矩形采場支護作用下圍巖周邊應力復變函數解析解

李元輝 劉明飛 李坤蒙 熊志朋

（深部金屬礦山安全開采教育部重點實驗室，遼寧 沈陽 110819）

地下礦體的開采必然打破圍巖原有的應力平衡狀態，導致其應力場重新分布［1］。尤其對于深部采場，高應力作用下圍巖穩定性較差，極易誘發頂板冒落、垮塌等地壓災害。為了控制采場圍巖的穩定性，通常借助留設原巖礦柱、人工支柱或錨網、錨噴等方式改善圍巖的應力狀態，確?；夭蛇^程中采場的安全作業條件。采場回采過程中，準確掌握支護作用下圍巖應力狀態是采場地壓控制和支護參數優化的理論基礎，具有十分重要的工程指導意義。

針對圓形孔洞周邊的應力和變形問題，巖石力學及彈性力學已經給出了較為完善的解析解，而對于矩形開挖周邊的應力變形問題仍處于研究階段［2］。上個世紀前蘇聯學者Muskhelishvili［3］首次將復變函數應用于彈性力學問題之中，為解決非圓形巷道或硐室邊界方面的問題提供了新思路。鑒于復變函數具有保角變換功能，能夠將物理平面上復雜形狀的邊界問題轉換成圓形形狀的簡單邊界求解，因此彈性力學中的復變函數法對于解決非圓形孔口問題具有其獨特的優越性［4］。朱大勇等［5］提出了對不同形狀的孔口通過保角變換得到映射函數的方法；趙凱等［6］介紹了一種通過不斷迭代循環的手段求解矩形硐室映射函數的新方法，并通過算例驗證了這種方法具有很高的實用性；Sharma等［7］分析了圓形、橢圓形、三角形和四邊形硐室圍巖的應力分布，提出加載角度和拐角半徑是影響應力集中的關鍵因素；陳斌［8］系統地給出并驗證了復變函數求解雙向均布載荷孔口問題的一般步驟；姜學淼［9］揭示了不同寬高比的矩形巷道圍巖邊界不同角度的應力分布規律；施高萍等［10］計算得出了原巖垂直和水平應力分量單獨作用的頂板和側幫中點的應力集中系數；Zhao等［11］采用復變函數的保角變換方法研究了方形隧道圍巖的應力分布規律，研究表明在45°角位置附近即方形隧道的拐角處應力集中較大，側壓系數在0.8～1.2范圍內隧道邊界不會出現拉應力；呂情緒等［12］根據復變函數的理論，通過計算求出采場在保角變換取三次項的情況下的極限長高比；Gao等［13］通過復變函數計算，給出了矩形巷道孔口周邊不同角度處的應力和位移的解析解。Wang等［14］討論了各向異性全滑移接觸隧道的解析解，通過對邊界條件的檢驗和數值模擬的比較，驗證了解析解具有較高的精確性。

縱觀目前的研究，基于彈性力學理論，國內外學者研究了不同形狀斷面巷道或硐室圍巖周邊的應力分布復變函數解，揭示了未支護條件下采場圍巖周邊的應力分布規律。然而，在實際采場回采過程中，必須采取一定的支護措施來控制圍巖的穩定性，目前運用復變函數理論求解支護作用下矩形采場圍巖周邊應力狀態問題鮮有研究，無法為現場工程支護設計提供理論依據。鑒于此，本項目旨在建立矩形采場圍巖應力分布的復變函數計算模型，研究在不同支護阻力作用下采場圍巖周邊應力的理論計算公式。同時，借助數值模擬方法對理論解析解進行驗證，最終揭示支護作用下采動圍巖周邊的應力狀態，為采場穩定性控制和支護參數確定提供理論基礎。

1 矩形采場支護作用下圍巖應力解析力學模型

1.1 力學模型

為了對支護作用下的矩形采場圍巖應力分布狀態進行計算，首先需建立求解的理論力學模型，如圖1所示。

具體假設條件：

（1）采場形狀位于模型中央，整體為規則的矩形，其斷面寬為2a，高為2b，且斷面尺寸遠遠小于模型整體尺寸，可將應力場的求解簡化成無限域的孔口問題［15］。

（2）只考慮自重產生的初始應力場，且假設采場埋深較大，可忽略采場附近由于重力引起的梯度效應，故認為模型受到豎直方向均勻的遠場應力σv和水平方向均勻的遠場應力σh=λσv，式中λ為側壓力系數。

（3）圍巖為均質、各向同性的連續介質，只發生彈性變形。

（4）采場內壁受到均勻的垂直和水平支護阻力，且大小均為f。

1.2 解析原理

如圖2所示，矩形采場支護作用下圍巖周邊應力計算可以簡化成彈性力學中的平面孔口問題，采場同時受到豎直方向均勻的遠場應力σv和水平方向均勻的遠場應力σh=λσv。此外，孔口內壁由大小相等的垂直和水平均布支護阻力f控制。計算支護作用下矩形采場圍巖周邊應力大小可拆分成兩部分討論，對于僅存在遠場應力且孔口內壁不支護條件下的圍巖應力解析，研究者已進行了比較深入研究［5-14］。本項目基于已有的研究進行拓展和延伸，計算孔口內壁支護作用下的圍巖周邊應力，利用復變函數的保角變換功能，將物理平面上復雜矩形形狀轉化為簡單的單位圓形狀進行分析，推導計算出相應復勢函數和復變解析量，同時，分別求出兩種不同情況圍巖應力的解析特解，再將其合成疊加，進而求得圍巖應力分量的解析解。最后，借助數值模擬的手段，求出矩形采場在支護條件下圍巖周邊應力數值模擬解，進一步驗證解析法的正確性。

2 矩形采場圍巖周邊應力理論解

2.1 復變函數保角變換

為了利用復變函數理論求解矩形采場圍巖周邊的應力，必須采用保角變換的手段將物理平面上的矩形區域映射到像平面上的圓形區域。對于映射函數的選取，包括諸多解法［16-19］，如 Schwarz-Christoffel公式的混合罰函數法、三角形插值法、Мeлентьев法、多角形逼近法、Verruijt共形映射函數、Laurent級數展開的復合形法等，本項目選取最后一種進行求解，該方法便于理解且計算簡便，同時具有較高的適用性和精確度。

Laurent級數展開的復合形法是將矩形彈性體在物理平面（問題的實際區域，也叫z平面）上所占區域轉化成像平面上的中心單位圓區域（也叫ζ平面），其中物理平面上矩形采場右邊界中點（a，0）、頂板中點（0，b）和右頂角（a，b）分別與像平面ζ上的點（1，0）、（1，-π/2）以及（1，θ）相對應，具體映射關系如圖3所示。

映射函數為

研究表明［20-21］，映射函數通常取3項既可以保證一定的精度要求又可以使推導過程相對簡潔，因此取

式中，R、c1、c3為實常數，且R>0，│c1│+│c3│≤ 1。

在像平面ζ上，令ζ=ρeiφ=ρ（cosφ+isinφ），ρ=1，式（1）與式（2）聯立，可得：

選取物理平面z上矩形采場3個特殊點（a，0）、（0，b）和（a，b）分別與像平面ζ上相對應的點（1，0）、（1，-π/2）和（1，φ）分別聯立，代入到式（3）中，由前2組對應點易解得：c1=（a?b）/（2R），c3=（a+b）/（2R）?1，聯立第3組對應點，可得方程：

解出φ值后，R值即可求出。

2.2 復勢函數解析

對式（2）進行如下變換，得出以下相應的解析量：

式中，σ=ζ=eiφ為復變量ζ在巷道邊界處的值；為矩形孔口內邊界上在x和y方向上的面力分量，由支護體提供；為矩形孔口內邊界上所有面力在x和y方向上的主矢量；B、B′、C′可由遠場應力σv和σh表示出來［17］：

分析式（8），f0由2部分組成，前一部分為無遠場應力，只在孔壁上作用支護阻力的情況，后一部分為只在遠場應力作用下，而不施加支護阻力的情況。為了計算簡便，可分別求解2種情況圍巖應力的復變解析量，如圖4所示：

需要規定2個復勢函數：

在中心單位圓之內是ζ的解析函數，并且在圓內和圓周上是連續的，可由式（13）并結合柯西積分公式［4］，將等號兩邊ζ的同次項的系數分離后對比求出。

（1）不考慮支護阻力的圍巖應力解析量計算（存在遠場應力）。無支護作用下的矩形采場受到遠場應力σv和σh，孔邊界所受面力為0，則，推導出應力解析量為

（2）只考慮支護阻力的圍巖應力解析量計算（不存在遠場應力）。只有支護作用下的矩形采場只受到孔邊界x和y方向上的支護阻力f，而不存在遠場應力σv和σh，則，推導出應力解析量為

2.3 矩形采場周邊圍巖應力分量

將2種不同情況下的應力解析分量式（14）、式（15）進行疊加，即可求出支護作用下矩形采場圍巖周邊應力解析量：φ(ζ)=φ1(ζ)+φ2(ζ)、ψ(ζ)=ψ1(ζ)+ψ2(ζ)，代入式（16）中即可求出同時考慮采場支護和遠場應力的矩形采場圍巖周邊應力分量：

式中，Re指計算時取復數的實部。

3 數值模擬

為了驗證復變函數理論求解水平矩形采場圍巖周邊應力的精確度，基于有限差分法（FLAC3D）開展數值模擬研究，分析采場周邊不同位置的應力以及不同支護力下的頂板和側幫應力演化規律。

3.1 不同位置的應力量

矩形采場位于模型正中央，采場寬×高為20 m×4 m，即寬高比為5∶1，模型上下施加10 MPa的垂向應力，左右施加12 MPa的水平應力，開挖內壁分別施加3～8 MPa的支護力。由于采場四周圍巖應力變化具有對稱性，因此選取矩形右上角1/4個區域進行分析，即孔口右幫中點到頂板中點90°范圍。采場周圍不同位置處的垂直應力和水平應力分量解析解和模擬解見表1、表2和圖5、圖6所示。

如圖5與圖6曲線所示，從采場幫壁到頂板，隨著角度的增加，圍巖垂直應力和水平應力均呈現先增大后減小的趨勢，垂直應力峰值出現在約30°位置處，水平應力峰值出現在約35°位置處，即在拐角附近應力值均出現陡增現象，即應力集中區，此結論與李明等［22］的結論保持一致。通過對比解析解和模擬解曲線可知，數值模擬解與理論解析解之間具有比較高的擬合性，理論計算結果具有較好的推廣應用價值。

3.2 不同支護圍巖周邊應力演化規律

對不同支護力條件下采場幫壁和頂板中點應力演化規律分析，即角度分別為0°和90°位置處的圍巖徑向應力和切向應力。由于采場圍巖內壁均勻施加支護阻力f，致使幫壁和頂板中點位置的圍巖徑向應力等于支護阻力f，因此僅需對幫壁和頂板中點處的切向應力進行分析：在幫壁中點位置處，切向應力為垂直應力SZZ，在頂板中點位置處，切向應力為水平應力SXX。繪制出不同支護力下的幫壁和頂板中點位置的圍巖應力演化如圖7所示，采場右幫切向應力隨支護阻力的增加而減小，而頂板切向應力隨支護阻力的增加而增大，且頂板和右幫位置的解析解均略大于模擬解。此外，頂板位置的解析解和數值模擬結果偏差大于右幫位置，對于解析方法來說，原因在于保角變換的映射函數僅取了三項，對于大寬高比采場較長邊的應力求解誤差增大，實際可通過增加映射函數的項數來提高擬合性［8-9］；對于數值模擬方法來說，由于計算機本身的限制，模擬網格的劃分對精度產生一定的影響，大寬高比情況下，長邊的網格應更加密集。

4 結 論

基于彈性力學的孔口問題，通過復變函數保角變換等理論，將矩形采場轉化為單位圓，求解支護作用下圍巖周邊的應力解析解，并采用數值模擬對理論解析方法結果進行驗證，得到以下結論：

（1）復變函數理論和數值模擬方法求解的不同支護力作用下的圍巖周邊應力解析解和數值解具有比較高的擬合性，理論計算可進行推廣應用。

（2）采場周邊圍巖應力從幫壁到頂板分布先增大后減小，呈現“拋物線”趨勢，拐角附近處應力值出現陡增現象，即應力集中現象。

（3）隨著矩形采場周圍巖體支護阻力的逐漸增加，幫壁切向應力逐漸減小，頂板切向應力逐漸增大，且兩個位置的解析解均略大于模擬解。

（4）頂板位置的解析解和數值模擬結果偏差大于兩幫位置，對于解析方法來說，原因在于保角變換的映射函數僅取了三項，對大寬高比采場較長邊的應力求解誤差增大，實際可通過增加映射函數的項數來提高擬合性；對于數值模擬方法來說，由于計算機本身的限制，模擬網格的劃分對精度產生一定的影響，大寬高比情況下，可加密長邊的網格。