基于Matlab仿真的窗函數陣列加權性能分析

劉 詠，顧力偉，韓光威

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

窗函數在數字信號處理技術中作為截取函數對被研究的信號進行截斷分析，能夠有效地減少頻譜能量泄漏。而在相控陣技術中,窗函數作為加權函數被應用于相控陣天線方向圖的副瓣抑制方面，能夠有效地改善副瓣的性能。因此研究窗函數對數字信號處理和相控陣陣列加權都有著重要意義，而Matlab作為最先進的數學仿真運算軟件，本身就具有豐富的窗函數語言及強大的仿真計算能力，因此本文通過Matlab仿真研究了窗函數及陣列加權函數的特性[1]。

1 窗函數的意義

在數字信號處理技術領域中，通過傅里葉變換研究信號整個時間域與頻率域的關系，但是當工程上真正去實現時是不可能對整個無限時長信號進行測量運算的，實際上處理的是截取有限時長的信號片段再進行周期延拓處理所得到的虛擬的無限時長信號，而這個被用來對信號進行截取的截取函數就叫窗函數[2]。事實上信號截取會產生頻譜能量泄漏，而快速傅里葉變換(FFT)計算頻譜會產生柵欄效應，我們只能通過使用不同的窗函數對這2種不可消除的誤差影響進行抑制。

在相控陣技術領域中，一般情況下的相控陣輻射方向圖中主瓣左右兩側對稱的功率值最高的第1副瓣與主瓣功率的差值不能滿足我們對相控陣雷達的應用需求，因此通過對相控陣陣列面上的電流分布進行陣列加權(加窗)來實現降低旁瓣電平在陣列中部輻射較多功率而在兩端邊緣輻射較少功率的目的。用于陣列加權的加權函數實質上就是窗函數的一種重要應用。

2 窗函數的仿真分析

2.1 矩形窗

矩形窗是一種時間變量的零次冪窗，是窗函數中使用最多的，在工程應用中我們習慣性的稱不加窗，實際上就是對信號使用了矩形窗[3]。矩形窗的特點是主瓣窄，旁瓣大，有負旁瓣，頻率識別精度最高，幅值識別精度最低。矩形窗的函數式為：

(1)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對矩形窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖1所示。

圖1 矩形窗仿真圖

2.2 三角窗(Fejer窗)

三角窗又稱費杰窗(Fejer窗)，它是冪窗的1次方形式，可以看做是2個矩形窗的卷積。三角窗的特點是主瓣更寬(約是矩形窗主瓣的2倍)，旁瓣更小且無負旁瓣，這意味著三角窗頻率識別精度低于矩形窗，幅值識別精度高于矩形窗。三角窗的函數式為：

(2)

事實上三角窗與巴特利特窗非常類似，當N為奇數時有Bartlett(n+2)中間部分等于Triang(n)；當N為偶數時，三角窗的傅里葉變換總是非負數，巴特利特窗的傅里葉變換總是負數。假定采樣時長(或采樣點數)N為49，使用Matlab對三角窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖2所示。

圖2 三角窗仿真圖

2.3 漢寧窗(Hanning窗)

漢寧窗(Hanning窗)又稱升余弦窗，可以看作是3個矩形窗的頻譜之和。漢寧窗的特點是對主瓣進行加寬，旁瓣減小，雖然能量泄漏較少，但是頻率分辨力下降。漢寧窗的函數式為：

(3)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對漢寧窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖3所示。

圖3 漢寧窗仿真圖

2.4 海明窗(Hamming窗)

海明窗(Hamming窗)也是余弦窗的一種，可以稱為改進的升余弦窗，它與漢寧窗的區別在于加權系數的不同。海明窗的特點是其加權系數相比漢寧窗縮小旁瓣能力更強[4]。海明窗的函數式為：

(4)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對海明窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖4所示。

圖4 海明窗仿真圖

2.5 泰勒窗(Taylor窗)

泰勒窗(Taylor窗)是一種基于泰勒公式展開的加權窗函數，一般情況下采用2～3階泰勒級數進行泰勒窗函數加權就可以得到很好的效果。泰勒窗的特點是工程上便于實現，相比于其他窗函數加權，泰勒加權只是稍展寬了主瓣便能獲得較低的副瓣，所以泰勒加權也是相控陣技術中應用較多的一種加權函數。泰勒公式的展開形式為：

(5)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對4階泰勒窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖5所示。

圖5 泰勒窗仿真圖

2.6 布萊克曼窗(Blackman窗)

布萊克曼窗(Blackman窗)是一種2階升余弦窗，其特點是主瓣寬，旁瓣低，頻率識別精度較差，但幅值識別精度好，選擇性較好[5]。布萊克曼窗的函數式為：

(6)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對布萊克曼窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖6所示。

圖6 布萊克曼窗仿真圖

2.7 凱撒窗(Kaiser窗)

凱撒窗(Kaiser窗)是一種由零階貝塞爾函數構成的形狀參數可調的窗函數，其特點是主瓣與旁瓣能量之比近乎最大，并且可以自由調整主瓣寬度和旁瓣高度之間的比重[6]。凱撒窗的函數式為：

0≤n≤N-1

(7)

式中：I0(β)為第1類變形零階貝塞爾函數，β就是凱撒窗的形狀參數;α為主瓣與旁瓣的差值。

(8)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，形狀參數β為1、5和10三種情況下使用Matlab對凱撒窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖7所示。

圖7 凱撒窗仿真圖

由仿真結果可見，改變凱撒窗的形狀參數β，其數值越大，旁瓣越小，主瓣越寬。

2.8 切比雪夫窗(Chebyshev窗)

切比雪夫窗(Chebyshev窗)是一種對局部進行優化的時窗，因為它滿足窗函數的最大振幅比原則，所以也稱為最大振幅比時窗函數。其特點是旁瓣具有等波動性，也就是所有旁瓣高度相同。切比雪夫窗的函數式為：

n=1,2,…,N-1

(9)

式中：γ為切比雪夫窗的形狀參數，表示主瓣與旁瓣幅度之比。

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，形狀參數γ為10、20和50三種情況下使用Matlab對切比雪夫窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖8所示。

圖8 切比雪夫窗仿真圖

由仿真結果可見，改變切比雪夫窗的形狀參數γ，其數值越大，旁瓣越低，主瓣越寬。

2.9 巴特利特窗(Bartlett窗)

巴特利特窗(Bartlett窗)也是2個矩形窗的卷積，其兩端總為0，與三角窗非常類似。三角窗的形狀是1個三角形，相比之下，巴特利特窗的形狀是一個梯形，因此也被稱為梯形窗。巴特利特窗的函數式為：

(10)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對巴特利特窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖9所示。

圖9 巴特利特窗仿真圖

2.10 Bohman窗

Bohman窗是2個半持續時間的余弦波瓣的卷積，這種窗函數被應用于語音信號處理領域較多，在濾波和降噪方面性能優良。

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對Bohman窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖10所示。

圖10 Bohman窗仿真圖

2.11 平頂窗(Flat Top窗)

平頂窗(Flat Top窗)是一種性質比較特殊的加權窗，顧名思義，平頂窗在頻域上的響應表現出頂部平整的現象，其特點是具有非常小的通帶波動，幅度上的誤差很小。平頂窗根據項數與旁瓣性能的不同可分為3項最速下降、3項最低旁瓣、4項最速下降、4項最低旁瓣、5項最速下降、5項最低旁瓣等類型，以4項最速下降平頂窗為例，其函數式為：

(11)

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，使用Matlab對平頂窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖11所示。

圖11 平頂窗仿真圖

2.12 高斯窗(Gaussian窗)

高斯窗(Gaussian窗)是一種指數窗，其特點是沒有負的旁瓣，主瓣較寬，頻率分辨力低。高斯窗的函數式為：

(12)

式中：α為高斯窗的形狀參數，其決定了函數曲線衰減的快慢。

假定采樣時長(或采樣點數)N為50，形狀參數α為1、3和6三種情況下使用Matlab對高斯窗進行仿真分析，其時域圖譜和頻域圖譜如圖12所示。

圖12 高斯窗仿真圖

由仿真結果可見，改變高斯窗的形狀參數α，其數值越大，旁瓣越低，主瓣越寬。

3 窗函數的對比分析

通過對上述12種窗函數進行仿真計算，總結歸納窗函數的特征參數，并以矩形窗為對比基準進行比較，12種窗函數的各項參數對比分析結果如表1所示。

根據以上仿真分析結果，除3種可調窗以外的其他8種基本窗函數與矩形窗相對比發現，主瓣都被不同程度地拓寬，第1副瓣幅度也被不同程度地降低。在選取窗函數時需要考慮兩大基本準則：

(1) 為了抑制頻譜能量泄漏，要求窗函數有較小的旁瓣；

(2) 為了降低柵欄效應影響，要求窗函數主瓣越窄越好。

但是窗函數不可能同時具備窄主瓣、低旁瓣的條件，因此在選取窗函數時要綜合考慮被分析信號的類型和特征，并在實時性和準確性兩方面權衡折衷。選擇窗函數的一般原則包括：

(1) 如果截取出來的仍是周期信號，頻譜沒有泄漏，或者僅僅要求精準識別主瓣頻率而對幅值精度沒有要求，此時選用矩形窗；

(2) 如果被分析信號是隨機信號或未知信號，或有多個頻率分量，此時的關注點是頻率而非能量，一般采用漢寧窗或海明窗等；

(3) 如果被分析信號是窄帶信號且帶有強干擾噪聲，此時應該選用低旁瓣的窗函數，例如三角窗、漢寧窗等；

(4) 如果被分析信號呈指數式衰減，此時應該選用指數窗以盡可能地提高信噪比，例如高斯窗等；

(5) 如果信號處理的目的是對信號進行校準，此時要求更加精準的幅值，可以采用平頂窗；

(6) 如果信號處理對幅值精度和頻率精度同時提出相對較高的要求，可以選用凱撒窗，通過不斷調節形狀參數以達到要求；

表1 窗函數仿真結果比較

(7) 如果信號處理是為了檢測區分2個頻點相近、幅值不同的信號，可以選用選擇性較好的布萊克曼窗加以區分；

(8) 在能夠承受主瓣嚴重擴寬或旁瓣過度抬升所帶來的損失的前提下可以考慮選用3種可變窗，形狀參數調整參考具體應用場景。

4 陣列加權仿真分析

根據前面的仿真分析討論可以看到窗函數在數字信號處理領域的重要應用，此外窗函數(加權函數)在相控陣技術領域也有著重要的作用。下面對相控陣加權函數進行仿真分析。

首先仿真模擬1個100陣元的一維線性天線陣列，繪制出其均勻激勵下的法向歸一化方向圖，然后采用不同的加權函數對陣列上的電流分布進行陣列加權，仿真結果如圖13所示。

為了更明顯直觀地分析對比陣列加權函數的特性，將幾種加權窗函數放在一起進行仿真對比，仿真結果如圖14所示。

由陣列加權仿真圖可以清楚地觀察到不同加權函數對相控陣陣列方向圖的影響：

(1) 主波束寬度最窄的是矩形窗加權，也就是不加權，此時的第1副瓣最高，僅比主波束低13.46 dB，對于大多數相控陣雷達而言都是不可接受的[7]；

(2) 將第1副瓣功率值壓制到最低的是切比雪夫窗加權，但是此時主波束被嚴重拓寬，相控陣性能受到很大影響；

(3) 綜合性能最好的是泰勒窗加權，將第1副瓣壓制到-30.47 dB，而主波束僅拓寬了1.27倍。

(4) 僅次于泰勒窗加權的是海明窗加權，將第1副瓣壓制到-42.51 dB，但是主波束拓寬了1.49倍。

圖13 陣列加權仿真圖

圖14 陣列加權對比圖

5 結束語

本文通過Matlab仿真研究了一些常見常用的窗函數及其應用于相控陣陣列加權時的特征特性，綜合討論分析了窗函數在數字信號處理技術領域的重要應用,并拓展分析了窗函數加權對相控陣方向圖的改善作用，為窗函數在2種技術領域的綜合運用提供了理論支持。