基于三維切削力的螺旋端銑顫振穩定性分析模型

徐 堯

(赤峰工業職業技術學院機械與自動化系，內蒙古 赤峰 024005)

0 引言

螺旋端銑加工是一種在機械制造業、汽車行業、航空航天工業等工業中廣泛應用的一種加工方法[1]。螺旋端銑加工的生產率會受到眾多因素影響，例如刀具變鈍或被加工工件的表面粗糙度較大時，這會造成銑削顫振現象發生，導致劇烈的振動和噪聲，嚴重影響零件的精度[2-3]。因此應在早期識別出顫振行為。因此，國外一些學者提出了顫振現象的檢測方法，例如基于擾動觀測其理論的在線識別方法[4]，基于銑刀瞬時角速度的銑削顫振檢測方法[5]，基于神經網絡和遺傳算法的端銑預測算法[6]等。為了避免加工過程中的顫振，需要根據設計變量和工藝參數對加工參數進行優化[7]。以往的端銑顫振穩定性預測模型基于二維切削力[8]，在一些特定場合例如對高速銑削時穩定性的預測與實際偏差較大，本文改進了傳統的穩定性預測算法，提出了基于三維切削力的穩定性預測模型。切削過程的三維動力學是精確分析的必要條件。本文利用Timoshenko梁理論分析了一個實際的主軸-刀具單元模型，得到刀尖處的頻率響應并進行評估，對比了基于不同預測模型的顫振穩定域波瓣圖。

1 機床主軸建模與動力學模型

主軸、刀架和刀具的初始單元模型如圖1所示。黑色細線代表整個單元的元素部分。在每個節點上，使用3個平移和2個旋轉自由度來進行建模。主軸在前后位置有兩個軸承。軸承預緊力施加在軸承外圈，并通過滾珠將其傳遞到內圈，它固定在主軸軸上，軸承外圈固定在主軸殼上[9]。在給定的預緊力下，整個主軸在兩個軸承之間軸向自平衡。刀架的錐度部分取如圖2所示的錐度，并插入主軸的空心錐度區域。

圖1 等效有限元模型 圖2 空心主軸的錐度部分

圖1中，整個單元的面積和轉動慣量，視為所有5段的組合。其中，錐形部分面積(At)和慣性矩(It)根據以下表達式計算：

(1)

(2)

其中，[M][C][K]分別是組裝質量、粘性阻尼和剛度矩陣，Ω是旋轉速度，[G]表示陀螺矩陣，[Mc]表示離心質量矩陣，{F} 是力矢量，包括切刀力，{q}表示節點位移矢量。粘性阻尼矩陣被視為質量和剛度矩陣的線性組合，如[C]=α[M]+β[K]，其中α和β是實際量值，在這分別取為17.32和3.6710-6。角接觸軸承的剛度特性取決于施加的載荷和軸承布局。一般來說，軸承的剛度是由非線性赫茲滾動接觸理論得到的，該理論在理論上依賴于滾動元件和保持架的各種假設。根據滾珠直徑(Db)、軸向預緊力(Fa)評估軸承靜態徑向剛度(kb)的經驗公式，靜態角接觸球軸承的接觸角()和球數(N)如下：

(3)

考慮到軸承節點處的上述剛度，建立了裝配剛度矩陣。由實部和虛部組成的FRF可以直接表示如下：

[G(jωc)]=

[Re(G(jωc))]+j[lmG(jωc)]

(4)

其中，刀具點頻率響應的實部和虛部是:

(5)

(6)

1.1 三維切削力模型

根據已有的銑削力學模型，選取切削力作為顫振的源信號是有效的。如圖3所示，選取一個具有“N”個齒數且超前角為α的銑刀。

圖3 三自由度銑削模型

假設刀具相對于剛性工件是可變形的。當刀具與工件嚙合時，切削力在所有3個可能的方向上引起系統振動，導致系統在進給方向(X)、法向(Y)和主軸軸向(Z)激勵系統，分別產生相應的位移X、Y和Z。 通常，切屑厚度是沿徑向測量的；切屑總厚度表示為：

h(φk)=(he+hd)g(φk)=[csinφksinα+(vk,0-vk)]g(φk)

(7)

其中，vk,0和vk是刀具的先前位置和當前位置，c是進給速度，g(φk)是階躍函數，用于確定切入或切出。切屑厚度中的靜態分量(csinφksinα)對顫振穩定性的預測影響很小。一般來說，在實際計算中可以省略。因此，動態切屑厚度的最終表達式由以下表達式給出：

h(φk)=[(Δxsinφk+Δycosφk)sinα-Δzcosα]g(φk)

(8)

式中，Δx=x(t)-x(t-T),Δy=y(t)-y(t-T)，Δz=z(t)-z(t-T)。T是齒傳遞時間，t是現在的時間。作用在齒k上的切向力(Ftk)、徑向力(Frk)和軸向力(Fak)與動態切屑厚度和軸向切削深度成正比。通過將所有這些部件分解到3個垂直方向(X、Y和Z)，得到最終表達式作為其平均切削力系數的函數，根據：

(9)

合成切削力由作用在每個齒上的所有單獨力分量的總和得出，如下所示：

(10)

X、Y和Z方向的力表達式以矩陣形式排列，得：

(11)

其中，矩陣元素[A(t)]是時變方向動力系數，取決于刀具的角度位置。因此，為了消除周期時變系數，在傅里葉級數展開中加入了平均項。最終形式如下：

(12)

得到了具有定向因子的動態銑削方程：

(13)

[β]是具有時間不變性的定向切割系數矩陣，具有再生型顫振現象的振動矢量由刀具/工件接觸區域的延遲項(e-iwcT)和頻率響應函數矩陣[G(iwc)]組成，表達式如下：

{Δ(t)}=[1-e-iωcT][G(iωc)]{F(t)}

(14)

其中傳遞函數矩陣為：

(15)

動態切削力系統由下式給出：

(16)

閉環動態銑削系統的特征方程最終表示為：

(17)

對于給定的顫振頻率ωc、靜態切削因子(Kt、Kr和Ka)、徑向浸入比和頻率響應函數(φs和φe)，可以求解上述方程的特征值Λ。

(18)

穩定切削深度的最終表達式如下：

(19)

其中，ΛRe是特征值的實部，ωc是顫振頻率，用于繪制三維穩定波瓣圖的相應主軸轉速(n)由下式給出：

(20)

其中，N是齒數，T是齒通過周期。

1.2 螺旋面銑削力與振動預測模型

在銑削過程中，由于顫振現象的存在，導致切屑厚度是不斷變化的[10]。由于工件不是剛體，所以當刀具的刀尖穿過工件時，會引起振動。振動會導致刀齒在工件上留下波紋表面。振動的大小和相位由刀具和工件的系統動力學控制[11]。由于相位調整，切削力會產生顫振，本文采用時域仿真方法確定了刀具在選定切削條件下的穩定性。

端銑加工時使用在周邊和底部都具有螺旋形切削刃的刀具，這會對工件造成連續沖擊。本文建立了以X方向表示刀具進給方向，Y表示進給法向，Z表示與基準面垂直的刀具方向，i、j、k為旋轉坐標系的螺旋立銑刀銑削加工坐標系。將端銑刀具簡化為只具有一個切削刃的單點刀具。刀具沿Z方向離散為“s”形片，每個片的螺旋角為α。為了模擬3個方向上的切削力，在第j個切片和第k個螺旋切削刃處的每個切削刃段采用旋轉坐標系。在所有徑向、切向和軸向評估每個切削刃位置的單個切削力。最后，通過式(21)～式(23)確定各個方向上的切削力。

(21)

(22)

(23)

在螺旋端銑刀加工過程中，刀具的位移(振動)是在以下幾個方向確定的，包括垂直于刀具的旋轉軸并與進給運動矢量(y(t))共線的方向、垂直于刀具旋轉軸和進給運動矢量(x(t))方向以及平行于刀具旋轉軸(z(t))的方向上確定的。通過微分運動方程式(24)～式(26)確定由三個方向的切削力引起的與刀具位移有關的刀具瞬時位移。

(24)

(25)

(26)

其中，(ωx,ωy,ωz),(ξx,ξy,ξz)和(Kxx,Kyy,Kzz)分別為x、y和z方向的模態頻率、阻尼系數和剛度系數，Fx,Fy和Fz是機床坐標系中的瞬時切削力。

這樣，對于給定的刀具、工件材料，建立動態銑削力公式與位移預測公式，結合銑削加工系統的刀尖頻率響應，可以確定使得銑削加工系統穩定時的臨界軸向切深以及對應的主軸轉速。

2 基于三維切削力的穩定性預測模型試驗驗證分析

用Timoshenko梁理論對上刀架主軸和軸承的所有細節進行了建模。利用Matlab軟件，將所有的質量、阻尼和剛度矩陣組合起來，得到刀尖處的頻率響應。如圖4所示。

圖4 刀尖處頻率響應

從靜態試驗中得到剛度系數，Kxx=Kyy=Kzz=2.05×108N/m,取刀具直徑為10 mm，螺旋角α=45°，齒數N=4，由切削力系數辨識試驗獲得切削力系數為：Kt=510 N/mm2,Kr=Kd= 300 N/mm2, 每齒進給量為0.2 mm/齒。

為驗證顫振分析模型的準確性，對Al6061進行多組銑削試驗。如圖5所示，在某型數控銑床上進行實驗，主軸電機的最大轉速為4500 rpm，刀具為整體硬質合金端銑刀，直徑為10 mm。逆銑，干切削，采用 Kistler9255B 三向測力儀測量并記錄銑削力。利用PG109 M0加速度計測量加速度信號。銑削加工測得的試驗數據與模型預測的結果的對比，如圖6所示。從圖中可以而看出，模型預測的結果與實驗測試結果具有較高的吻合度，驗證了建立的顫振系統預測模型的正確性。

圖5 實驗裝置圖

圖6 顫振穩定域解析解與試驗結果對比圖

在主軸轉速和軸向切削深度的不同組合下進行了一系列的試驗研究。圖7顯示了0.3 mm切割深度的時間歷程和相應的傅里葉變換(FFT)圖。在2400 Hz的工作頻率范圍內，凹槽通過頻率(□)和顫振頻率(◇)都會出現。

圖7 不同軸向切削深度下的振幅圖和FFT圖

3 兩種模型精確度對比分析研究

使用從初始單元分析獲得的刀尖頻率響應數據，分別使用基于二維切削力的穩定性預測模型與基于三位切削力的預測模型繪制相同情況下的穩定性波瓣圖，結果如圖8所示。徑向浸入比不同的軸向切削深度(b)上端銑加工的穩定性區域。在徑向浸入比不同的情況下，在基于三維切削力的三維穩定性波瓣圖(黑色1)與基于二維切削力的穩定性波瓣圖(灰色2)的對比中可以看出，平均穩定切割深度隨著徑向浸入比的增加而減小，而且三維穩定性波瓣圖的波動要比二維小，與實際結果更為接近，證明了改進后的穩定性預測模型的精確度要更好。

1：基于三維切削力模型的穩定性波瓣圖2：基于二維切削力模型的穩定性波瓣圖(a) 10%浸入比 (b) 40%浸入比圖8 不同徑向浸入比時的兩種模型的穩定波瓣圖對比

4 結論

本文改進了以往的基于二維切削力的端銑顫振預測模型，提出了基于三維切削力的端銑顫振預測模型，通過試驗驗證了新模型的準確性。并使用基于傳統預測模型與改進后的預測模型繪制不同穩定性預測波瓣圖，結果表明，基于三維切削力的端銑顫振穩定性預測模型具有更高的準確度，為以后端銑加工顫振現象的消除提出了理論依據。