基于直插補模型的機器人機械臂運動控制軌跡智能修正研究

劉 力

(延安職業技術學院機電工程系，陜西 延安 716000)

機器人是“工業4.0”時代的產物[1]，也是現代制造技術、信息技術、計算機科學技術、電氣自動化控制技術、無線傳感技術等多學科融合發展的成果[2]。隨著機器人機械臂工作效率、控制精度的不斷改善與提高，其在高精度工業制造、軍工國防、航空航天、醫療衛生、農業生產等領域有著越來越廣泛的應用[3]。機械臂移動軌跡規劃與補償控制會直接影響其最終的控制精度[4]，因此一直以來軌跡控制都是該領域的研究熱點之一。機械臂軌跡控制首先要精確計算出機械臂末端執行器的空間坐標值、關節旋轉角度偏差值，然后再利用插值補償算法以理想的運動軌跡為基準[5]，實現對機械臂運動軌跡的實時修正。匯總國內外現有的研究成果可以發現，在機器人機械臂軌跡規劃與智能修正方面主要采用PID(比例、積分、微分)控制、模糊控制、人工智能仿生控制及多項式插值控制等多種算法。

PID控制是工業控制領域的經典算法之一，具有算法簡潔、穩定性強等優點，但PID控制在控制精度、適用性等方面有較強的局限性，不適用于復雜度較高的機械臂系統[6]；模糊控制是處理非線性問題的有效方案之一，但模糊控制的局限性在于模糊規則的制定與模糊隸屬度函數的選擇過于主觀，往往會影響最終判定結果的客觀性[7]；人工智能控制是近年來工業控制領域的研究熱點和主流方向，人工智能控制多采用模擬人腦、人體神經網絡、動物種群活動等特征，實現一種動態化的尋優和求解[8]，人工智能算法在故障檢測領域的應用范圍和應用效果遠優于工業控制領域，但在全局控制過程中容易陷入局部最優解[9]；基于多項式的插值控制具有良好的控制精度，但整個控制過程的算法過于復雜，往往不具有實際應用價值或可操作性[10]。直線插補模型是一種精度極高的點群逼近方式[11]，本文將直線插補經典算法應用到機械臂軌跡控制領域，并對算法的插補方式進行優化，即采用多段逼近的方式，在不增加算法復雜度的情況下改善機械臂軌跡的智能修正控制精度。

1 機械臂動力學模型建立及正向運動求解

1.1 機械臂空間坐標分析

機器人機械臂運動軌跡的智能修正與實時糾偏是在機械臂動力學模型基礎上完成的，軌跡的修正是在局部、小范圍內進行的，如果運動中的軌跡偏差過大應重新調整系統程序。建立機械臂連桿坐標系時涉及到的系統參數包括連桿長度Li、旋轉角度βi、連桿的偏距ηi、關節的角度θi，各參數的空間位置及變換關系如圖1所示。

圖1 機械臂連桿、關節變化示意圖

確定了機械臂第i個關節在空間的坐標維度后，根據機械臂連桿與關節的空間位置關系，建立每一個關節和連桿的空間坐標系，并進行廣義上的坐標變換。機械臂連桿和關節的運動方程可以基于坐標變換矩陣推導得到。例如從機械臂連桿(i-1)到連桿i的空間坐標矩陣變換過程如下：繞zi-1軸旋轉βi角度，此時xi-1軸與xi軸旋轉到同一個平面；zi-1軸在空間內平移ηi-1個單位的距離，使xi-1軸與xi軸重合；平移連桿(i-1)使其坐標系與連桿i的坐標系原點重合，此時旋轉xi-1軸，使空間坐標軸zi-1與zi重合。通過機器人機械臂連桿和關節的坐標變換，可以得到空間范圍內連桿與關節的齊次坐標變化矩陣Hi：

Hi=

(1)

(2)

機械臂正運動求解過程主要利用D-H矩陣求出各關節和連桿的齊次坐標變化矩陣，再利用式(2)確定機械臂末端執行器的空間位置和姿態，此時式(2)可以改寫為：

(3)

式中：ζ,o,L,τ分別為關節旋轉角度、坐標中心移動距離、機械連桿位移和關節偏置角度。

矩陣中的各項參數可利用式(1)和式(2)中的參數化簡得出，在正向求解中只要當機器人機械臂各關節參數、關節旋轉角度、連桿位移確定之后，末端執行器的空間位姿矩陣參數也隨之確定。

1.2 基于直插補模型的機械臂軌跡修正

機械臂軌跡規劃過程中，末端執行器的行進路徑受到連桿位移、移動速度、加速度等多種參數的影響及狀態約束。在笛卡爾空間坐標系內，機械臂按設定軌跡行進,不僅要考慮到躲避障礙物造成的軌跡偏移，還要關注關節奇異、連桿不連續、系統誤差、控制信號延遲等因素的影響所導致的運動軌跡偏差。直線插補模型采用足夠短的直線段擬合和糾正末端執行器的軌跡偏差，為滿足糾偏模型弓高誤差最小化要求，本文采用內接弦線法調整線段的長度，具體擬合過程如圖2所示。

圖2 內接弦線法擬合過程

圖中點P1和P2是機械臂末端執行器運動軌跡上的任意兩點，當弓高誤差趨近于零時，P1和P2兩點趨于重合，即線段P1P2的長度趨近于零。如果末端執行器運動軌跡出現偏差，則采用直線插補法擬合曲線，糾正原有的弧形軌跡路線。設行進軌跡曲線的曲率半徑為r，則線段P1P2與弧線之間的最大弓高誤差d為：

(4)

式中：L為末端執行器連桿長度。

最大弓高誤差必須小于軌跡曲線的曲率半徑離散精度κ：

r2-2rκ+κ2≤r2-(L/2)2

(5)

當離散精度κ很小時，忽略κ2，可以推導出：

(6)

隨著擬合精度的不斷提高，插入的線段PiPj的長度越來越小。將一組PiPj線段擬合成為新的軌跡曲線。在直線插補過程中通常以固定的時間周期逼近新的行進軌跡，但機械臂速度或加速度過大會導致弓高誤差過大，從而使修正后的軌跡精度降低。直線插補程序以固定的插補周期為基礎，在每個采樣周期內都要根據機械臂的行進速度、加速度、位移總量確定出下一個插補周期的位移增量、角度增量信息。

在精插補過程中仍舊以圖2所示的二維平面內的線段P1P2為例，其中P1為起點，P2為終點，給定一個從P1到P2方向的速度v，為重新擬合機械臂行進軌跡曲線，在線段P1P2上取一點Pk作為精插補點，取Pk+1為Pk的下一個精插補點，Δx和Δy分別為與x軸和y軸平行的進給向量分量，則Pk與Pk+1之間的距離ΔL為Δx與Δy之和。在整個插補周期T之內，直線段被分成n段，設線段P1P2的長度為D，則：

D=nΔL

(7)

采用連續小直線段插補不僅能夠最大限度地降低最大弓高誤差，也可以通過多次加速進給提高軌跡的擬合精度。采用基于多線段直插補的方式能夠滿足機械臂末端執行器精確移動要求，即使出現了移動軌跡偏差，通過對多個直線插補線段的曲線擬合，也可以連續修正軌跡的偏差。仍以6R機械臂為例，當末端執行器傾斜移動時需要同時對第1～4關節進行連續的空間補償，以抵銷關節之間移動所造成的關節軌跡偏差。計算合適的直線插補位移量，保證每個關節移動過程中弓高誤差均被控制在較低的值，即擬合后的軌跡曲率與精度滿足機械臂運行的精度要求。線段P1P2的軌跡擬合方程為：

(8)

式中：xP1,yP1和xP2，yP2為P1和P2點的坐標值；f(x,y)為軌跡坐標擬合方程。根據機械臂控制精度的要求，在線段P1P2插入(n-1)個分割點，將線段分成n段，則x軸和y軸方向上的進給向量分量Δx和Δy分別為：

(9)

其中第k個精插補點Pk的坐標值為：

(10)

如果在線段P1P2上插入m個精插補點，那么與線段P1P2相對應的機械臂移動軌跡總長度L′為：

(11)

在實際的機械臂直線插補軌跡控制中，以脈沖信號控制機械臂系統的伺服馬達，為了與精插補點的擬合過程相一致，輸入的脈沖信號數量必須與精插補點的數量m相對應，且恒為整數。清除機械臂控制系統中已經設定的運動軌跡，按照新擬合的軌跡調整連桿、關節的旋轉角度、位移等，系統原設定的運動速度、關節加速度等參數也要做相應的調整，最后按新的軌跡運行。修正后的機械臂運功軌跡更趨近于理論值，從而使機械臂末端執行器的控制精度得到本質上的改善。

2 實驗

2.1 實驗平臺

本文實驗以6R模塊化機器人機械臂為研究對象，使用無線傳感器采集機械臂各關節的旋轉角度和連桿位移，通過上位機實時觀測與修正機械臂移動過程中的軌跡。上位機的配置為：Intel core i7處理器，工作主頻3.6 GHz，運行內存和數據存儲內存分別為8 GB和512 GB。6R機械臂的結構設計如圖3所示。

圖3 實驗用6R機械臂系統結構圖

機械臂各關節與連桿的接觸點都安裝了運動穩定裝置和無線傳感器，一方面能夠減輕關節結構之間的相互影響與摩擦干擾，保證機械臂按照事先設定好的軌跡路線行進；另一方面如果機械臂在某一段軌跡由于復雜因素發生了偏移，傳感器會在第一時間預警并將發生偏移的數據傳遞到上位機，以便及時糾偏。

2.2 機械臂運動軌跡修正效果驗證

在上位機中安裝MATLAB仿真軟件，取如圖4所示的P0-P1段機械臂末端執行器的行進曲線，對機械臂的運動過程進行仿真，其中P2～P5為行進軌跡起止點之間的中間點。

圖4 機械臂末端行進軌跡圖

機器人機械臂行進軌跡上P0～P5點的空間坐標見表1。

表1 機械臂軌跡采樣點的空間坐標 單位:mm

機械臂關節終端傳感器的數據反饋顯示，機械臂末端執行裝置從P2點開始出現軌跡偏離，即曲線P2P3、P3P4和P4P5均出現了不同程度的偏離。以P4P5段為例分析糾偏效果，如圖5所示。

圖5 直線插補曲線修正效果圖

P4P5直線插補修正結果顯示，直線插補擬合的14條線段與曲線的弓高誤差最大值僅為0.01 mm，表明經過軌跡修整和線段擬合之后的機器人機械臂行進軌跡，更接近于理想狀態下的行進軌跡。

2.3 機械臂運動軌跡偏差及控制復雜度對比

機械臂末端執行器的軌跡偏差由機械臂各個關節旋轉角度及連桿位移的偏差導致，在軌跡智能修正過程中關節和連桿的角度、位移偏差會逐漸縮小，偏差值越小表明修正的效果越好。在圖4所示的P0-P5段軌跡修復過程中，觀測各關節和連桿的角度偏差，同時引入經典PID控制算法和模糊控制算法參與對比。關節旋轉角度偏差值對比見表2。

表2 機械臂關節旋轉角度偏差 單位:(°)

由表2可知，經過直線插補模型軌跡修正后的關節角度偏差相比傳統PID控制和模糊控制修正方法的偏差值更低，具有更好的軌跡修正效果。修正算法的復雜度也是衡量算法性能的重要指標，在算法復雜度測試中引入人工智能體系中的深度學習算法和多項式插值算法進行軌跡修正，軌跡修正完成后各種算法的迭代循環次數如圖6所示。

圖6 修正算法的復雜度分析

由圖可以看出，深度學習修正算法完成軌跡修正的迭代次數為37次，多項式插值迭代算法迭代次數達到了43次，都遠高于直線插補修正方法，證明直線插補模型算法更加簡潔。

3 結束語

機器人機械臂在運動中會出現偏離預定理想軌跡的現象，本文采用計算復雜度更低的直線插補模型糾正機械臂運動中的軌跡偏移。直線插補模型采用長度很小的直線段擬合和糾正機械臂關節旋轉角度及連桿的位移偏差，并將最大弓高誤差控制在允許的最小范圍內，采用該模型擬合后的曲線更接近于理想軌跡。實驗結果表明，直線插補模型的軌跡修正效果良好，計算的復雜度更低。