等效剛度法計算波紋夾層板彎曲變形與應力

王小明，魏強，潘曼

1 中國艦船研究設計中心，湖北 武漢 430064

2 船舶振動噪聲重點實驗室，湖北 武漢 430064

0 引 言

夾層板由上、下面板和支撐此2 個面板的中間芯層組成。通常芯層與面板的連接方式可以是激光焊接[1-2]，也可以是粘結[3]，這樣組成的新結構被稱為結構復合材料。芯層的結構形式有波紋型（V 型），I 型，Y 型，O 型，Z 型和梯形等。與普通板或加筋板相比，夾層板具有比強度和比剛度高的優點，經常被應用到船舶工程、航空航天工程、列車車廂和橋梁工程中[4]。由于夾層板芯層具有形式多樣、材料選擇空間大、設計范圍寬泛的優點，所以得到了廣泛的研究。

在波紋夾層板彎曲問題的研究中，逐漸形成了2 個研究方向：一個方向是把波紋夾層板等效成正交異性板，按照正交異性板進行求解[5]；另一個方向則是直接根據芯層的實際形狀，忽略面板與芯層連接位置處的剪應力連續條件，上、下面板運用經典薄板理論，芯層采用一階剪切變形理論求解[6]。

在第一個研究方向中，等效剛度和等效彈性參數的確定和計算方法是重點。1951 年，Libove 等[7]把波紋夾層板整體等效成正交異性板，考慮夾層板拉伸與彎曲耦合，剪切與扭轉耦合，并在彎曲問題中考慮了橫向剪切力，運用變形等效原理推導了夾層板的等效剛度、等效模量和等效泊松比等彈性常數。后來，文獻[7] 的研究成果受到很多學者的重視，紛紛運用該方法研究其他結構形式的夾層板彈性常數，例如，Fung 等[8-10]研究了Z 型和C 型夾層板的彈性常數計算方法, Atashipour等[11]推導了正弦波紋芯層的彈性常數,Yu 等[3]和Nilsson 等[12]沿用了文獻[7] 的方法，但是將夾層板的生產工藝一并考慮，即把面板與芯層間的粘結層或焊縫層的受力狀態做定量分析，推導了更為精準的彈性常數。此外，Shaban[13]采用能量法研究了梯形芯層的等效彈性模量、模量與截面參數的變化規律，Bartolozzi[14-15]，Park[16]和Wang[17]分別采用不同方法研究了芯層的等效彈性模量，然而，如何根據芯層等效彈性模量來計算夾層板的整體剛度卻未提及，而直接按照文獻[7] 的方法求解夾層板整體彎曲剛度和剪切剛度，其過程非常復雜。

為了避免推導過程的繁瑣復雜，本文在求解過程中，將首先求解波紋夾層板的芯層等效彈性參數，應用層合板理論計算整體彎曲剛度和剪切剛度，然后將結果代入正交異性板彎曲微分方程中，確定夾層板的彎曲微分方程，最后采用雙傅里葉級數法求解該微分方程，從而計算出面板的位移和應力。

1 芯層等效彈性模量

芯層等效彈性模量的計算原理是變形等效，即在外力相等的條件下波紋芯層實際的位移和均質模型的位移相等。Bartolozzi 等[14]提出了一種計算正弦波紋板芯層等效彈性模量的方法，本文參考這種方法，推導波紋板的芯層彈性模量。波紋夾層板和坐標系如圖1 所示。圖中：x軸沿著芯層的母線方向，y軸沿著芯層的波紋方向，z軸指向下方垂直于xoy平面（xoy平面位于夾層板芯層的中面）；z<0 一側的面板叫上面板，z>0 一側的面板叫下面板，其中，上面板厚度為tt，下面板厚度為tb，芯層板厚tc，芯層凈高hc，芯層周期長度lc，芯層半周期斜面邊長為l，芯層傾斜面與面板夾角為θ。分析時，以普遍常見的上、下面板和芯層都用同一種材料制造的夾層板為研究對象，材料的彈性模量為E，剪切彈性模量為G，泊松比為μ；等效彈性模量推導過程中，x方向長度設為單位長度。

圖1 夾層板與坐標系統Fig. 1 Sandwich and coordinate system

1.1 等效模量

在圖2 所示的坐標系中，半周期的芯層中心線方程可以表示為

圖2 計算G cyz 模型與坐標系統Fig. 2 Model for calculating G cyz and coordinate system

圖2 所示的芯層任意一點的內力力矩M、拉力N和剪切力T分別表示為

根據卡氏定理（Castigliano's theorem），芯層頂點的位移可以按照式（5）～式（7）計算。

將式（1）～式（4）代入式（5）～式（7），可以計算出這3 項位移，用矩陣方式表示如下：

1.2 等效彈性模量

1.3 等效彈性模量

1.4 等效模量和

圖3 計算G czx 的力學模型Fig. 3 Mechanics model for calculatingGczx

芯層前部截面的剪應力τ4

如圖4 所示，過芯層上邊緣左側端點P作與力Fxl垂直的平面 Π1， Π1平面的法向量為n，該平面上的剪應力（方向垂直于紙面向外）可由剪應力互等定理得出也為τ4。芯層的左側面命名為Π2平 面，則 Π2平 面 與 向 量n平 行，即 Π2平 面 與Π1平 面垂直。在一系列與 Π2平面平行的平面族中，芯層頂部矩形剪切變形 ?x4為

圖4 芯層前端面受力狀態Fig. 4 Stress state of the core front face

1.5 泊松比和

通過式（17）及式（19）、式（28）及式（30），可以看出泊松比滿足正交異性體的關系式

由此，驗證了以上公式推導的正確性。

2 波紋夾層板的等效參數

上、下面板是均質各向同性彈性體，芯層則當作正交異性體，這樣可按照層合板理論來計算夾層板的整體剛度，這個過程實質上就是將各層的離軸折減剛度乘以慣性矩（面積），按各層的貢獻累加[18]。

2.1 波紋夾層板的橫截面參數

根據前面的推導，波紋夾層板上、下面板及芯層相當于3 層層合板，上、下兩層是各向同性體，中間層是正交異形體。當上、下面板厚度不相等，即tb≠tt時，夾層板的中性層一般并非夾層板的厚度中間層，并且xz面內彎曲與yz面內彎曲中性層不重合。以下計算慣性矩，都是相對于對應的彎曲中性層而言。

定義面板中心間距h

單位寬度夾層梁（桿）的x向拉壓剛度EAx為

xz面內彎曲時，中性層與下面板中芯層的間距hx為

2.2 波紋夾層板的等效剛度

根據層合板理論[18]，可以將各層的剛度累加計算夾層板的總體剛度。

xz面內彎曲剛度D1為

3 彎曲方程與求解

對于對稱的波紋夾層板，其彎曲微分方程可以直接采用一階剪切變形理論為基礎的對稱層合板彎曲微分方程[19]，即

式中：φx，φy和w分別為夾層板xz平面、yz平面內的轉角和橫向位移；p為橫向載荷。

非對稱的波紋夾層板彎曲方程比式（43）多2 個未知函數，即彎曲方程為5 個聯立方程組，并且前述剛度中的慣性矩一般統一定義為相對于厚度中間層。非對稱夾層板彎曲方程的推導可以采用最小勢能原理。若波紋夾層板為對稱結構，則中性層就是中間層，因此剛度定義可以直接采用式（37）～式（42）進行計算。

對于x向長為a，y向長為b的四邊簡支的夾層板，邊界條件為

可以設式（43）的解為雙傅里葉級數形式，即

式中：wmn，φxmn和φymn分別為對應的傅里葉系數；m，n為傅里葉級數的項序數。

式（45）～式（47）已經滿足了式（44）的邊界條件。

橫向載荷p若為集中力，作用點的坐標為（x0，y0），可以把集中力展開成雙傅里葉級數。

4 夾層板的彎曲應力

求出夾層板的變形之后，還需要繼續求解夾層板的應力，即確定夾層板的應力。

根據層合板理論[18]，夾層板面板的應變可以按式（49）～式（51）計算。

面板x向應變εx為

應力最大的位置應當出現在上、下面板上，所以更關心這些位置的應力。應用Hookean 定律，由應變表達式（49）～式（51）求應力。

面板x向應力σx為

將第3 節求出的變形代入式（52）～式（54），則可計算出上、下面板的應力分布。芯層的x向應力σx，可根據上、下面板的σx插值求得；芯層的y向應力σy和剪應力τxy一般很小，可以忽略。

5 算例與討論

5.1 等效剛度計算驗證

計算2 組規格波紋夾層板的等效剛度。規格1：tt=2 mm，tb=4 mm，tc=2 mm，hc=40 mm，lc=50 mm，E=2.1×105MPa，μ=0.3；規格2：tt=tb=3 mm，其余參數與規格1 相同。為比較本文所提出的等效計算方法的精度，分別采用文獻[7] 提供的計算方法（以下簡稱方法A）和本文的方法（以下簡稱方法B）計算上述夾層板的等效剛度。

表1 和表2 分別給出了規格1 和規格2 夾層板的計算結果及其誤差。

表1 和表2 表明，本文提出的剛度計算方法在計算對稱波紋夾層板時誤差小于?6.98%（該誤差對波紋夾層板彎曲變形和彎曲應力的影響將通過下文計算算例予以說明）。對比表1和表2 可以發現，夾層板的非對稱性越明顯，計算得到的誤差也會越大。

表1 規格1 夾層板剛度計算結果Table 1 The evaluation results of type No.1 sandwich panel stiffness

表2 規格2 夾層板剛度計算結果Table 2 The evaluation results of type No.2 sandwich panel stiffness

5.2 彎曲變形與應力計算驗證

夾層板四邊簡支，a=2 000 mm，b=1 500 mm，采用規格2 夾層板，即tt=tb=3 mm，tc=2 mm，hc=40 mm，lc=50 mm，E=2.1×105MPa，μ=0.3。集中力作用于上面板的中心點，作用點坐標為（1 000,750），集中力為p=2×104N。

為驗證方法的準確性，將本文方法計算結果與ANSYS 計算的結果進行對比；為驗證剛度計算誤差對彎曲變形和彎曲應力的影響，將本文計算方法與文獻[7]方法進行對比。采用3 種方法計算。方法1：不作等效處理，考慮芯層實際形狀，采用ANSYS 有限元方法。上、下面板和芯層板均采用Shell 181 單元，網格尺寸12.5 mm×12.5 mm，單元總數為76 800；方法2：本文計算方法；方法3：剛度計算方法采用文獻[7]的方法，彎曲變形與應力采用本文第3,4 節的方法（實際上，對于夾層板彎曲的計算方法不能被視為一種新方法，其與方法2 相同，僅其中的剛度計算方法不同而已，為了便于敘述，也將其稱為一種計算方法）。由于集中載荷作用點是變形最大的位置，所以提取通過中心點的兩條直線上的變形分布，如圖5 和圖6 所示。拉應力最大值出現在下面板的下表面，壓應力最大值出現在上面板的上表面，y=b/4，b/3 和x=a/4，a/3 位置處對應的最大應力分布如圖7～圖14 所示。由于通過集中載荷作用點，作用點及附近應力為無窮大，因此沒有關注y=b/2 和x=a/2 位置的應力分布。

如圖5～圖6 所示，3 種計算方法計算的位移分布幾乎相同，與方法1 對比，方法2 最大誤差為?2.01%，以方法3 為基準，方法2 最大誤差為?1.27%。這說明本文關于夾層板彎曲的計算方法具有較好的準確性。

圖5 y=b/2 位置處的位移Fig. 5 Deflection of y=b/2

圖6 x=a/2 位置處的位移Fig. 6 Deflection of x=a/2

圖7 y=b/4 位置處下面板的下表面x 向應力Fig. 7 Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/4

圖8 y=b/3 位置處下面板的下表面x 向應力Fig. 8 Bottom facesheet lower surface x direction stress at y= b/3

圖9 y= b/4 位置處上面板上表面x 向應力Fig. 9 Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/4

圖10 y=b/3 位置處上面板上表面x 向應力Fig. 10 Top facesheet upper surface x direction stress at y= b/3

圖11 x=a/4 位置處下面板下表面y 向應力Fig. 11 Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/4

圖12 x=a/3 位置處下面板下表面y 向應力Fig. 12 Bottom facesheet lower surface y direction stress at x=a/3

由圖7～圖14 可以看到，方法2 和方法3 計算的應力非常接近，如果以文獻[7] 的計算值為基準，上述圖示中應力的最大誤差為?1.36%。結合表2 的剛度計算結果可知，剛度最大誤差接近?7%，僅導致應力最大誤差為?1.36%，這說明本文關于計算剛度的方法可以用于夾層板的彎曲計算，不會因為剛度計算誤差導致變形和應力計算誤差的放大。

圖13 x=a/4 位置處上面板上表面y 向應力Fig. 13 Top facesheet upper surface y direction stress at x= a/4

圖14 x= a/3 位置處上面板上表面y 向應力Fig. 14 Top facesheet upper surface y direction stress at x=a/3

方法1 是目前業內公認的計算比較精確的方法。關于x向應力，如圖8 和圖9 所示，3 種方法的計算結果極其接近；圖7 和圖10 則不同，方法1 與其余2 種方法的差別較大，且方法2 和方法3 的結果普遍大于方法1 的計算結果（計算值的絕對值）。這是因為波紋夾層板面板應力沿著波紋方向（y方向）分布是波紋振蕩的，在芯層與面板結合的位置（上面板y=klc，下面板y=（k+1/2）lc，k為正整數），局部剛度最大，應力達到局部極小值；在結合點中心的位置（上面板為y=（k+1/2）lc，下面板為y=k lc，k為正整數），局部剛度最小，應力達到局部極大值。這種規律從圖11～圖14 中可以看出，雖然圖中列出的是y向應力，但x向應力波動規律與之類似。不僅如此，圖11～圖14 還顯示了一個規律，即方法2 和方法3 的計算值是方法1 波動峰值的光滑連線。由于y=b/4=7.5lc正是芯層與下面板的結合點，y=b/3=10lc正是芯層與上面板的結合點，應力處于波動的波谷點，所以方法1 的計算值普遍偏小。方法2 和方法3 無法捕捉這種波動規律，根本原因是其采用了均勻化處理，將非連續的芯層等效成連續介質。不過，這并不影響方法2 和方法3 的工程應用，因為方法2 和方法3 是方法1 峰值的連線，即方法2 和方法3 在工程計算上偏于安全。忽略方法1 中應力的這種波動分布，僅用峰值光滑連線與方法2 比較，方法2（本文方法）的應力最大誤差是3.63%。

圖5～圖14 僅展示了少數幾個特殊位置的變形及應力分布，通過對其他位置的試算對比，計算結果都吻合得比較好，誤差也沒有明顯偏離上述結論（應力對比剔除載荷作用點位置）。

本文采用了雙傅里葉級數解法，必然涉及到級數收斂的檢驗。本文關于變形和應力都是累加到m=n=15。關于變形的收斂性，跟單層板類似，收斂較快，累加到m=n=5 就收斂。而應力收斂較慢，因此，為了證明本文的結果是收斂的計算值，圖15 列出了下面板下表面點（a/2，b/3）位置的x向應力與累加次數（m=n）的函數圖。從圖中可以看出，當m=n≥15 時，級數和項數再增加，應力差別不超過0.5 MPa。對于方法1 的收斂性，也通過有限元網格由疏到密做過檢驗，上述圖示中的結果都是處于收斂狀態的解。

圖15 應力收斂性檢驗Fig. 15 Stress convergence survey

6 結 論

本文通過將波紋夾層板的中間芯層等效成正交異性體，應用卡氏定理求解了各項等效彈性模量，再采用層合板理論計算了夾層板的整體剛度。這種先等效再累加計算整體等效剛度的方法可以避免完全直接采用文獻[7]所述方法計算剪切剛度時的復雜繁瑣計算，而且在計算夾層板的彎曲時誤差很小。

通過算例驗證，本文關于等效剛度的計算方法與文獻[7] 的計算方法相比，當計算對象為對稱波紋夾層板時，計算誤差最小，為?6.98%； 當計算對象為非對稱波紋夾層板時，誤差有所增加。

剛度計算誤差并不會導致夾層板位移和應力計算誤差的放大，采用雙傅里葉級數求解波紋夾層板彎曲問題時，計算誤差明顯縮小。?6.98%的剛度誤差僅產生位移誤差?1.27%和?1.36%的應力誤差。

本文所提波紋夾層板變形的計算方法與有限元法相比，誤差為?2.01%；有限元法計算結果顯示，夾層板上、下面板應力沿波紋方向的分布表現出了波動性，在面板與芯層結合點的位置，局部剛度達到極大值，應力達到局部極小值；在結合點中心位置，局部剛度達到極小值，應力達到局部極大值。本文方法采用了均勻化處理，應力分布沒有波動表現，計算結果接近于有限元法波動峰值的光滑連線，與其光滑連線相比，最大誤差為3.63%。