整體立銑刀圓弧刃前刀面的磨削軌跡算法

張瀟然，羅 斌，陳思遠，程雪峰

(西南交通大學機械工程學院，四川 成都 610031)

1 引言

圓弧頭立銑刀是目前常見的高速切削刀具，具有制造成本低、材料切除率大等特點。在加工工件圓弧角時，圓弧頭立銑刀比球頭立銑刀剛性更大，加工效率更高；在高硬材料加工、高速大進給加工、深雕三維加工時，比直角頭立銑刀的抗缺損性能更高[1]。

立銑刀的工作部分主要包括周齒和端齒兩大部分，而圓弧刃則是端齒的重要組成部分。設計圓弧刃部分首先需要建立其刀刃曲線的數學建模，再針對圓弧后刀面或圓弧前刀面進行磨削工藝設定。目前，關于立銑刀端齒部分磨削技術的研究較多[2-10]，但是針對端齒前刀面的磨削過渡問題，國內外均鮮有研究，且沒有較通用的圓弧刃前刀面磨削設計方式，這使得國內在制造圓弧頭立銑刀時，對圓弧刃前刀面常常憑經驗進行磨削加工。雖然圓弧刃前刀面面積很小，亦會影響刀具制造及生產加工的穩定性和精確性，在高速精密加工中起到不可忽視的作用。

基于立銑刀的幾何結構特征，以切深磨削點軌跡曲線為約束，控制了圓弧刃前刀面寬度和角度，對圓弧立銑刀的圓弧前刀面建立了一套通用的磨削模型，計算了砂輪在加工中的姿態和運動軌跡。彌補了該磨削工藝的理論不足，為實際磨削加工提供理論參考，為進一步完善立銑刀設計仿真系統提供依據。

2 圓弧刃前刀面工藝定義

在工藝中，采用錐形砂輪進行磨削。建立工件坐標系OXYZ，如圖1所示。

圖1 圓弧刃前刀面示意圖Fig.1 Schematic Diagram of the Rake Face of the Arc

在確定刀刃曲線的情況下，通過寬度及前角對前刀面進行約束。在本算法中，給定任意圓弧刃曲線的刃線公式，均能計算相應的砂輪磨削軌跡姿態，因此將圓弧刃刃線視為已知曲線。磨削過程中砂輪與刀體之間呈空間位置關系，難以直接確定砂輪姿態，本算法將磨削過程投影至圓弧刃瞬時前刀面進行計算，并通過切深磨削點軌跡曲線約束磨削最低點。

2.1 瞬時前刀面定義

圓弧刃瞬時前刀面是圓弧刃線所在的圓弧回轉面被某一時刻刃線處磨削點P和刀具中心軸線所構成的平面所截而形成的二維平面，并建立圓弧坐標系Or-XrYrZr，如圖2所示。設φ為磨削點P處的回轉角，即在XOY平面內，磨削點與X軸的夾角。瞬時前刀面隨著刃線處磨削點的移動而變化。

圖2 瞬時前刀面示意圖Fig.2 Schematic Diagram of the Instantaneous Rake Face

2.2 切深曲線模型

切深曲線是指砂輪磨削過程中在圓弧坐標系Or-XrYrZr下的徑向最低切深位置的磨削點軌跡曲線，用于約束刀面寬度。采用如圖2所示的方式，在瞬時前刀面上對切深曲線進行定義，分為直線和圓弧兩部分。定義緯度角θ為在XrOrZr平面內，磨削點與Xr軸的夾角。

(1)切深曲線直線段為砂輪的切入引導線，其末點與圓弧部分起點C0處重合并相切，即直線部分與Zr軸方向夾角為θ0，亦等于周齒錐度角k。在坐標系Or-XrYrZr下，該段切深磨削點軌跡曲線方程為：

(2)切深曲線圓弧段采用平面圓弧，圓心為圓弧坐標系原點，半徑為r0，起點C0和末點C1的緯度角與圓弧刃線的起止緯度角相等，分別設為θ0和θ1。在坐標系Or-XrYrZr下，該段切深曲線方程為：

3 磨削軌跡計算模型

圖3 磨削步驟Fig.3 Grinding Step

為保證圓弧刃前刀面與周齒前刀面光滑連接，由臨界緯度角θt將磨削過程分為切入和圓弧兩部分，最低磨削點分別由切深曲線的兩段進行約束。刃線處磨削點均用P表示，不同位置下標不同，如圖3所示。設砂輪半徑為Rg，圓弧刃半徑為r。

3.1 臨界緯度角

如圖3所示，當砂輪大端圓圓心位于Ogt時即為磨削過程中的臨界位置，此時砂輪與切深曲線相切于點C0，臨界刃線磨削點Pt的緯度角即為臨界緯度角θt。在該位置，圓弧坐標系Or-XrYrZr下的砂輪圓心點Ogt坐標值為：

設臨界位置的刃線磨削點Pt坐標值為：

點Ogt與點Pt之間距離為Rg，又據式(3)、式(4)可得：

3.2 切入部分軌跡

3.2.1 圓弧坐標系下的砂輪圓心坐標

該部分最低磨削點沿切深曲線直線段運動，刃線磨削點的緯度角范圍為θ0≤θ≤θt，如圖3(a)所示。

在圓弧坐標系Or-XrYrZr下，任一緯度角θ對應刃線磨削點P坐標值為：

砂輪大端圓與引導切入線相切；砂輪大端圓心Og與引導切入線距離為Rg；點Og與點P之間距離為Rg?？山獾脠A弧坐標系Or-XrYrZr下的砂輪圓心Og坐標為：

3.2.2 圓弧坐標系下的砂輪軸矢

由圖3可知，在該坐標系下的砂輪軸矢方向沿Yr軸正方向，即軸矢量Fg的參數值為［0 1 0］。

3.2.3 前角約束后的砂輪坐標軸矢

為準確約束前刀面前角，在刃線磨削點P處建立法截面坐標系On-XnYnZn，把砂輪的坐標和軸矢轉換至法截面坐標系下，并將砂輪在P點繞Zn軸旋轉前刀面前角μ，如圖4所示。

圖4 前角約束示意圖Fig.4 Schematic Diagram of the Front Angle Constraint

從圓弧坐標系Or-XrYrZr轉換至法截面坐標系On-XnYnZn的變換關系為：

式中：Mn、Tn—旋轉和平移矩陣。

然后在坐標系On-XnYnZn下繞Zn軸旋轉角度μ，得到經過前角變換后的砂輪大端圓圓心點坐標O’g及軸矢量F’g，變換關系為：

式中：Mzn—繞Zn軸的旋轉矩陣。

3.3 圓弧部分軌跡姿態

該部分最低磨削點沿切深曲線圓弧段運動，刃線磨削點的緯度角范圍為θt≤θ≤θ1，如圖3(b)所示。

砂輪大端圓心點Og與磨削點P之間距離為Rg；點Og與切深曲線圓弧圓心點Or之間的距離為Rg+r0；根據約束條件即可解得圓弧坐標系Or-XrYrZr中的砂輪圓心點Og坐標。

砂輪圓心坐標的計算方式、砂輪的軸矢及前角約束方式與上一小節一致，此處不再贅述。

4 轉換至工件坐標系

上述的磨削軌跡是在法截面坐標系下得出的結果。為將計算結果用于三維仿真和實際加工，還需把砂輪大端圓心點坐標和砂輪軸矢量轉換至工件坐標系下，計算步驟如下：

(1)將經過上述計算得出的砂輪大端圓心點坐標O’g及軸矢量值F’g繞Xn軸旋轉圓弧刃線螺旋角β；

(2)將第(1)步中計算得到的砂輪大端圓心點及軸矢量值繞Yn軸旋轉緯度角θ；

(3)將第(2)步中計算得到的砂輪大端圓心點及軸矢量值繞Zn軸旋轉回轉角φ；

(4)將端齒法截面坐標原點位移至工件坐標系原點處，位移量是該處緯度角θ對應的刃線磨削點P在工件坐標系下的坐標值(xP，yP，zP)，而砂輪軸矢量值保持不變。

綜上，最終的砂輪運動軌跡與姿態為：

5 算法驗證

基于上述磨削算法，在VC++環境開發了一套算法模塊，輸入表1所示的相關參數以后，即可得到刀位軌跡，部分運算結果，如表2所示。將刀位軌跡輸入VERICUT仿真模擬，并使用五軸數控磨床進行實際加工驗證。在VERICUT中的仿真結果，如圖5所示。實際加工后得到的刀具，如圖6所示。

表1 圓弧刃前刀面工藝參數Tab.1 Arc Edge Rake Face Process Parameters

表2 部分刀位軌跡運算結果Tab.2 Partial Tool Path Calculation Result

圖5 磨削仿真效果圖Fig.5 Grinding Simulation Rendering

圖6 實際加工效果圖Fig.6 Actual Processing Rendering

使用刀具測量儀對實際加工所得刀具相關參數進行測量，如表3所示。根據仿真及加工結果，可以看出圓弧刃前刀面的加工較為理想，接近設計參數和軌跡，證明本算法具有一定準確性，可用于實際加工制造。

表3 圓弧刃前刀面測量數據Tab.3 Arc Edge Rake Face Measurement Data

6 結語

針對整體立銑刀的圓弧刃前刀面磨削方法進行了深入研究，提出一套能滿足光滑過渡、且能同時約束前角和寬度的圓弧前刀面磨削算法。根據仿真和加工結果表明該方法可以有效地用于刀具加工，證明了該磨削方法的準確性和可行性，為刀具的實際生產加工提供了理論參考。