中：gjk為節點j和節點k之間的最短路徑數，gjk(x)為節點j與節點k之間經過節點x的條數，(n-1)(n-2)/2為任意兩節點的連線經過節點x最大可能節點的介數。

2.3 最大子網

在對網絡節點攻擊后，會產生很多孤立的節點和凝聚子群，在每次攻擊后剩下包含最多節點數的凝聚子群稱為最大子網，其最大子網節點數公式為：

(2)

Nn為第n次移除節點后最大子網剩下的節點數，m為n+1次移除節點后剩下凝聚子群的個數，Li為凝聚子群中節點的個數，G為n+1次移除節點后剩下的孤立節點數。

2.4 網絡崩潰閾值

在一個網絡G中，隨機的移除f比例的點，即Nf個點，當移除的比例達到f=fn時，網絡臨界崩潰值，稱f為網絡崩潰閾值。在攻擊過程中，所有的攻擊都指將點完全的移除，其相對應的邊也移除，且不考慮對邊的攻擊，這樣網絡中所有邊的權值始終為1，當最大子網的節點數小于或等于原網絡節點數的一半時認為網絡崩潰。

3 介數分布對網絡結構穩定性的影響

實驗對10個網絡每次按原有網絡3%的節點數進行循環移除，每個網絡做3次實驗，每次10次攻擊，每個網絡取平均崩潰閾值，得到表1。

表1 網絡的崩潰閾值表網絡編號原網絡節點數每次移除節點數崩潰節點數崩潰閾值123平均崩潰閾值11474740.210.150.240.2021515760.120.090.090.1031495750.090.120.150.1241535770.180.150.120.1551464730.150.120.180.1561515760.210.180.180.1971474740.150.150.120.1481515760.180.120.120.1491555780.030.120.060.07101525760.240.210.210.22

通過比較在不同介數范圍內的節點數差異值可以判斷其網絡的穩定性，但不夠直觀，因此對不同介數范圍內的累計節點數與介數中值做多種回歸分析，通過對R2的分析，發現對數回歸的效果最好，其R2的均值為0.957 5，構建回歸模型方程(3)，利用Matlab作方程曲線圖3。

(3)

式中:fn(x)為累計節點數，n為不同的網絡，x為介數中值，方程中a=b=1。

由圖3可知，網絡中累計節點數是隨著介數范圍的增加而增加的，但在介數范圍為小于0.1時，累計節點數增加的很快，超過此范圍隨后增加速率逐漸變緩，說明大部分的節點介數都在0～0.1之間，而介數大于0.1的節點較少。結合表2，網絡10的平均崩潰閾值為0.22，其方程曲線f10(x)的起始點接近于原點；網絡9的平均崩潰閾值為0.07，其方程曲線f9(x)的起始點遠離原點，說明網絡的平均崩潰閾值與曲線方程的起始點位置有關，且起始點越接近原點，網絡越穩定，越遠離原點，網絡則越脆弱。產生這種原因主要是跟網絡的結構有關，網絡10節點數在介數范圍內的差異值分布較網絡9要小，也就是說網絡10中介數值小的節點數較少，介數值大的節點數也較少，節點的介數分布更為均勻，每個節點的重要程度更為均衡，在對網絡節點等概率攻擊時，對網絡結構穩定性影響較小，因而網絡也會更為穩定。體現在森林耦合體中，這類耦合體大多數呈團狀或趨向于團狀分布，小班連接更為緊密，更利于小班中物種的遷徙與能量物質的交換，而類似于網絡9的耦合體，其小班分布較為分散、破碎，大多數呈帶狀或是星型分布，大多數小班的重要程度都不高，只有少數小班為極為重要的小班，受到等概率隨機攻擊時，若攻擊到這些小班，耦合體可能就會瞬間崩潰。

圖3 累計節點數與介數中值回歸方程曲線圖

4 網絡結構理想穩定性模型構建

由于網絡累計節點數與介數的回歸方程組(3)中的方程均為單調遞增函數，若fn(x)>0，則此時曲線的起始點會無限接近于0，此方程即為累計節點數在介數范圍內分布的理想方程，構建方程(4)。

(4)

(5)

通過g(x)=f2n(x+1)-f2n(x)得到不同介數范圍內節點數分布的理想方程(6)為：

(6)

當k=1×10-5時，a=13.66

g1(x)=13.66 ln[(x+1)/x]

(7)

當k=1×10-10時，a=6.83

g2(x)=6.83 ln[(x+1)/x]

(8)

當k=1×10-15時，a=4.55

g3(x)=4.55 ln[(x+1)/x]

(9)

當k=1×10-20時，a=3.42

g4(x)=3.42 ln[(x+1)/x]

(10)

當k=1×10-25時，a=2.73

g5(x)=2.73 ln[(x+1)/x]

(11)

結合方程(7—11)和圖4可知，當k=1×10-5時，g(x)的系數為13.66，曲線弧度較大；當k=1×10-25時，g(x)的系數為2.73，曲線弧度很小，趨于直線。說明隨著k的取值越來越小，曲線g(x)無限趨向于一條直線，當k取到無窮小的正值時，g(x)即為節點數在介數上分布的理想曲線，森林耦合網絡最為穩定。此時網絡中的節點介數分布趨于完全平衡狀態，網絡中每個節點的連線方式高度相似，耦合體內的小班形狀、大小幾乎一致，移除任意一小班，對整個森林的能量、物質流產生的影響很小，森林為理想穩定狀態。

對任意一條理想曲線g(x)來說，其“直線”的前端始終“高于”末端，說明介數小的節點始終要多于介數大的節點，在通過模型近似推演理想森林耦合網絡中(圖5)，最外層的節點(藍色)的介數一般在0～0.01之間，而第二層節點(綠色)的介數要大于最外層的節點介數，節點介數是由外向內依次遞增的，在最中心的節點(黃色)介數最大，達到0.935 6，而節點數則是由外向內逐步遞減。反映到現實森林中(圖6)，每個小班代表不同的森林，且面積大小一致。在整個森林耦合體中，能量、信息流經邊緣小班的概率最小，同時此類小班的重要程度也最低，而核心小班的則處于耦合體的能量、信息交匯中心，負載程度最高，對整個景觀內動植物的繁殖、生長、遷徙等起著至關重要的作用，這與Estrada E提出用介數來衡量可以節點的重要度，且經過該節點的最短路徑越多則該節點的重要程度越高一觀點也是相契合的[13]。

圖5 理想狀態下森林耦合網絡

圖6 理想狀態下森林耦合體

5 結論與討論

5.1 結論

根據網絡的崩潰閾值表可發現，網絡的平均崩潰閾值與曲線方程的起始點位置有關，且起始點越接近原點，網絡越穩定，越遠離原點，網絡則越脆弱。累計節點數在介數范圍內分布的理想方程進而遞推出不同介數范圍內節點數分布的理想方程，當理想方程(6)中的k取到無窮小的正值時，方程g(x)曲線無限趨向于一條直線，即對于一個耦合網絡來說，當不同介數范圍內節點數分布曲線越趨向于一條直線，森林耦合網絡越穩定。利用該理想方程近似推理出理想狀態下森林耦合網絡和耦合體，發現在整個森林耦合體中，核心小班的則處于耦合體的能量、信息交匯中心，負載程度最高，對整個景觀內動植物的繁殖、生長、遷徙等起著至關重要的作用。在森林經營過程中需要盡量避免采伐核心小班，且采伐后需要盡快補植，維持整個森林系統的穩定性。

5.2 討論

通過網絡累計節點數與介數中值的回歸方程組進行推導得到不同介數范圍內節點數分布的理想方程，此方程主要針對節點數為150左右的網絡，不同節點數網絡b的取值是不一樣。理想方程g(x)為不定方程，k始終取極小值，且極小程度與曲線的弧度有關，越小，越趨向直線。當節點數在介數上的分布滿足這樣的曲線時，森林景觀斑塊耦合網絡即為理想穩定結構。在研究節點介數分布與網絡結構穩定性之間的關系時，所選用的網絡都均為節點數為150左右的網絡，構建累計節點數在介數范圍內分布的理想方程(4)中的b為方程組(3)中b的均值，而方程組(3)僅能代表的是所選10個網絡樣本累計節點數在介數范圍內的分布情況，并不適用于節點數不同的網絡，因此理想方程實際上僅僅針對于節點數為150個左右的網絡而言有效，如何確定b的取值范圍，將理想方程擴展到不同節點數的網絡是下一步研究的重點。