一種新型三階磁控憶阻器模型及其濾波器研究

于永斌，李 鏢，唐 倩

(電子科技大學信息與軟件工程學院 成都610054)

1971年，文獻[1]從對稱性的角度在理論上預言了憶阻器(memristor)的存在。1976年，文獻[2]將憶阻器的概念擴展至憶阻系統(memristive systems)。2008年，文獻[3]首次發現了納米憶阻器件。由此證明了憶阻器的存在，并掀起了憶阻器研究的熱潮。憶阻器在非易失性存儲器[4]、邏輯門運算[5]、人工神經網絡[6]、生物學[7]、憶阻混沌電路及動力學研究[8-10]等多個領域具有豐富的應用前景。

憶阻器描述的是電荷q與磁通量φ 之間的關系[1]，若磁通量 φ是電荷q的單值函數，則憶阻M(q)是電荷q的單值函數，稱之為荷控憶阻器。同樣地，若電荷q是磁通量φ的單值函數，則憶導W(φ)是磁通量φ的單值函數，則稱之為磁控憶阻器(或憶導器)。

根據荷控與磁控憶阻器的定義，兩者的特征分別由φ?q曲線或q?φ曲線決定?；趒?φ三次非線性關系，文獻中[9]提出了一種三階磁控憶阻器模型?；讦?q二次非線性關系，文獻[11]提出了一種荷控憶阻器模型?；趒與φ之間分段線性關系，文獻[12]提出了荷控和磁控憶阻器模型。

濾波器是一種對不同頻率范圍內的信號具有不同抑制作用的頻率選擇電路。由電阻和電容組成的無源濾波是最常見的濾波器，而基于憶阻器的濾波器卻比較少見。文獻[13]使用HP憶阻器模型搭建了高低通濾波器，并進行了仿真分析；文獻[14]基于三階磁控憶阻器搭建了高低通濾波器，并進行了仿真和實際電路分析；文獻[15]基于三階磁控憶阻器搭建了有源低通濾波器。

本文基于q?φ之間三次多項式關系，提出了一種新型的三階磁控憶阻器模型。與文獻[9-10,14-15]中使用的三階磁控憶阻器模型不同，本文描述q?φ關系的三次多項式中二次項φ2的系數不為0，模型更具有一般性。同時基于新型三階磁控憶阻器模型設計了一階低、高通濾波器。仿真與實際電路分析結果表明：本文設計的新型三階磁控憶阻器模型具備憶阻器的3個基本特征[16]，即憶阻器兩端電壓與流經的電流呈"8"字形滯回曲線，隨著頻率的升高，滯回曲線所包圍的面積減小，當頻率趨近于無窮時，滯回曲線退化成單值函數。

1 一種新型三階磁控憶阻器的建模

如前所述，磁控憶阻器中電荷q是磁通量 φ的單值函數，本文將函數q(φ)進行泰勒級數展開，其表達式為：

式中，an為φn的系數。為了簡化問題，本文只將該多項式展開到三階，有：

式中，α、β和γ 分別為各次項的系數，其值均為常數。與文獻[9-10,14-15]使用的三階磁控憶阻器模型相比，本文提出的磁控憶阻器模型在描述q?φ關系時多了 βφ2分量，使之更具有一般性。當β=0時，此時憶阻器模型與文獻[9-10,14-15]提出的憶阻器模型一致。

結合W(φ)=dq(φ)/d(φ)，可以得出相應的憶導W(φ)為：

新型三階磁控憶阻器與無 φ的二次分量的三階磁控憶阻器的q?φ曲線和W?φ曲線如圖1所示，其中α= 1 S，β =1 S/Wb，γ=1 S/Wb2。

圖1 q-φ與W-φ曲線

由電壓v、磁通量φ 和時間t三者之間的關系式v(t)=dφ(t)/dt以及電壓v、電流i以及電導W三者之間的關系式i(t)=W(φ)v(t)可以得出：

式中，φ0為磁通量的初始量?？梢钥闯?，磁控憶阻器的輸出不僅跟此刻的輸入有關，還與此前的輸入有關，體現了憶阻器的“記憶”特性。另外，為了使磁控憶阻器的伏安特性曲線始終在第一、三象限內[11,16]，即憶導值始終大于0，則要求α、β和 γ三者之間的關系為：

為了檢驗該模型是否正確，本文設置一個電壓源輸出的電壓信號為：

由式(4)與式(6)可得電流i(t)的表達式：

現給定輸入電壓源，選取幅值A、頻率ω，以及參數α、β和γ的值如表1所示。根據式(7)在MATLAB軟件中仿真可得該三階磁控憶阻器的二端電壓以及對應的電流波形和伏安特性曲線，如圖2所示。

表1 三階磁控憶阻器模型參數值

從圖2b的三階磁控憶阻器伏安特性曲線可以看出，該滯回曲線在原點相交，位于第一、三象限，且形狀呈斜“8”字形，說明該三階磁控憶阻器模型符合憶阻器的特性。

圖2 三階磁控憶阻器仿真圖

2 三階磁控憶阻器的等效電路

2.1 “浮地”二端口等效電路原理

上一節憶阻器的建模過程中對電壓的各種運算都是相對于零電位而言的，如果直接根據式(4)搭建憶阻器等效電路，那么該等效電路的一端必然會接地。

為了克服憶阻器等效電路一端接地的局限性，使之成為“浮地”二端口，文獻[17-20]提出了多種浮地憶阻器等效電路，然而其中的電路結構較為復雜。為簡化電路，本文將相對于零電位的電壓轉換為二端口之間的“電位差”[14]，從而得到如下所示的三階磁控憶阻器的二端口“浮地”表達式：

式中，v1和v2分別代表憶阻器等效電路兩端的電壓。

2.2 三階磁控憶阻器電路實現

憶阻器等效電路二端口之間的電位差可以利用由運算放大器構成的減法器計算得出。之后便可以將計算得出的電位差進行加法、乘法以及積分運算。具體的電路圖實現如圖3所示。

該憶阻器等效電路由15個電阻、一個電容、5個AD712運算放大器以及3個AD633乘法器構成，整個等效電路由15 V直流電源驅動。由于本文中所提出的新型三階磁控憶阻器模型多了 βφ2分量，因此該等效電路中使用乘法器U6來計算該分量。

運算放大器U1A構成一個電壓跟隨器，它具有高輸入阻抗和低輸出阻抗的特點，輸入電流極少進入運算放大器，起到與前級電路隔離的作用。其輸出電壓v3等于輸入電壓v1。

運算放大器U1B與電阻R1～R4構成一個減法器。由于電阻R1～R4的阻值相等，因此輸出電壓v4與輸入電壓v2、v3之間的關系為：

運算放大器U2A與電阻R5～R7以及電容C1構成一個積分器。由于實際運算放大器并不是理想的，因此電阻R7的作用是為了減小誤差。電阻R6的作用是為了防止積分漂移所造成的積分飽和或截止現象，同時，為了減小積分誤差，電阻R6>>R5。輸出電壓v5與輸入電壓v4之間的關系為：

U4～U6為AD633乘法器，根據其數據手冊知其輸入輸出之間的關系式為：

圖3 三階磁控憶阻器等效電路圖

根據式(11)可以直接計算出電壓v6與電壓v7的表達式：

運算放大器U2B與電阻R13、R14構成一個反相放大器，由于電阻R13=R14，因此輸出電壓v8與輸入電壓v2之間的關系為：

運算放大器U3A與電阻R8～R12構成一個反相加法器。同樣地，電阻R12的作用是為了減小計算誤差。由于電阻R8～R11的阻值均為10 kΩ，因此輸出電壓v9與輸入電壓v6、v7、v8之間的關系為：

最后，根據電阻R15兩端的電壓即可計算出流經電阻R15的電流。正如前面所提及，幾乎沒有電流流入運算放大器U1A，因此流經R15的電流即為流經憶阻器的電流。結合式(8)～式(15)，即可得出電流i(t)的表達式為：

2.3 三階磁控憶阻器電路仿真分析

在Cadence(PSpice)軟件上對上述三階磁控憶阻器的伏安特性進行仿真分析。根據式(5)中α、β和γ 三者之間的關系，并經過一些調優，電阻電容的設置如下：C1=200 nF、R5=10 kΩ、R15=10 kΩ?？梢杂嬎愠靓?0.1 mS、2β=5 mS/Wb、3γ=0.25 S/Wb2。

為了測試三階磁控憶阻器等效電路的伏安特性，使用如圖4所示的測試電路。正弦電源V3的兩端接入憶阻器等效電路的MEM_PLUS端和MEM_MINUS端。為了體現該憶阻器等效電路的浮地特性，電壓源兩端均未接地。同時，在正弦電壓源端標記一個電流探針，用以測量經過憶阻器的電流大小，將橫坐標改為電壓源的幅值便可畫出該憶阻器等效電路的伏安特性曲線。

圖4 三階磁控憶阻器等效電路的測試電路

將正弦電壓源的幅值固定為5 V，分別設置頻率為100、200 Hz、10 kHz，其伏安特性曲線如圖5所示。從圖5中可以看出，該憶阻器模型符合憶阻器的3個特征[16]：當憶阻器兩端施加周期信號時，其伏安特性曲線為滯回曲線，且經過原點；隨著頻率增加，其滯回曲線面積減??；當頻率趨近于無窮時，其滯回曲線退化成為單值函數，憶阻器退化成為線性電阻。

圖5 不同頻率的伏安特性曲線

將電壓源的頻率固定為100 Hz，分別設置振幅為3、5、7 V，其伏安特性曲線如圖6所示。從圖6中可以看出：隨著憶阻器等效電路兩端電壓增加，其滯回曲線所圍成的面積也會隨之增加。

圖6 不同振幅的伏安特性曲線

3 基于新型憶阻器的濾波器

3.1 基于磁控憶阻器的低通濾波器

基于磁控憶阻器(憶導)的WC低通濾波器電路圖如圖7所示。

圖7 基于磁控憶阻器的低通濾波器

根據基爾霍夫定律，流經憶導器W與電容C的電流相等，聯立式(8)可以列出：

由于基于磁控憶阻器的低通濾波器為時變系統[14]，不能使用一般的系統傳輸函數進行分析，因此從定性的角度對該系統進行分析。根據式(7)可以得出，三階磁控憶阻器在低頻信號的驅動下，會產生明顯的二次和三次諧波分量。由電容的傳輸函數HC(jω)=1/jωC可知，頻率越高，電容C的阻抗越小。因此，WC低通濾波器相較于RC低通濾波器，在其通帶內(即低頻信號)的輸出增益較低。

基于圖3所示的三階磁控憶阻器(憶導)W，搭建出低通WC濾波器，并在PSpice軟件中進行仿真，與此同時，搭建出一個RC低通濾波器進行比較，如圖8所示。

圖8 WC與RC低通濾波器電路圖

圖9為WC低通濾波器與RC低通濾波器的仿真結果。從圖中可以看出，WC低通濾波器輸出增益較RC低通濾波器低，且相位變化也與RC低通濾波器有所不同。表明了磁控憶阻器由于對低頻信號產生高次諧波分量，其具有非線性特性。

圖9 WC與RC低通濾波器頻率響應圖

3.2 基于磁控憶阻器的高通濾波器

基于磁控憶阻器(憶導)的9高通濾波器電路圖如圖10所示。

圖10 基于磁控憶阻器的高通濾波器

同樣根據基爾霍夫定律，流經憶導器W與電容C的電流相等，聯立式(8)可以列出：

根據憶阻器的基本特征：隨著頻率增加，其滯回曲線面積減??；當頻率趨近于無窮時，其滯回曲線退化成為單值函數，憶阻器退化成為線性電阻。因此WC高通濾波器與RC高通濾波器在高頻帶輸出增益幾乎一致。

基于圖3所示的三階磁控憶阻器(憶導)W，搭建WC高通濾波器，并在PSpice軟件中進行仿真，同時，搭建出一個RC高通濾波器進行比較，如圖11所示。

圖11 WC與RC高通濾波器

圖12為WC高通濾波器與RC高通濾波器的仿真結果。從圖中可以看出，WC高通濾波器輸出增益與RC高通濾波器輸出增益幾乎無差異，且兩者的輸出相位也類似。這表明憶阻器在高頻信號的激勵下，退化成為線性電阻。

圖12 WC與RC高通濾波器頻率響應圖

4 實際電路分析

三階磁控憶阻器等效電路的實際電路如圖13所示。該實際電路采用AD712JN雙通道運算放大器和AD633JN乘法器。另外，為了穩定運算放大器電壓源的電壓，在正負電壓源的輸入端并聯一個電容以消除干擾。

圖13 三階磁控憶阻器等效電路的實際電路

4.1 三階磁控憶阻器等效電路伏安特性分析

由于流經憶阻器等效電路的電流與電阻R15兩端的電壓成正比，因此可以使用減法器計算R15兩端的電壓從而間接得到流經憶阻器等效電路的電流波形。

將正弦輸入信號的電壓振幅固定為5 V，頻率分別取200、500 Hz以及10 kHz，其三階磁控憶阻器兩端的電壓和電流波形以及伏安特性曲線分別如圖14a～圖14c所示。其中時域波形中黃色代表電壓波形，藍色代表電流波形。

圖14 三階磁控憶阻器的時域波形圖及伏安特性曲線

從時域波形中可以看出：在低頻信號的激勵下，流經憶阻器的電流中存在一定的諧波分量；隨著激勵信號頻率的增加，其電流波形逐漸表現為標準正弦信號，呈線性特性，與理論分析和仿真結果表現一致。

從伏安特性曲線中可以看出：憶阻器的伏安特性曲線在第一、三象限呈斜“8”字形滯回曲線，且在原點自相交；隨著頻率的增加，滯回曲線圍成的區域的面積逐漸減??；當頻率趨近于無窮時，滯回曲線退化成為一條直線。

4.2 基于憶阻器的低通濾波器

將WC低通濾波器兩端的正弦輸入信號的電壓振幅固定為5 V，頻率分別為100、500、1 000 Hz，其輸入與輸出電壓的時域波形如圖15所示。其中黃色代表輸入信號電壓波形，藍色代表輸出信號電壓波形。從圖中可以看出，隨著輸入信號頻率的增加，其輸出信號的振幅逐漸減小，且相位偏移量也逐漸增加。這與仿真結果表現一致。

圖15 基于憶阻器的低通濾波器輸入與輸出波形

4.3 基于憶阻器的高通濾波器

將WC高通濾波器兩端的正弦輸入信號的電壓振幅固定為5 V，頻率分別為100、500、1 000 Hz，其輸入與輸出電壓的時域波形如圖16所示。其中黃色代表輸入信號電壓波形，藍色代表輸出信號電壓波形。從圖中可以看出，隨著輸入信號頻率的增加，其輸出信號的振幅逐漸增加，且相位偏移量逐漸趨近于0。這與仿真結果表現一致。

圖16 基于憶阻器的高通濾波器輸入與輸出波形

5 結束語

本文提出一個新的三次非線性多項式來描述電荷與磁通量之間的關系，再對憶阻器進行建模，并驗證了該模型的可行性。隨后基于該模型使用模擬運算電路搭建出一個三階磁控憶阻器等效電路。理論分析、基于PSpice的仿真以及實際電路結果都表明：該三階磁控憶阻器符合憶阻器的3個基本特征，在低頻信號激勵下呈非線性特征，在高頻信號激勵下呈線性特征。之后使用該三階磁控憶阻器搭建出了低通與高通濾波器，并與基于電阻的RC濾波器進行了比較。實驗與仿真結果表明：由于憶阻器在低頻信號下的非線性特性，基于新型三階磁控憶阻器的低通濾波器RC低通濾波器輸出增益低；由于憶阻器在高頻信號下的線性特性，基于新型三階磁控憶阻器的高通濾波器較RC高通濾波器輸出增益基本一致。