基于PANDA 平臺的飛行器脈動壓力激勵隨機振動響應分析

（中國工程物理研究院總體工程研究所，四川 綿陽 621999）

飛行器在再入大氣層時，外表面的流場將誘導復雜的脈動壓力作用，脈動壓力是飛行器產生隨機振動的主要載荷源。脈動壓力可以通過風洞試驗、飛行試驗或流體分析計算等獲取。得到脈動壓力分布后的結構動力學計算仍具有一定難度：首先再入飛行器處于自由飛行狀態，自由狀態下的動力學分析面臨剛度矩陣奇異問題；其次，再入飛行器不同部位所承受的脈動壓力各不相同，屬于多點相關激勵問題。以脈動壓力為載荷條件，建立面載荷、自由體結構振動響應數值模擬預測技術，對形成較為全面的再入飛行力熱環境預測能力有重要意義。

在航空航天領域，眾多的商業軟件被用來進行結構力學分析，但使用商業軟件面臨著分析自由度受限等問題。目前國內正在積極開發擁有自主知識產權的高性能力學分析軟件，比如 PANDA[1]、PHG[2]、PFEPG[3]等。其中 PANDA（Platform for Parallel Adaptive Nonlinear Dynamic-and-static Analysis）是中國工程物理研究院研發的大規模有限元并行分析軟件平臺，具備千萬自由度、上千CPU 核應用程序開發所需的并行支撐環境能力。在PANDA 平臺過往的研究中，對隨機振動分析功能的研究主要集中于約束結構和受基礎激勵的情況[4-7]。

文中針對自由結構受脈動壓力激勵的情況，介紹相關的理論，并基于PANDA 平臺進行軟件實現。利用自研軟件對自由狀態的飛行器結構受到多個實測脈動壓力激勵的情況進行分析，與某商業有限元軟件對比結果，對PANDA 平臺針對自由體的脈動壓力激勵的隨機振動響應分析功能進行測試和驗證。

1 自由體脈動壓力隨機振動相關理論

1.1 自由體模態分析

對于自由體結構，模態分析形成的總體矩陣存在奇異性，影響計算結果。為消除剛度矩陣的奇異性，可以采用譜變換技術進行處理，模態分析對應的廣義特征值問題為：

式中：x為廣義特征向量；λ為特征值。對剛度矩陣K進行移位變換，式(1)可以變換為：

式中：σ為譜變換移位值。通過式(2)的譜變換，原來的剛度矩陣K變為K+σM，相當于在原來剛度矩陣基礎上對各個自由度施加了1 個約束，通過選取合適的移位值消除剛度矩陣本身的奇異性，從而便于求解。對比式(2)和式(1)可以發現，譜變換后，方程的特征向量并未改變，特征值由原來的λ變成了σ+λ。在具體實現中，只需要將原來的剛度矩陣算子K替換為K+σM即可。求解后的模態振型保持不變，而模態頻率在原來基礎上統一減去σ，即為原來自由體所對應的模態頻率。

1.2 隨機振動分析

對于振動分析，離散后的運動方程可以表示為：

式中：C表示阻尼矩陣；u表示節點位移向量；f表示脈動壓力的載荷離散向量。式(3)中的載荷向量f由脈動壓力載荷離散而來，這涉及到面載荷到節點載荷的等效處理。壓力載荷在單元上通過數值積分轉化成等效的節點載荷，一般可以表示為：

功率譜密度與脈動壓力之間的關系為：

式(6)中，當l=m時，對應自譜，當l≠m時，對應互譜。采用模態疊加法進行解耦，將位移轉換到模態坐標系下：

式中：φj為第j階模態振型；ηj為模態坐標。對于第j個模態坐標，有：

式中：γlj為模態參與系數，下標l和j分別對應壓力激勵和模態階數。式(8)在頻域內的解為：

式中：Hj(ω)為頻響函數。根據模態功率譜的定義，位移的自功率譜密度表達式為：

式中：k表示自由度。速度、加速度功率譜密度和位移功率譜密度之間的關系為：

第k個自由度對應的位移（或速度、加速度）均方根值可以表示為：

2 并行實現簡介

PANDA 平臺基于JAUMIN 框架[8-9]數據結構研發有限元分析平臺，目前具有靜力學、模態和振動、沖擊動力學等多個并行分析軟件，自由體脈動壓力激勵隨機振動響應分析功能是其中的一個求解模塊。PANDA 平臺的架構如圖1 所示。自由體脈動壓力激勵隨機振動響應分析由多個基本功能組合形成，如圖2 所示。

圖1 PANDA 平臺結構Fig.1 The configuration of PANDA platform

圖2 隨機振動響應分析基本功能組合Fig.2 The basic computing flow of random response analysis

從圖2 中可以看到，模態分析是響應分析的基礎，該階段給出結構的模態振型和固有頻率。譜線管理器解析輸入激勵，包括自功率譜密度曲線（實數）和互功率譜密度曲線（復數）。對于每個脈動壓力激勵，都會計算對應的等效節點載荷向量，并利用其與模態振型來計算模態參與系數。指定節點自由度自功率譜密度和計算全場的均方根響應的計算，需要用到模態參與系數、頻響函數、各階模態振型以及輸入的功率譜密度。計算結果以響應曲線和云紋圖的形式輸出。

以上過程中的并行基于單元和自由度展開，在結構的單元計算和矩陣組裝、總體方程組求解、模態參與系數計算、全場均方根響應計算等階段有很好的體現。其中總體特征值方程組的求解依靠集成的Krylov-Schur 算法和Jacobi-Davidson 算法[10-11]完成。

以下針對飛行器算例，開展多點脈動壓力載荷作用下的功率譜密度響應以及均方根響應計算和對比，對研發模塊的正確性進行驗證和展示。

3 飛行器響應分析

3.1 模型介紹

飛行器離散后的有限元模型如圖3 所示，飛行器處于自由狀態，不施加任何約束。PANDA 和商業軟件中都采用六面體實體單元進行網格劃分，網格單元保持一致。選取其底部某點為關注點，用五角星表示。結構承受脈動壓力的分布情況，從飛行器前段開始，將脈動壓力分成3 段，每段分為上部和下部，共計6個不同的區域，如圖4 所示。

圖3 飛行器有限元模型和關注點Fig.3 FE model of aircraft ant the foucs point

圖4 飛行器所受脈動壓Fig.4 The pressure on the aircraft

飛行器表面6 個不同區域受到的脈動壓力功率譜密度（PSD）曲線如圖5 所示。

3.2 模態分析

計算結構前2000 Hz 的固有頻率，PANDA 和商業軟件的對比結果如圖6 所示。從圖6 中可以看到，2000 Hz 內共有89 階模態，PANDA 與商業軟件的結果都吻合得很好。前6 階是剛體模態，固有頻率為0，脈動壓力隨機振動分析只采用從第7 階開始的彈性模態。

圖5 不同區域激勵曲線Fig.5 The PSD on area of different regions

PANDA 與商業軟件計算得到的模態振型也是一致的，這里列出前5 階彈性模態振型的對比情況，如圖7—11 所示。

從圖7—11 中可以看到，PANDA 與商業軟件給出的前5 階彈性模態在云紋分布上是一致的，各階模態的最大值的差異也小于0.2%。這說明了PANDA 平臺模態頻率分析功能的正確性。

圖6 模態頻率對比Fig.6 Modal frequency comparison

圖7 結構第7 階模態振型Fig.7 The seventh order mode deform contour of six DOFs platform:a) PANDA;b) business software

3.3 響應分析

在6 個區域不同脈動壓力激勵的作用下，計算結構的位移響應。取結構前2000 Hz 內的彈性模態進行疊加，各階模態的阻尼比設為常值0.015。分析關注點3 個空間方向的位移響應功率譜密度曲線，并與商業軟件結果進行比較，如圖12 所示。

圖8 結構第8 階模態振型Fig.8 The eighth order mode deform contour of six DOFs platfrom:a) PANDA;b) business software

圖9 結構第9 階模態振型Fig.9 The ninth order mode deform contour of six DOFs platfrom:a) PANDA;b) business software

圖10 結構第10 階模態振型Fig.10 The tenth order mode deform contour of six DOFs platfrom:a) PANDA;b)business software

圖11 結構第11 階模態振型Fig.11 The eleventh order mode deform contour of six DOFs platfrom:a) PANDA;b) business software

圖12 關注點3 個空間方向上的位移響應對比Fig.12 Comparison of the displacement response in three spatial directions (a)x-scale,(b) y-scale,(c)y-scale

從圖12 中可以看到，對于關注點的位移功率譜響應曲線，PANDA 平臺和商業有限元軟件的計算結果是基本一致的。由于頻率離散方法的不同，計算結果中頻率點的密度不一樣，商業軟件的結果中頻率點更密集一些，特別是在小于50 Hz 的低頻階段。

PANDA 平臺和商業軟件計算的結構位移均方根響應對比如圖13 所示?？梢钥闯?，在云紋分布上，PANDA 平臺與商業軟件的結果是完全一致的。PANDA 平臺和商業軟件給出的最大值和最小值的誤差分別為1.93%和6.14%。這也說明了PANDA 平臺自由體脈動壓力激勵隨機振動響應分析功能的正確性。

圖13 位移響應云圖對比Fig.13 Cloud image comparison of displacement response:a)PANDA;b) business software

4 結論

簡要介紹了PANDA 平臺脈動壓力激勵隨機振動響應分析相關的理論公式和平臺實現。針對無約束的簡化飛行器模型，在PANDA 平臺實現了結構模態分析以及脈動壓力作用下的隨機振動響應分析，開展了與商業軟件的對比測試。結果表明：

1）在模態分析中，前2000 Hz 的模態頻率分析結果，PANDA 與商業軟件的結果完全一致。前5 階彈性模態的模態振型云紋分布結果也一致，振型最大值的差別小于0.2%。

2）在脈動壓力隨機振動分析中，關注點在 3個空間方向上的位移響應曲線，PANDA 與商業軟件的結果基本一致；結構的位移均方根響應云紋分布一致，最大值和最小值的誤差分別為1.93%和6.14%。

通過對簡化飛行器結構開展的對比測試，驗證了PANDA 平臺相關功能的正確性，并證明其對實際工程結構的可用性。