三維大地電磁響應各向異性特征研究

王 磊, 岳明鑫,,3, 楊曉冬,, 李 勇, 吳小平

(1.中國科學技術大學 地球和空間科學學院，合肥 230026；2.中國地質科學院 地球物理地球化學勘查研究所,自然資源部地球物理電磁法探測技術重點實驗,廊坊 065000；3.安徽國科驕輝科技有限公司,合肥 230040)

0 引言

地球介質的各向異性現象是普遍存在的[1-4]，微觀上，電導率各向異性與晶體的優勢取向以及地球動力學過程密切相關,能提供有關巖體內部介質裂隙,礦物晶體排列和應力場、形變帶特征等信息[5-6]；宏觀上，成礦作用時地下巖漿活動會引起地殼應力變化，進而影響含流體微裂隙以及孔隙的定向排列從而引發強烈的電各向異性特征[7]。因此,研究地下結構的電導率各向異性特征，有助于揭示巖石圈殼幔物質的分布特征以及變形機制，對于理解構造運動和巖漿活動等球動力學過程具有重要的科學意義。

大地電磁測深法(MT)以天然交變電磁場為場源，工作效率高、探測深度大，可以獲取地下介質的電性參數,是深部地球物理探測的一種主要方法技術，近年來被廣泛應用于尋找地熱資源[8]、深部地殼結構研究[9]以及上地幔結構等研究中[10]?，F階段大地電磁數據的處理主要基于各向同性理論[11-13]，各向同性假設會對大地電磁實測數據的處理與解釋帶來較大的偏差，無法反應真實的地質結構，甚至會導致錯誤的結果?，F階段野外觀測數據中的某些特征，例如相位超象限現象已經被認為對電各向異性結構起到一定的指示意義，然而更多的因電各向異性產生的數據特征，需要電各向異性理論模型數值實驗的驗證，因此迫切需要研究準確高效的電各向異性三維正演模擬算法，模擬各向異性地質體對觀測大地電磁場的影響。

數值模擬是反演方法研究和數據解釋的基礎，關于電各向異性介質的數值模擬研究最早可以追溯到上世紀六十年代[14]。Pek等[15]實現了各向異性介質中二維MT有限差分法，解釋了相位超象限現象； Li[16]實現了各向異性介質中二維MT有限元法，能更好的模擬復雜地下介質條件。在三維MT各向異性的數值模擬方面，目前主要包括積分方程法[17]、有限差分法[18]、有限體積法和有限元法[19]。其中基于有限元方法的MT正演能更好模擬地下不規則異常體，矢量有限元法因其完美模擬單元邊界上電磁場的不連續性，并嚴格滿足散度為零的條件，故在MT數值模擬領域得到越來越廣泛的應用。近幾年，曹曉月等[20]、Liu 等[21]先后提出基于總場的各向異性介質中三維MT非結構矢量有限元模擬方法；秦策等[22]、李志旋等[23]先后提出基于二次場的各向同性介質三維正演模擬方法，而基于二次場任意各向異性介質三維非結構矢量有限元大地電磁正演模擬尚少見報道。

筆者從麥克斯韋方程出發，推導了任意各向異性介質中三維大地電磁的二次場變分方程，使用非結構矢量有限元法進行求解，對于大型稀疏線性方程組的求解，選用直接求解器PARDISO。使用本算法計算COMMEMI模型[24]和二維各向異性模型，與前人已發表結果進行對比，驗證了算法的準確性，設計板狀體模型計算傾斜各向異性條件下的MT響應，為突顯非結構網格優勢，設計球型異常體模型并計算其在主軸各向異性條件下的MT響應，分析異常體主軸電導率對視電阻率的影響，詳細討論了水平各向異性條件下，主軸電導率、歐拉角對視電阻率的影響。

1 二次場的三維MT正演算法

假設時諧因子為e-iωt，頻率域的麥克斯韋方程為：

(1)

(2)

電導率各向異性可以由各向異性參數σx、σy、σz，即αs、αd、αl三個主軸分量和三個歐拉角來表示。以電場為例，式(1)可以寫成雙旋度方程如下：

(3)

(4)

這里背景模型采用一維層狀介質模型。聯合式(3)、式(4)，不考慮介電常數的變化，可得二次場方程：

(5)

(6)

模型空間可以離散為四面體單元，如圖1所示。四面體單元內任一點的電場可以近似表達為式(7)。

圖1 四面體單元及棱邊編號圖Fig.1 Diagram for tetrahedron element and its edge numbers

(7)

其中：ei表示第i條邊上的電場值；Ni為型矢量形函數[26]表達式為式(8)。

Ni=(Li1Li2-Li2Li1)li

(8)

將式(7)、式(8)帶入式(6)，消去變分項可得：

(9)

其中：

(10)

計算四種單元積分，將結果帶入式(9)。一次場值Ep由解析公式計算，得到每個節點的一次場值，使用投影法將節點上一次場值轉化到每條棱邊上。將單元剛度矩陣合成為總體剛度矩陣，表達式為式(11)。

KEs=S

(11)

式中:K為大型對稱稀疏矩陣，采用CSR格式進行存儲以節約內存空間,為獲得快速穩定的計算結果，選用PARDISO直接求解器進行方程組求解。

2 MT響應計算

由式(11)可以得到計算域內每條棱邊上的二次場值，帶入式(1)可得二次電場值。進而通過式(7)可以得到任意測點的二次場值，將其與此點的一次場相加，即得總場值。另外，各向異性介質中的電磁場一般不能解耦，故阻抗張量Zxx與Zyy一般不為零，這里在兩個正交源下分別模擬得到兩組數據，求解阻抗，公式如下：

(12)

式中：下角標1和2分別表示x、y方向的源。最后可以通過式(13)計算視電阻率與相位：

(13)

圖2 一維層狀模型示意圖Fig.2 Diagram of one-dimensional layered model

圖3 一維層狀解析解與模擬結果對比Fig.3 1D layered analytical solution compared with simulation

3 算法驗證

3.1 一維層狀解析解

使用一維層狀解析解來驗證算法的準確性。一維層狀模型示意圖如圖2所示，對比結果如圖3所示，可以看到對于不同頻點，本算法模擬結果與解析結果相吻合，驗證了算法的準確性。

3.2 COMMEMI-3D1模型

一維層狀介質和簡單二維模型具有解析解，一般的三維模型很難得到其解析解，因此對于三維模型，當不同的數值模擬方法得到不同的結果時，需要一個客觀標準COMMEMI(Comparison of Modeling Methods for Electroma -gnetic Induction)是一個眾多學者參與的國際合作項目[24]，各個機構采用不同的數值模擬方法計算標準模型的MT響應，為新的算法提供一個對比標準。

圖4 COMMEMI-3D1模型Fig.4 COMMEMI-3D1 model(a)YOX剖面;(b)XOZ剖面

圖5 模擬結果與前人結果對比Fig.5 Comparisons of modelling results and previous results(a)x測線結果；(b)x測線結果;(c)y測線結果；(d)y測線結果

筆者采用COMMEMI-3D1模型驗證三維正演算法的正確性。模型如圖4所示，背景電阻率為100 Ω·m，異常體電阻率為0.5 Ω·m，測線布置為過原點的沿x、y軸兩條測線，模型生成186 627個非結構四面體單元，設置頻點為0.1 Hz，圖5顯示本文算法計算結果與前人結果相吻合，曲線平滑且落在誤差區間內，驗證了本算法對于三維模型模擬的正確性。

3.3 水平各向異性模型

為了驗證算法對各向異性介質模擬計算的準確性，參考Pek等[15]設計了一個較為復雜的二維各向異性模型(圖6)，各向異性塊體出露地表，下方與各向異性水平層相接，上下兩個異常體的各向異性水平主軸相互垂直異常體1的參數為：ρ1=30,ρ2=100,ρ3=30,αs=30°；異常體2的參數為：ρ1=10,ρ2=100,ρ3=10,αs=120°。本程序模擬的視電阻率模擬對比如圖7所示?？梢钥吹侥M結果與有限差分結果吻合，驗證了算法的正確性。

圖6 二維水平各向異性模型Fig.6 Two-dimensional horizontal anisotropy model(a)電性介質分布圖;(b)水平各向異性示意圖

圖7 水平各向異性模型視電阻率的有限差分結果與本文矢量有限元結果Fig.7 Comparison of apparent resistivity between finite difference method and the finite element method proposed by this paper(a)ρxx;(b)ρxy;(c)ρyx;(d)ρyy

圖8 三維傾斜各向異性模型Fig.8 Three-dimensional dipping anisotropy mode(a)XOY剖面;(b)傾斜各向異性示意圖

4 算例

4.1 傾斜各向異性

傾斜各向異性介質是y、z軸在yoz平面中繞x軸旋轉αd得到，電導率張量與主軸電導率張量以及旋轉角αd的關系式為式(14)。

(14)

其中：

(15)

如圖7所示，其主軸電導率為σ1=0.01 S/m,σ2=0.1 S/m,σ3=0.01 S/m。模型空間被分為186 627個非結構四面體單元，依次設置傾角大小為αd=0°、30°、60°、90°，頻點為1 Hz，討論傾角αd對測點MT響應的影響。二維情況下，視電阻率ρxy與φxy相位不受傾角αd影響，僅與主軸電導率σ1有關[18]。而三維情況下，不同于二維模擬的結論，視電阻率ρxy與相位φxy曲線隨著傾角αd會發生較小變化。視電阻率ρxy與相位φxy受到較大影響，隨著傾角變大，其異常體范圍(-1 000 m,1 000 m)處的視電阻率值逐漸變小，當傾角為0°、90°時，曲線保持其對稱性，當傾角為30°、90°時，曲線關于y=0非對稱。兩種模式視電阻率的差異以及非對稱性與傾角αd有顯著關聯，因此可以作為判斷異常體各向異性特征的依據。

4.2 主軸各向異性

主軸各向異性介質的電導率張量，只有對角線存在非零元素：

(16)

設計球狀異常體模型，討論主軸各向異性以及水平各向異性，背景電導率為0.01 S/m，球體半徑為500 m，模型空間被分為183 835個非結構四面體單元，網格剖分見圖10。VTI介質與VHI介質是主軸各向異性介質中兩種常見情況，分別對兩種介質進行模擬計算MT響應。

圖9 傾斜各向異性模型視電阻率與相位隨傾角αd變化曲線Fig.9 Dipping anisotropy model apparent resistivity and phase changing with different αd(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖10 球狀異常體模型網格剖分Fig.10 Spheroidal anomaly model and discretation using unstructured girds

4.2.1 VTI介質

設計球型異常體主軸電阻率σ1=σ2=0.1 S/m保持不變，垂直主軸電導率σ3=1、0.1、0.01、0.001 S/m相相對背景電導率，經歷幾個量級的轉變，頻點設為1 Hz其對測點MT響應的影響見圖11，可以看到：對于VTI介質，雖然垂直主軸電導率σ3經歷了幾個量級的變化，但測點處的視電阻率與相位曲線僅有微小變化，說明主軸各向異性條件下，σ3對地面測點的MT響應影響微弱。

4.2.2 VHI介質

設計異常體主軸電導率為：σ1=σ3=0.1 S/m保持不變，水平y方向主軸電導率σ2=1、0.1、0.01、0.001 S/m從從大到小變化，頻點設為1 Hz，觀察其對測點MT響應的影響。如圖12所示，σ2經歷幾個數量級的變化，視電阻率ρxy與相位φxy幾乎不受影響，然而視電阻率ρxy與相位φxy則發生了明顯的變化，隨著主軸電導率分量σ2從大到小變化，視電阻率曲線的異常體位置范圍(-1 000 m,1 000 m)內也表現由低阻到高阻的變化特征，這與文獻[16]的結論是一致的。

圖11 VTI介質視電阻率與相位隨σ3變化曲線Fig.11 Apparent resistivity and phase of VTI media with different σ3(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

4.3 水平各向異性

水平各向異性是x軸與y軸在xoy平面內繞z軸旋轉一定的角度，其余角度為零，其電導率張量表達式為式(18)。

(17)

(18)

沿用球模型，均勻半空間電阻率與球體位置大小均不變，研究水平旋轉角αs變化對測點MT響應的影響。設異常體的電導率參數為：σ1=0.1 S/m,σ2=0.001 S/m,σ3=0.01 S/m，水平旋轉角由零逐漸變大。過模型空間中心點的x方向測線在1 Hz下的視電阻率與相位曲線(圖13)可以看到，視電阻率與相位均受到αs的顯著影響，當αs=0°時，此時介質為主軸各向異性，ρxy和ρyx對應圖13(a)綠色曲線；隨著αs變大，ρxy曲線中心由低阻向高阻轉變，相反ρyx曲線由高阻逐漸轉變為低阻，原因在于，σxx的值逐漸向σ2過渡，而σyy逐漸向σ1變化所導致，直到αs=90°，此時σxx=σ2，σyy=σ1。

圖12 VHI介質視電阻率與相位隨σ2變化曲線Fig.12 Apparent resistivity and phase of VHI media with different σ2(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖13 過中心點測線的視電阻率與相位隨αs變化曲線Fig.13 Central survey line apparent resistivity and phase with different αs(a)ρxy;(b)ρyx;(c)φxy;(d)φyx

圖14 視電阻率在1 Hz平面內隨αs變化Fig.14 Apparent resistivity in the 1 Hz plane with different αs

圖16 αs=45°、γ不同情況下、ρxy旋轉程度大小Fig.16 In condition of αs=45°，γ changing , the degree of ρxy rotation(a)γ=1.4;(b)γ=3.2;(c)γ=7.7;(d)γ=14.1

5 結論

實現了電導率任意各向異性大地電磁三維非結構矢量有限元法正演數值模擬，一維層狀解析解、COMMEMI模型以及各向異性模型的計算結果與前人模擬結果很好吻合，驗證了算法的準確性。在此基礎上，進行了不同電導率各向異性模型的數值模擬，結果表明，傾斜各向異性條件下，視電阻率ρxy曲線隨著傾角αs會發生較小變化，而視電阻率ρyx受到較大影響而產生非對稱特征。主軸各向異性條件下，α3對視電阻率產生較小影響，而ρxy主要反映α1的信息，ρyx主要反映α2的信息。特別在水平各向異性條件下，視電阻率形態隨著走向角αs變化而發生旋轉，只有當水平各向異性系數γ非常大時，視電阻率形態的旋轉角能夠比較準確地反映αs的大??；當水平各向異性系數γ相對較小時，視電阻率形態的旋轉角與αs差別較大，必須同時考慮水平各向異性系數γ的影響。實際地球深部介質的電導率各向異性比較復雜、大小不一，筆者大地電磁各向異性數值模擬獲得的一些新的認識，對深部巖石圈電性結構探測有重要意義。