軸向柱塞液壓馬達的約束旋轉角度前饋控制*

趙曉敏，郭 勇

(1. 青海交通職業技術學院汽車工程學院，西寧 810003; 2. 湖南科技大學機電學院，湖南 湘潭 411201)

0 引言

軸向柱塞液壓馬達被廣泛應用于移動式起重機的液壓機械傳動系統，例如輪式裝載機或挖掘機等戶外作業機器。為了達到馬達的最佳性能，所考慮的任務是根據其先驗未知參考精確地實現軸向柱塞液壓馬達的旋轉角度[1-4]，例如由駕駛員通過操縱桿或油門踏板操實時生成。為此，有必要為相應的非線性電液比例(electro proportional，EP)旋轉角度調節設計一個電子控制器[5]。由于在實際批量生產中缺少旋轉角度傳感器，因此只能采用前饋控制方法。此外，考慮狀態和輸入約束也是十分必要的。

除了先驗未知的轉矩參考信號之外，還需要考慮約束條件，這就帶來了一個極具挑戰性的控制問題。如今，與所考慮的約束控制任務相關的最常見控制技術是模型預測控制(model predictive control，MPC)[6-7]。例如，Zawistowski T等[8]提出了基于MPC的軸向活塞泵約束調節方法，得到的控制準確度較高。然而，由于參考信號的先驗形狀未知，預測僅在一定程度上是可能的。此外，預測控制依賴于優化問題的數值在線求解，這導致了較高的計算負擔，并且需要更昂貴的硬件設備。近期，基于平坦度的經典概念，Joos S等[9]提出了一個適用于輸入約束目標的線性系統控制方法，能夠實現具有時變狀態的反饋控制。該方法充分利用結構屬性，無需迭代計算，大大降低了計算負擔，但是該方法是針對線性系統的。

因此，本文提出將平坦度的原理與MPC方法相結合，以便實現滿足約束的非線性旋轉角度控制最優化問題。提出的旋轉角度控制無需依賴于迭代的在線優化，而是利用結構屬性，如平坦度以及瞬時信息。

1 液壓機械系統建模

圖1給出了旋轉角度調節的示意圖，旋轉角度調節包括一個液壓控制缸，該液壓控制缸[4]具有以彈簧為中心的柱塞，該活塞機械地連接到旋轉支架。柱塞的位置可以通過柱塞上產生的體積流量來調節，該體積流量通過壓力控制閥來調節。氣門挺桿通過復位彈簧復位，并通過連接彈簧進一步連接到柱塞。旋轉角度調節按電液比例操作，即壓力控制電磁閥中給定的固定輸入電流將導致成比例的固定旋轉角度。因此，可以利用EP特性來(簡單地)控制旋轉角度。

在1.1節中，根據圖1所示的旋轉角度調節原理，推導出了二階非線性平面系統模型。在1.2節中，對該模型進行了系統的理論解釋，給出了所考慮的約束條件的定義，并簡述了旋轉角度調節的約束控制問題。

圖1 軸向柱塞液壓馬達的電液比例旋轉角度調節示意圖

1.1 模型描述

推導基本旋轉角度動力學模型方程的直接方法是建立柱塞位置xK和氣門挺桿位置xV的運動方程。此外，閥門輸出壓力的動態特性px可以使用一階非線性常微分方程[11](nonlinear ordinary differential equation，ODE)來建模。這將導致一個由5個ODE組成的系統，該系統可被簡化為基于平坦度的控制器[12]，受限于以下動力學約束模型：

(1)

(2)

式中，Qx(xV,ΔpV)為體積流量，ΔpV為閥門上的壓力差，AKA為橫截面面積，iMag為電磁閥輸入電流，FMag(iMag)為磁力，Fjet(xV,ΔpV)為流動力，cF和cF1為彈簧剛度參數，l0和l01為初始位移，dV為阻尼系數。

體積流量Qx(xV,ΔpV)的計算方式如下：

(3)

式中，αV為孔口系數，ρx為流體密度，AV為閥門開口的面積。

閥門上的壓力差ΔpV的表示方式如下：

(4)

式中，px為閥門輸出壓力，pHi為高壓側壓力，pT為貯存壓力。

注意，為了確保正的壓力差ΔpV，從而確保式(4)中的實平方根表達式，引入了假設pT

(5)

式中，AkB和Arod為閥門兩側上的表面積。

式(2)的結果是忽略了各個運動方程中氣門挺桿的質量，因此將氣門挺桿的簡化運動描述為粘性摩擦引起的阻尼系數dV與作用在氣門上的所有力之和的乘積。該力的總和由螺線管產生的磁力FMag、流動力Fjet以及兩個彈簧力組成。兩個彈簧力都取決于它們各自的彈簧剛度參數cF和cF1以及由彈簧的初始張力引起的初始位移l0和l01。流動力Fjet的計算方式如下：

Fjet(xV,ΔpV)=2αVcos(φjet)AV(xV)ΔpV

(6)

式中，φjet為結構相關的入流角。

1.2 問題描述

圖2 AV(xV)(左)及其逆xV(AV)(右)特征線的定性示意圖

(7)

式中，xK,⊕為最大可調活塞位置。這種限制是由控制缸中與結構相關的硬約束造成的，可以解釋為狀態約束：

xK,?≤xK≤xK,⊕

(8)

以同樣的方式，第二狀態，即氣門挺桿的位置xV，由氣門中的機械上限和機械下限限定。

xV,?≤xV≤xV,⊕

(9)

此外，有限的可用電源電壓量導致了電流iMag的限制iMag ,?≤iMag≤iMag ,⊕，可轉換為控制輸入u=FMag的等效約束，即：

FMag,?≤FMag≤FMag,⊕

(10)

目標是在符合旋轉角度調整動力學約束(引入的式(1)、式(2))的條件下，根據先驗未知參考wy,ext，即y→wy,ext，以最佳方式控制旋轉角度。在隨后的章節中，將推導出一個適用于此目的的控制架構。

2 約束的控制器設計

基于前文提出的約束模型式(1)、式(2)，設計了一種實時的旋轉角度控制器。所提出的控制策略的結構如圖3所示。核心是基于平坦度的前饋控制器[13-14]和在線軌跡規劃器(通過切換狀態變量濾波器)[9]的組合。這兩個組成部分在第2.1節和第2.2節中分別進行了推導和描述。

圖3 基于平坦度的約束旋轉角控制器結構，用于在線跟蹤任務

2.1 基于平坦度的前饋控制器

基于平坦度的旋轉角度前饋控制器的推導需要非線性模型的反演。模型的平坦輸出z是柱塞的位置xK。當z=xK時，可以對模型方程進行逐步反演，反演過程如下所示：

xK=z

(11)

(12)

(13)

其中，

(14)

(15)

(16)

2.2 約束的在線軌跡規劃

z2,?≤z2≤z2,⊕

(17)

(18)

在圖3所示的控制結構中，開關狀態變量濾波器被實現為一個擴展的二階滯后元件，在1/τ處有一個雙特征值，即無約束濾波器方程是根據下式給出的：

(19)

(20)

(21)

為此目的，式(18)的相應限制函數是根據下式構造的：

(23)

式中的反饋增益決定了軌跡在每個極限(式(18))上的控制力度?？紤]到輸入約束式(10)，限制函數為：

(24)

為了結合兩對限制函數式(23)和式(24)，采用了如圖3所示的級聯實現。這導致輸入約束式(10)優先于狀態約束式(9)，保證了前饋控制信號u*的可行性。

(25)

(26)

3 實驗結果與分析

3.1 仿真研究

在Matlab/Simulink環境中對圖3中提出的控制結構進行了仿真研究[15-16]。將仿真的固定步長設為1 ms，整個仿真持續時間為0.35 s。在仿真研究過程中，根據表1考慮了4種案例。案例1和案例3是無約束的，案例2和案例4是約束的。

表1 仿真研究中考慮的4種案例

從案例1和案例2的仿真中獲得的期望軌跡和實際軌跡之間的比較，如圖4所示。從案例3和案例4的仿真中獲得的期望軌跡和實際軌跡之間的比較，如圖5所示。在每個圖中，顯示出了歸一化的旋轉角α、歸一化的氣門挺桿位置xV/xV,⊕以及歸一化的磁力FMag/FMag,⊕的時間響應。

圖4 案例1和案例2中不同軌跡的比較

圖5 案例3和案例4中不同軌跡的比較

可以看出，在所有4種案例下，旋轉角度α都可以根據黑色參考wy達到其最大值。在無約束案例1中，生成的軌跡是不可實現的。這可以從圖4中案例1的兩個曲線之間的明顯偏差中看出。因此，與受約束的案例2相比，案例1不僅從能量最優的角度來看是有害的，而且導致相對于參考wy的更長的轉變時間。在案例2的兩個曲線相互重疊，這意味著生成了可行的軌跡。此外，規劃的軌跡滿足并充分利用了約束條件式(9)和式(10)。為了避免案例1的次優行為，可以更保守地選擇濾波器常數τ。這導致可行的軌跡，然而并沒有充分利用可用的受限資源，因此導致更長的轉換時間，如圖5中案例3所示。利用所提出的擴展濾波器(式(26))，如在案例4中所使用的，如圖5中案例4所示，可以更快地選擇濾波器常數τ，同時避免了案例3的缺點。

3.2 車輛測量

在3.1節仿真結果的基礎上，以輪式裝載機為例，進一步驗證了所提出的約束轉角控制方案。為了在車輛環境中測試受約束的旋轉角度控制器，在輪式裝載機上進行了測量。ZL10輪式裝載機的實物圖以及液壓馬達測量照片如圖6所示。車高565 mm，長1245 mm，寬485 mm，整車質量為130.2 kg。軸向柱塞液壓馬達的基本參數：轉速為3000 r/min，壓力為35 MPa，輸入功率為48 kW。軌跡規劃任務在控制單元中以20 ms的幀進行評估。此外，還臨時安裝了一個旋轉角度傳感器，實際旋轉角度是已知的。

(a) 裝載機 (b) 液壓馬達圖6 輪式裝載機以及液壓馬達測量照片

為了進行廣泛的比較，在測量期間，考慮了根據表2的3個不同旋轉角度(前饋)控制器的變化。要注意的是，案例1單獨使用EP，案例2沒有約束考慮，案例3有約束考慮。案例2和案例3均使用了本文基于平坦度的前饋(Flat-FF)控制方法。

表2 測量研究中考慮的3種案例

測量得到的結果是(實際的)系統輸入和輸出，即驅動螺線管的(歸一化的)電流iMag/iMag ,⊕和旋轉角度α的結果，如圖7中所示?？梢钥闯?，所有考慮的控制算法都達到了由wy給出的參考旋轉角度，但是轉換時間明顯不同。為了指出這一點，表3給出了3種情況下的上升時間t90，它規定何時達到最終階躍值的90%。在圖7中，相應的90%值用虛線標記。

圖7 旋轉角和電流的測量結果

表3 3種情況下的上升時間t90

相比于僅利用EP屬性的案例1，案例2在無約束濾波器方程情況下，獲得的時間t90減少了28%。然而，與情況1或2相比，附加約束的案例3獲得的時間t90分別減少了63%和49%。案例2和案例3之間的巨大差異主要是因為案例3中的約束軌跡是可實現的，并且以比案例2中的無約束軌跡更優的方式利用可用能量。

4 結論

本文提出了一種新的軸向柱塞液壓馬達實時旋轉角前饋控制方法。該控制方法充分利用了轉角調整中的約束資源，提供了可行的軌跡。通過仿真研究，證明了所推導的控制策略比無約束情況下具有更快、更優的控制性能。此外，通過輪式裝載機車輛的測量，在實際環境中驗證了該結果，旋轉角度操作點之間的轉換時間大大縮短。后續研究方向是在控制單元中如何以更快采樣時間的實現所提出的旋轉角度控制器，并在串聯條件下進行進一步的測試。