2021年美國數學競賽(AMC10A)的試題與解答

華南師范大學數學科學學院(510631) 李湖南

1.算式(22?2)?(32?3)+(42?4)的值是多少?

(A) 1 (B) 2 (C) 5 (D) 8 (E) 12

解直接計算,原式=2?6+12=8,故(D)正確.

2.Portia 高中的學生人數是Lara 高中的3 倍,這兩所高中總共有2600 名學生.問Portia 高中有多少名學生?

(A) 600 (B) 650 (C) 1950 (D) 2000 (E) 2050

解依題意可知,Portia 高中占總人數的即有2600×=1950 名學生,故(C)正確.

3.兩個自然數之和是17402.這兩個數中的一個可以被10 整除,如果去掉該數的個位數字則得到另外一個數.問這兩個數的差是多少?

(A) 10272 (B) 11700 (C) 13362 (D) 14238 (E) 15426

解設第一個數為x,則第二個數為已知x+17402,解得x= 15820,于是兩數之差為x ?=14238,故(D)正確.

4.一輛小車沖下山坡,它第一秒移動了5 英寸,并且速度不斷加快.在每個連續的1 秒時間間隔內,它都比前1 秒多移動7 英寸.小車用了30 秒到達山腳.問它一共行進了多少英寸?

(A) 215 (B) 360 (C) 2992 (D) 3195 (E) 3242

解小車每秒移動的距離是個等差數列,首項為5,公差為7,第30 秒移動了208 英寸,從而距離和為(5+208)×30÷2=3195 英寸,故(D)正確.

5.一個共有k >12 名學生的班級進行測驗的平均分為8 分,其中12 名學生的測驗平均分是14 分.問其余學生的測驗平均分如何用k來表示?

解所有學生的分數總和為8k,其中12 名學生的分數和為168,剩下k ?12 名學生的分數和為8k ?168,故平均分為(B)正確.

6.Chantal 和Jean 從山路的起點開始向消防塔徒步旅行.Jean 背著一個沉重的背包,走得較慢.Chantal 開始以每小時4 英里的速度行走,走到路程一半,山路變得非常陡峭,Chantal 的速度減慢到每小時2 英里.到達塔后,她立即掉頭,以每小時3 英里的速度沿著陡峭的山路向下走,她在路程的一半處遇見了Jean.從出發到他們相遇,Jean 的平均速度是每小時多少英里?

解設半程為x英里,Jean 所用的時間與Chantal 一樣,均為小時,于是Jean 的平均速度為英里/小時,故(A)正確.

7.湯姆有13 條蛇,其中4 條是紫色的,5 條是快樂的.他觀察發現:他的所有快樂的蛇都能做加法,他的紫色的蛇不會做減法,而且他所有不會做減法的蛇也不會做加法.關于湯姆的蛇,可以得出以下哪個結論?

(A) 紫色的蛇可以做加法 (B) 紫色的蛇是快樂的

(C) 能做加法的蛇是紫色的 (D) 快樂的蛇不是紫色的

(E) 快樂的蛇不能做減法

解紫色的蛇不會做減法,從而也不會做加法,因此也不是快樂的.故快樂的蛇都不是紫色的,(D)正確.

8.一名學生在用66 乘以如下的循環小數時,1.abab···= 1.˙a˙b,其中a和b是數字.他沒有注意到循環小數的標識,而只是做了66 乘以后來他發現他的答案比正確答案小0.5.問兩位整數是多少?

(A) 15 (B) 30 (C) 45 (D) 60 (E) 75

解由題意可得,0.5=66×(1.˙a˙b?=66×0.00˙a˙b=0.66×,解得=75,故(E)正確.

9.對于實數x和y,(xy ?1)2+(x+y)2的最小可能值是多少?

解(xy ?1)2+(x+y)2=x2y2+x2+y2+1 ≤1,此時x=y=0,故(D)正確.

10.算式(2 + 3)(22+ 32)(24+ 34)(28+ 38)(216+316)(232+332)(264+364)與下面哪個表達式相等?

(A)3127+2127(B)3127+2127+2×363+3×263

(C)3128?2128(D)3128+2128(E)5127

解連續使用平方差公式,可得原式=(3?2)(3+2)(32+22)(34+ 24)(38+ 28)(316+ 216)(332+ 232)(364+ 264) =3128?2128,故(C)正確.

11.選擇下面哪個整數b為基數,可以使得b進制數2021b ?221b不能被3 整除?

(A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 7 (E) 8

解由于2021b ?221b=2×b3?2×b2=2b2(b ?1),當b=3,4,6,7 時,該數均能被3 整除,故(E)正確.

12.如圖所示,兩個頂點朝下的正圓錐包含相同量的液體.液體頂部表面的半徑分別為3 厘米和6 厘米.在每個圓錐體中放入一個半徑為1 厘米的球形彈子,它沉入底部,完全浸沒,沒有任何液體溢出.問窄圓錐內液面上升的高度與寬圓錐內液面上升的高度之比是多少?

(A) 1:1 (B) 47:43 (C) 2:1 (D) 40:13 (E) 4:1

解設液體的體積為V,左右兩邊液面高度分別為h1,h2,則V=因而h1= 4h2.設放入彈子的體積為V0=左右兩邊液面上升高度分別為?h1,?h2,頂部液面的半徑分別為r1,r2,則有

13.四面體ABCD中,各邊長為AB= 2,AC= 3,AD=和CD=5,問它的體積是多少?

解如圖所示,由于AB2+AC2=BC2,AB2+AD2=BD2,AC2+AD2=CD2,可得AB,AC,AD互相垂直,即ABCD是個直四面體.故VABCD=·AC==4,(C)正確.

14.多項式z6?10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+16的根都是正整數,有可能重復.問B的取值是多少?

(A)?88 (B)?80 (C)?64 (D)?41 (E)?40

解設多項式的根為x1,x2,x3,x4,x5,x6,其中均為正整數,則z6?10z5+Az4+Bz3+Cz2+Dz+ 16 = (z ? x1)(z ? x2)···(z ? x6),可 得解得x1=x2=1,x3=x4=x5=x6= 2,于是B=?(12·2 +=?88,故(A)正確.

15.A,B,C和D的值從{1,2,3,4,5,6}中不重復地選取(即沒有兩個字母的取值相同),使得兩條曲線y=Ax2+B和y=Cx2+D相交的不同取值方式有多少種? (不考慮曲線列出的順序,例如,A=3,B=2,C=4,D=1 與A=4,B=1,C=3,D=2 被認為是相同的)

(A) 30 (B) 60 (C) 90 (D) 180 (E) 360

解要使得y=Ax2+B和y=Cx2+D相交,則方程Ax2+B=Cx2+D有解,即有(A ?C)x2=D ?B,此時A ?C,D ?B的符號一樣.任取A,C ∈{1,2,3,4,5,6},則D,B ∈{1,2,3,4,5,6}?{A,C},大小關系須一致,則有種選擇;另外不考慮曲線的順序,故不同的取值方式共有180÷2=90 種,(C)正確.

16.在下面的數據列表中,對于1 ≤n≤200,整數n出現了n次.1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,··· ,200,200,··· ,200.問這組數據列表中的中位數是多少?

(A) 100.5 (B) 134 (C) 142 (D) 150.5 (E) 167

解這列數共有1+2+3+···+200=×200×201=20100 個,中位數是第10050 與第10051 個數的平均值.先求得≤10050 的最大值為nmax= 141,且(nmax+1) = 10011.這說明第10050 和第10051 個數均為142,故中位數為142,(C)正確.

17.在梯形ABCD中,BC=CD= 43,并且設O是對角線的交點,P是的中點.已知OP= 11,AD的長度可以表示成其中m和n是正整數,并且n不能被任何質數的平方所整除.問m+n的值是多少?

(A) 65 (B) 132 (C) 157 (D) 194 (E) 215

解如圖所示,延長CP交AB于 點E,由 于?CBD是等腰三角形,P是BD中點,從而CP ⊥BD,進而CE//DA,于是AECD是個平行四邊形,得EA=CD= 43.又∠CBD= ∠CDB= ∠ABD,可得?CBP∽= ?EBP,即得BE=BC=43,于是AB=86.

再根據?CDO∽ ?ABO,有即解得BP= 33,從而AD=CE= 2CP=故m+n=194,(D)正確.

18.令f是一個定義在正有理數集合上的函數,它具有性質:對于所有的正有理數a和b,f(ab) =f(a)+f(b).假設f還具有性質:對于每一個質數p,f(p) =p.問以下哪個數x滿足f(x)<0?

解f(1) =f(1·1) = 2f(1)?f(1) = 0,f(1) ==?f(b),對于任意正有理數=f(a)?f(b),對于任意正有理數a和b;f(pn) ==nf(p),對于任意質數p,n ∈N.因此,=f(25)?f(11) =2f(5)?f(11)=2·5?11=?1<0,故(E)正確.

19.由x2+y2= 3|x ?y|+3|x+y|的圖像所界定的圖形的面積是m+nπ,其中m和n是整數.問m+n是多少?

(A) 18 (B) 27 (C) 39 (D) 45 (E) 54

解如圖所示,對點(x,y) 的位置進行討論:(1) 在第一象限:當y≤x時,方程為x2+y2= 3(x ?y)+3(x+y),化簡可得(x ?3)2+y2= 9,它是一個八分之一圓; 當y > x時,方程可化為x2+ (y ?3)2= 9,也是一個八分之一圓; (2) 在第二象限:當y≤?x時,方程可化為x2+ (y ?3)2= 9; 當y < ?x時,方程可化為(x+3)2+y2=9;(3)在第三象限:當y≤x時,方程可化為(x+3)2+y2=9;當y

綜上可得,該圖像由四個半徑為3 的半圓封閉而成,面積為62+2·π·32= 36+18π,故m+n= 36+18 = 54,(E)正確.

20.數列1,2,3,4,5 有多少種重新排列的方式,使得沒有連續三項是遞增的,也沒有連續三項是遞減的?

(A) 10 (B) 18 (C) 24 (D) 32 (E) 44

解由題意可知,符合條件的數列中,連續兩項的單調性只能是:增減增減,或減增減增.用排列表示即有:13254,14253,14352,15243,15342;21435,21534,23154,24153,24351,25143,25341; 31425,31524,32415,32514,34152,34251,35142,35241.如果對集合{1,2,3,4,5}做一個置換,所得排列仍然符合條件,即以5,4 開頭的排列和以1,2 開頭的排列一樣多.故所有符合條件的數列有(5+7)×2+8=32 個,(D)正確.

21.設ABCDEF是等角六邊形,由直線AB,CD和EF所組成的三角形面積為由直線BC,DE和FA所組成的三角形的面積是六邊形ABCDEF的周長可用表達,其中m,n和p是正整數,并且p不能被任何質數的平方整除.問m+n+p的值是多少?

(A) 47 (B) 52 (C) 55 (D) 58 (E) 63

解如圖所示,分別向兩邊延長各邊,交于點G,H,I,J,K,L,由題意可得,S?GHI=由于六邊形的每個內角都是120°,因此圖中所有三角形的內角都是60°,即所有三角形都是等邊三角形.

于是,S?GHI=解得a+b+f=同理S?JKL=得c+d+e=36.故六邊形的周長為a+b+c+d+e+f= 36+即m+n+p= 36+16+3 = 55,(C)正確.

22.Hiram 的代數筆記有50 頁,打印在25 張紙上;第一張紙包括第1 和第2 頁,第二張紙包括第3 和第4 頁,以此類推.有一天,他去午餐前把筆記本放在桌子上,室友決定從筆記中間借幾頁.當Hiram 回來時,他發現他的室友從筆記中拿走了連續的若干張紙,并且所有剩余紙張上頁碼的平均值正好是19.問有多少張紙被借走了?

(A) 10 (B) 13 (C) 15 (D) 17 (E) 20

解設筆記被借走了x張紙,分別是從第a張紙到第a+x ?1 張紙,其中a+x ?1 ≤25,頁碼正好是從2a ?1 到2(a+x ?1),頁碼和為(2a ?1)+2a+···+2(a+x ?1) =·2x= (4a+2x ?3)x,而所有頁碼和為1 + 2 +···+ 50 = 1275,從而剩下的頁碼和為19(50?2x) = 1275?(4a+ 2x ?3)x,整理得(4a+2x ?41)x=325,解得x=13,a=10,故(B)正確.

23.青蛙Frieda 在一個3×3的方格表上開始一系列跳躍,每次跳躍都隨機選擇一個方向——向上、向下、向左或向右,從一個方格移動到旁邊的方格.她不能斜著跳,當跳躍的方向會使得Frieda 離開方格表時,她會“繞個圈”,跳到相對的另一邊.例如,如果Frieda 從中心方格開始,向上跳躍兩次,第一次跳躍后她將位于最上面一行的中間方格,第二次跳躍將使得Frieda 跳到相對的邊,落在最下面一行的中間方格.假設Frieda 從中心方格出發,最多隨機跳躍四次,并且當到達角落方格時就停止跳躍.問她在四次跳躍中到達角落方格的概率是多少?

解記P(n) 為第n次到達角落方格的概率,顯然P(1) = 0; 第一次跳躍可朝四個方向,不妨設第一次跳躍向右,則當第二次跳躍向上或向下時,可到達角落方格,概率為即P(2) =; 若第二次跳躍向左,概率為即回到出發點S,此時第四次跳躍到達角落方格的概率為; 若第二次跳躍向右,概率為此時到了S左邊的方格,則第三次跳躍向上或向下可到達角落方格,即若第三次跳躍向左,概率為則回到S右邊的方格,第四次跳躍向上或向下可到達角落方格,概率為從而P(4) =而其它情況均四次到達不了角落方格.故所求概率為,(D)正確.

24.設a是正實數,考慮由(x+ay)2= 4a2和(ax ?y)2=a2組成的四邊形的內部.對所有的a >0而言,這個區域的面積怎樣用a來表示?

解如圖所示,四邊形由四條直線y=±2,y=ax ± a圍 成,由于斜率之積為?1,從而四邊形是個矩形.設直線y=+2 與x軸負方向的夾角為θ,則tanθ=矩形的長為4 cosθ,寬 為2 cosθ,即所求面積為S= 8cos2θ.于是S= 4·2cos2θ= 4(1+cos 2θ) =故(D)正確.

25.將3 枚不可區分的紅色籌碼,3 枚不可區分的藍色籌碼和3 枚不可區分的綠色籌碼分別放入3×3 方格表的各個小方格中,使得無論是垂直方向還是水平方向,都沒有兩個相同顏色的籌碼相鄰,問共有多少種放法?

(A) 12 (B) 18 (C) 24 (D) 30 (E) 36

解首先考慮中心方格,不妨設放入紅色籌碼,分兩種情況:

(1)其余兩個紅色籌碼在一邊,四個方向均可:那剩下6個方格只能按以下方式放入,?放一種顏色,空格放另一種顏色.此時有4×2=8 種放法;

(2)其余兩個紅色籌碼各在一邊,即在對角線上,兩個方向均可:那剩下6 個方格也只能按以下方式放入,?放一種顏色,空格放另一種顏色.此時有2×2=4 種放法.

綜上,中心方格放入紅色籌碼,共有12 種放法.如果放入藍色籌碼或綠色籌碼,也是一樣,故所有的放法有3×12=36種,(E)正確.