機械軸與虛擬軸復合的磁流變拋光

張 韜，何建國，黃 文，樊 煒，張云飛

（中國工程物理研究院機械制造工藝研究所，四川綿陽621900）

1 引 言

隨著現代科學技術的不斷發展，復雜曲面光學元件在科學實驗和國防領域中的應用越來越廣泛。面向科學實驗和國防科技的光學產品和裝置對復雜曲面光學元件的需求與日俱增［1］，大量高精度曲面鏡被用來校正像差、改善像質、擴大視場、簡化結構與減輕質量，以促進光學系統的性能提升。磁流變拋光技術可以實現光學元件的快速高精度低成本制造，因而在光學加工中應用廣泛。為實現材料的確定性去除，需要實時保證拋光輪適應工件的面形，保持法向接觸以保證去除函數的一致［2］。在加工曲面面形時，常規的方法是通過機床的機械軸聯動控制工件的位姿和位置實現工具上的定點與工件法向接觸。對于非球面和自由曲面拋光，機床需要更多的轉動軸來保證加工自由度，而多自由度的機床造價昂貴、占用空間較大、結構復雜，實現高精度聯動控制難度較大；其次，加工能力受限于機床轉動軸的行程，當元件陡度較大時會出現超行程的問題；此外，機械軸本身的質量和慣量很大，在加工高陡度曲面元件時會接近其極限行程，運動產生的機構振動和定位誤差大，導致面形精度惡化，影響加工質量［3］。由此可見，低自由度下曲面元件的加工和聯動機械軸加工行程的擴大，對于提高磁流變拋光工藝的適用性有著重要的意義。

機床自由度是由機械軸數量決定的，因此在低自由度下加工曲面件本質上是降低對機械軸數量的要求。針對這個問題，周潔［4-5］在利用七軸四聯動砂輪工具磨削自由曲面時設計了一種母線圓弧面結構的砂輪，整個外緣圓角作為工作表面，找到能和自由曲面法向量一致的磨削點來擬合，使得四軸聯動機床上加工扭轉葉片成為可能。在磁流變拋光工藝中，美國QED公司的Maloney等［6］提出了“虛擬軸”代替機床聯動軸，以解決磁流變機床自由度不足的問題。磁流變拋光的工具是拋光輪，與文獻［4］砂輪外緣一樣有圓弧部分。該方法同樣利用了圓弧的幾何對稱性，拋光時工件與拋光輪上緞帶的法向接觸點根據面形法矢在一定范圍內變動，因此不需要添加物理軸，同時QED公司拋光輪上的觸點可變范圍達±45°。國防科技大學的宋辭［8］等人根據拋光輪和磁鐵的結構尺寸以及工藝參數理論計算了可加工工件的最大斜率，并進行了磁場穩定性仿真和測量。該方法以去除函數的體去除率和形態作為衡量指標，確定了±7°的最大可加工工件傾角。雖然去除函數特性非常穩定，但是工件可加工傾角范圍太小，導致虛擬軸的范圍受限。中科院長春光機所的李龍響［9］提出虛擬軸可用的前提是拋光液循環系統和永磁場的分布穩定，并進行了穩定永磁場的設計，結合去除函數完整性和實際加工需求給出了±15°的工件傾角范圍，以體去除率證明去除函數的穩定性，并給出了虛擬軸下位姿控制坐標的變換關系。

綜合目前的研究來看，低自由度下加工陡度較低曲面的問題已通過虛擬軸解決，但針對高陡度曲面元件的加工，虛擬軸卻難以滿足要求，此時依然需要單獨調用機械軸聯動參與加工過程。目前，沒有學者提出將虛擬軸和機械軸復合使用的方法用于磁流變拋光，因此虛擬軸的適用性還有進一步擴展的潛力。本文針對高陡度曲面元件加工時機床聯動軸行程不足的問題，結合磁流變拋光中的虛擬軸原理，提出了將虛擬軸和聯動軸結合以間接擴展機械軸行程的方法，并以此為基礎進行了該方法的坐標解算。實驗表明，本文所提出的磁流變加工方法在提高機床聯動軸加工行程的同時保證了面形收斂，機床的加工能力得到了明顯的提升。

2 磁流變拋光及虛擬軸原理

磁流變拋光的基本原理是磁流變液（由磁性顆粒、拋光粉、基液和穩定劑組成）通過具有傳送和回收功能的循環系統流動，從而實現對工件表面的加工。其中，拋光液通過輸液泵由噴嘴噴灑在旋轉的拋光輪上，在高梯度磁場的作用下凝聚變硬，成為具有黏塑性的Bingham介質緞帶，在工件與緞帶接觸區以剪切的形式實現對材料的去除，如圖1所示。

圖1 磁流變拋光循環系統Fig.1 Magnetorheological finishing circulation system

當前的磁流變拋光技術與數控加工技術相結合，形成了數控磁流變拋光技術，這是一種基于計算機控制表面成形技術的確定性拋光工藝［10］。數控磁流變拋光的基本原理是根據干涉儀等測量儀器獲得工件的面形數據，確定材料去除量，根據去除函數特性生成拋光頭的運動軌跡和駐留時間，利用計算機控制遠小于工件口徑的拋光磨頭（磁流變拋光中為拋光輪下的緞帶）沿著規劃的路徑和駐留時間在工件表面運動，保持磨頭與工件間的相對線速度和正壓力一定，去除函數保持確定的特性，經過多次的迭代實現面形誤差的定量去除。加工過程就是拋光工具的去除函數與單位面積的駐留時間在工件表面的卷積，可表示為：

其中：H(x，y)是駐留點位置(x，y)處的材料去除量，R(x，y）是去除函數在(x，y)處單位時間的材料去除量，T(x，y)是(x，y)處單位面積的駐留時間?？梢?，確定性修形的關鍵因素在于去除函數的穩定。

圖2 磁流變拋光的一般加工方法和虛擬軸對比Fig.2 Comparison of general machining method and virtual axis of magnetorheological finishing

為保證多軸聯動拋光時去除函數穩定，一般通過轉動工件使加工點r(x，y)的法向矢量通過拋光輪緞帶最低點A對應的工具矢量來實現［8］，如圖2（a）所示。在一些低陡度光學元件的加工時，若保證拋光輪緞帶最低點附近的法向接觸點（如圖2（b）中的B點）對應的去除函數與最低點處一致，則可以用這些點取代最低點進行法向接觸加工，從而取代某些聯動軸［9］，這些點被稱為切觸點。切觸點的使用使得拋光工具好像在圍繞自身中心O旋轉，形成了虛擬軸。此時，只需要知道拋光輪半徑、緞帶厚度以及浸入深度等信息，便可以根據駐留點的法向量計算對應切觸點的位置，以進行加工。然而，當前“虛擬軸”主要用于取代機械軸，對于虛擬軸和機械軸的復合使用以進一步增強機床的行程，則尚未開展研究。

3 機械軸與虛擬軸復合拋光工藝

3.1 虛擬軸關鍵技術

磁流變拋光的高確定性是由去除函數的穩定性作為基礎的，因此使用虛擬軸的關鍵是確定去除函數的穩定范圍。由于磁流變液凝聚所需的高梯度磁場由拋光輪內部的電磁鐵產生，因此虛擬軸范圍內去除函數特性主要取決于磁場特性。

拋光輪剖面如圖3所示，拋光輪A點所在一側為拋光液流入區，C側為流出區，黑色條紋為緞帶區，陰影部為磁鐵的磁臂。由于磁臂下方圓弧區X方向的尺寸遠大于Y方向的尺寸，可認為除磁鐵邊緣位置外，YOZ截面下方磁臂氣隙的磁場分布相同［11］。設拋光輪上虛擬軸的范圍為圓弧線AC，A和C與拋光輪中心連線與豎直線夾角分別記為圓心角θmax和θmin，其中θmin＜0＜θmax，則虛擬軸轉角即拋光輪中心到拋光緞帶切觸點連線與豎直線夾角，記為θ，其中θ∈[θmin，θmax]。拋光輪表面1.3 mm以內為緞帶所在層面，該層面在AC弧線區的磁場分布決定了虛擬軸下去除函數的穩定性。在循環系統穩定和忽略磁場分布的邊緣效應的條件下，理論上該處的磁場分布應是一致的才可以保證去除函數的一致性［9］。通過測量磁通密度沿緞帶的穩定性以及各測量點與最低點的磁通密度差異大致確定去除函數的采集范圍，以5%的體去除率差異作為衡量去除函數的穩定性指標，得到θmax和θmin的值［7-8］。

圖3 磁流變拋光輪結構Fig.3 Structure of MRF polishing wheel

3.2 機械軸與虛擬軸復合拋光的切觸策略

依靠虛擬軸能夠滿足低陡度曲面的加工需求，但對于高陡度曲面元件而言，虛擬軸的范圍遠遠不夠，此時需要調用機械軸聯動。然而，機床的機械軸行程能力是有限的，而且在大行程狀態下旋轉軸會由于轉矩過大而產生較大的誤差和振動。針對這種元件，可以采用機械軸和虛擬軸復合調用的策略，具體如下：當切觸點在工件上的法矢在虛擬軸范圍時，采用虛擬軸實現變切觸法向加工；當切觸點在工件上的法矢超過虛擬軸范圍時，切觸位置達到虛擬軸邊界處，同時調用機械軸實現法向加工。

根據機床運動結構建立工件-拋光輪坐標系（本文采用左手系），如圖4所示。首先以加工點r(x，y)處的法矢n(x，y)=(i，j，k)計算使用緞帶最低點加工時與虛擬軸復合使用的機械軸轉角β=arcsin(i/1-j2)。若β∈[-θmax，-θmin]則不調用機械軸，以虛擬軸進行變觸點加工，此時虛擬軸角度θ=-β；若加工點超出虛擬軸范圍，如圖4（a）所示，則調用機械軸，其轉角B以式（2）計算，使得加工點到達虛擬軸的θmin或θmax位置，如圖4（b）所示，并以該位置的觸點進行加工，此時θ=θmin或θmax。

機械軸和虛擬軸結合的方法能減少轉動軸的負擔，降低多軸聯動產生的機構振動和定位誤差，同時拓展了加工區域，能提升對高陡度曲面元件的拋光能力。

3.3 機械軸與虛擬軸復合拋光工藝的軌跡坐標解算

圖4 虛擬軸與機械軸的復合調用Fig.4 Polishing with combination of virtual axis and mechanical axis

本文提出的機械軸與虛擬軸復合使用的拋光工藝，其坐標解算需要根據機床結構建立對應的剛體變換模型。實驗平臺是自研的PKC-1000Q2機床，基本結構如圖5所示。該機床具有3平動3轉動共6個自由度，其中拋光輪工具是具有1轉動2平動的并聯機構，其平動方向為主軸的Y方向和Z方向，擺動軸為A軸，垂直于Y軸和Z軸。下方工作臺為1平動2轉動的并聯機構，平動方向為X方向，轉動軸C軸安裝在B軸上。拋光輪采用懸臂梁結構固定于Z軸上。拋光輪直徑為300 mm，表面磁場由內部采用的電磁鐵產生。為實現工件定位，在拋光輪一側裝有Renishaw測頭。該加工系統具備φ1 000 mm以內口徑非球面加工能力，其線性軸的定位誤差在10μm以下，轉動軸的定位誤差在8″以下，A軸行程為±30°，B軸行程為-90°～30°。

圖5 PKC-1000Q2數控機床Fig.5 PKC-1000Q2 CNC machine tool

圖6 機床結構的拓撲模型Fig.6 Topological model of machine tool structure

圖7 拋光輪切觸點與編程點剛體變換關系Fig.7 Rigid body transformation relationship between polishing wheel contact point and programming point

接下來對上述工藝進行軌跡點坐標解算。根據圖5中機床各軸運動機構的連接關系，建立磁流變機床機械結構的拓撲模型，如圖6所示。其中1～3表示工件一邊的運動結構，1表示X軸的運動機構，2表示B軸的運動機構，3表示C軸的運動機構，5～7表示和拋光輪有關的運動結構，5表示Y軸的運動機構，6表示Z軸的運動機構，7表示A軸的運動機構，0表示床身，4表示工件，8表示拋光輪，9表示與工件接觸的拋光輪觸點。

由拓撲模型可得到各結構之間的齊次坐標變換關系［12］。以緞帶最低點作為機床編程點，如圖7所示，分別在拋光輪編程點處和實際觸點處建立坐標系O8和O9，則從O8到O9坐標系的剛體變換可表示為：

O8坐標系原點平移到O9坐標系的原點后相對于X9，Y9，Z9的旋轉變換矩陣。以此類推：表示A軸機械結構運動的坐標系O7到緞帶最低點處坐標系O8的剛體變換矩陣；表示Z軸機械結構運動的坐標系O6到A軸轉動坐標系O7的剛體變換矩陣；表示Y軸機械結構運動的坐標系O5到Z軸坐標系O6的剛體變換矩陣；床身坐標系到表示Y軸機械結構運動的坐標系O5的剛體變換矩陣；床身坐標系到表示X軸結構運動的坐標系O1的剛體變換矩陣；軸運動坐標系到表示B軸機械結構轉動的坐標系O2的剛體變換矩陣；軸轉動坐標系到表示C軸機械結構轉動的坐標系O3的剛體變換矩陣；軸轉動坐標系O3到工件坐標系O4的剛體變換矩陣。

由以上坐標系的剛體變換關系可以得到從工件坐標系O4到觸點坐標系O9的變換矩陣T：

矩陣T的含義為坐標系O9在坐標系O4中的表達。將觸點坐標系下的切觸點坐標v=[0，0，0，1]T，以及切觸點法向矢量w=[0，0，1，0]T右乘矩陣T，得到與工件的切觸點在工件坐標系下的位置qw=[x，y，z，1]T與法矢姿態的表示式vw=[i，j，k，0]T，則有：

解算式（5）形成的方程組即可得到拋光輪緞帶最低點在機床坐標系下的軌跡坐標。

采用光柵線軌跡加工，根據待加工工件的曲面方程，規劃緞帶切觸點的坐標。已知拋光輪切觸點在工件坐標系下的位置［qx，qy，qz］和對應的加工點法矢量[i，j，k]，由于β=按式（2）計算切觸點對應的θ和B軸轉角。拋光輪編程點在床身坐標系下的坐標用式（6）計算。其中，[X，Y，Z，A，B]為拋光輪編程點在床身坐標系下的坐標，θ為虛擬軸對應的圓心角，[xw，yw，zw]是工件坐標系原點相對C軸坐標系的位置，Rr為緞帶最低點距離拋光輪幾何中心的距離，[yt，zt]為緞帶最低點相對A軸軸線的位置，x0為B軸和C軸機械結構在X方向的距離。

綜上所述，基于機械軸與虛擬軸復合的磁流變拋光方法的工藝流程如圖8所示。

圖8機械軸與虛擬軸復合的磁流變拋光工藝流程Fig.8 Process flow chart of magnetorheological finishing with combination of mechanical axis and virtual axis

4 實驗結果與分析

4.1 磁通密度分布測量

緞帶區的磁場分布決定了去除函數特性，是決定虛擬軸范圍的關鍵因素，因此應優先對磁場穩定性進行驗證。經計算，磁臂弧線區的長度換算成角度為90°，考慮磁鐵邊緣效應，對［-30°，30°］的磁通密度進行測量。使用PAX-450型數字特斯拉計，將其測頭擺放在拋光輪緞帶下方1.3 mm處使磁感應線基本垂直穿過內部霍爾元件。調整測頭姿態使特斯拉計達到測量最大值，以同一姿態和距離分別測量各角度對應的磁通密度，得到拋光輪緞帶處的磁感應強度和它關于角度的分布。以拋光輪中心為坐標原點建立柱坐標系，得到各觸點處的磁通密度隨虛擬軸圓心角的分布，如圖9所示。觀察磁感應強度的分布情況可知，總體磁通密度偏弱，處于緞帶收斂的邊界值［9］，并且從拋光液流入區到流出區的磁通密度略微增加。出現這一現象的原因在于磁鐵和拋光輪的配合在X方向出現了偏移，所以兩邊的磁通密度也不完全一致。從去除函數受磁場的影響程度來判斷，去除函數的穩定范圍并不能達到磁通密度的測量范圍。

圖9 拋光輪表面緞帶處的磁感應強度分布Fig.9 Magnetic induction intensity distribution at ribbon on surface of polishing wheel

4.2 不同切觸位置的去除函數獲取與驗證

在驗證去除函數穩定性時，還需要對不同切觸點下的去除函數進行測試。為滿足一般非球面的虛擬軸加工需求［9］，同時考慮θ＜-16°和θ＞20°后磁通密度相對0°時的值變化較大，因此選擇采斑件與水平面的夾角為-16°～20°，采斑步距為4°。實驗的基本工藝參數如下：拋光輪直徑為300 mm，緞帶線速度為1.5 m/s，拋光粉類型為氧化鈰，磁流變液溫度為20℃，室溫在21℃，緞帶的浸入深度為0.3 mm，浸入時間為3 s。去除函數形態與體去除率結果如圖10所示。材料去除量主要與體去除率相關，因此主要關注體去除率的變化［9］。從拋光斑的形態分布以及體去除率信息可以看出，各角度去除函數與0°下的去除函數相比，斑長和斑寬存在很小的差異，體去除率基本在2.0×10-3mm3/s附近分布，磁通密度隨角度的增加而略衰減的問題對去除函數在最低點附近較小范圍內的影響是不明顯的。此外，實驗誤差造成了去除率分布的波動。經計算去除函數在±12°內的體去除率差異性在5%以內，根據文獻［6］和文獻［7］的研究，該范圍內的去除函數可認為是穩定的，基本滿足一般非球面元件的加工需求。此范圍外的去除函數因受到磁通密度變化的影響其體去除率和0°下的體去除率差距會更大，不能認為去除函數是等效的，因此θmin和θmax的值分別取-12°和12°。

圖10 去除函數采集結果Fig.10 Removal function collection results

4.3 帶傾角的球面加工實驗

對一塊口徑為84 mm×84 mm、曲率半徑為300 mm的熔石英凸球面鏡進行加工。在加工時，B軸增加12°傾斜角的基礎偏置，使得元件部分區域超出虛擬軸的加工范圍，以驗證虛擬軸和機械軸的復合使用工藝。

圖11 加工前球面件面形Fig.11 Surface figure of spherical parts before processing

圖12 仿真拋光后面形Fig.12 Simulated figure after MRF

去除邊緣的倒角區后，該元件的初始全口徑面形如圖11所示，其PV值為0.379λ，RMS值為0.081λ。采集去除函數后對初始面形進行仿真加工，路徑為光柵線形式，經過一輪仿真加工后，效果如圖12所示，其全口徑PV值收斂到0.12λ，RMS值收斂到0.005 6λ。而去除邊緣效應后保留95%的口徑，其PV值為0.034 2λ，RMS值為0.002 7λ。利用PKC-1000Q2機床軌跡規劃為光柵線路徑，加工工藝參數為：拋光輪直徑300 mm，轉速120 r/min，拋光粉為氧化鈰顆粒，含水量14%，流量1 800 mL/min，室溫22℃，浸入深度0.3 mm。經過一輪10 min的磁流變拋光后，其PV值收斂到0.219λ，RMS收斂到0.017λ。這里不考慮邊緣效應的影響，僅分析95%口徑的局部區域面形，如圖13所示，其PV值收斂到0.096λ，收斂效率為73.98%；RMS值收斂到0.012λ，收斂效率為84.81%。由此驗證了本文提出的虛擬軸與機械軸復合的磁流變拋光工藝的有效性。

圖13 一輪拋光后95%口徑的面形Fig.13 Surface figure of spherical part for 95% aperture after one round MRF

4 結 論

為了提高磁流變拋光工藝對高陡度曲面元件的加工能力，本文針對常規的拋光輪磁場結構，分析了保證去除函數穩定的磁場特點，通過變觸點磁場特性和去除函數形態變化確定了虛擬軸的范圍，提出了虛擬軸和機械軸的復合使用工藝。該工藝以機械軸作為虛擬軸的輔助軸，將元件超過虛擬軸邊界的高陡度部分變換至虛擬軸范圍內，進一步拓展了加工區域，提升了高陡度曲面元件的加工能力，同時降低了完全依賴機械軸所帶來的振動和定位誤差。實驗加工了一塊偏置傾角為12°、曲率半徑為300 mm的球面工件，將其95%口徑的面形PV值收斂至0.096λ，RMS值收斂至0.012λ。實驗結果表明，虛擬軸和機械軸復合的拋光方法具有針對高陡度曲面的修形能力。