間歇控制實現混沌同步及圖像保密通信

邱文蘭,鄭 斌,2,蔡建平

（1.閩南師范大學數學與統計學院,福建漳州363000;2.上海大學力學與工程科學學院,上海200072）

隨著網絡技術和計算機技術的飛速發展,數字圖像作為網絡傳播的載體,其安全性越來越重要.然而,傳統的加密算法由于數據量大、冗余、二維空間分布和能量分布不均勻等原因,不適合于數字圖像加密.超混沌系統對初值敏感,具有復雜的非周期特性,密鑰空間大,是一種自然的信息隱藏載體.與混沌系統相比,它更具有不可預測性,因此,它在圖像保密通信中的潛在應用引起了學者們的廣泛關注[1-3].而混沌同步的實現,更是保證了混沌保密通信的實時性,具有很高的實用價值,因此,將超混沌系統的特性和混沌同步應用到圖像保密通信中,將能夠大大提高圖像保密通信系統的安全性.

1990年Pecora等[4]首次從理論和電路實現混沌同步后,研究人員提出了多種混沌同步控制方法,如線性反饋控制、脈沖控制、自適應控制、間歇控制、正弦誤差反饋控制等[5-9].間歇控制作為一種不連續的控制方法,通過在某些特定的時間段,在系統中加入一定強度的控制量來改變系統的狀態,以實現混沌系統的同步.相對連續控制而言,不僅能夠減少信號被跟蹤和復制的風險,使得加密信息即使被竊取后也會因密鑰的“支離破碎”而難以破譯,而且它的抗噪聲和抗攻擊能力更好,所需的數據傳輸量更少、安全性更高,因此,更加適用于混沌保密通信[10-12].

目前,基于混沌復雜性和混沌同步,已有學者建立了多種合理有效的混沌保密通信方案,為今后混沌保密通信方案在電路和計算機網絡中的實現提供了一定的理論依據[13-17].但據我們所知,基于不連續同步控制方法的圖像保密通信方案的研究很少,大部分方案是以連續同步控制方法為基礎或者只停留在簡單信號的加密而不是圖像加密[15-17].受這些文獻的啟發,本文提出了一種基于超混沌系統的同步和間歇控制方法的新型彩色圖像加密方案.與上述文獻相比,本文通過間歇控制實現超混沌系統的同步的條件更簡單,并將該同步方案應用到了圖像保密通信中,利用間歇控制下不連續的信號加載來進行信息傳輸,使得無密鑰者無法截取完整的信息,以此來提高圖像加密的安全性.最后,數值仿真結果表明,該方案具有較強的密鑰敏感性和良好的抗統計分析能力.

1 同步框架

考慮如下的超混沌系統[18]:

其中x1,x2,x3和x4是狀態變量,當a=10,b=28,c=和f2=1時,該系統為超混沌系統.

令x(t)=(x1(t),x2(t),x3(t),x4(t))T∈R4,將式(1)改寫如下:

其中

將式(2)作為驅動系統.構造如下的響應系統:

其中y(t)=(y1(t),y2(t),y3(t),y4(t))T∈R4是響應系統的狀態變量.非線性函數f(?)滿足

其中

設計如下的間歇控制器u(t):

其中n= 0,1,2,3,…,K=diag{k1,k2,k3,k4},ki＞0,i= 1,2,3,4 是耦合系數,T＞0 是控制周期, 0 ＜h＜1 是控制率.令e(t)=x(t)-y(t)表示誤差變量,得到同步誤差系統如下:

定義1若式(2)和式(3)的狀態變量誤差滿足

定理1假設式(2)和式(3)的狀態變量xi和yi滿足 ||xi＜mi,||xi-yi＜d,i= 1,2,3,4,其中mi(i= 1,2,3,4)和d均為正常數. 對于矩陣B(t)=A+AT+M(t)+MT(t), 存在常數λ0和λ1, 使得對任意的t≥0, 有λmax(B(t))≤λ0,λmax(B(t)- 2K)≤λ1, 其中λmax( ?)表示矩陣的最大特征值. 如果控制率h和耦合系數ki(i= 1,2,3,4)滿足以下條件：

那么,式(2)和式(3)可以達到完全同步.

證明選取Lyapunov函數V(e(t))=eT(t)e(t),則式(6)對時間的狄尼導數為：

令B(t)=A+AT+M(t)+MT(t)=(bij(t))4×4,bij(t)=bji(t),i= 1,2,3,4,則

其中B(t)的所有元素bij(t)和特征值都是有界的,設bij(t)的界為bij,即||bij(t) ＜bij.對于任意的t≥0,存在一個常數λ0,使得λmax(B(t))≤λ0,其中λmax(?)表示矩陣的最大特征值.假設存在一個常數λ1,使得對任意的t≥0,有λmax(B(t)- 2K)≤λ1.則由式(8)可得:

根據圓盤定理[19]及文獻[9]中的討論可得,只要選擇合適的控制率h使得hλ1+(1 -h)λ0＜0 和控制增益ki使得則可使得式(2)和式(3)能夠實現完全同步.根據混沌吸引子的有界性,假設超混沌系統的狀態變量 ||xi＜mi, ||yi＜mi,i= 1,2,3,4,從而有

至此,完成了定理1的證明.

2 圖像保密通信方案

通過間歇控制實現超混沌系統同步的基礎上,將該同步方案應用于圖像保密通信.與現有的基于混沌的圖像保密通信方案類似,圖像信號的初始處理需要依賴于超混沌系統的初值敏感性和密鑰空間大的特性.即使圖像信號數據量大,且具有二維空間分布和能量分布不均勻的特點,由超混沌系統產生的超混沌序列也很容易對其進行掩蔽,產生新的加密信號.然而,在傳輸過程中,一旦加密后的信號被完全截獲,解密者就可以利用各種攻擊手段獲取原始圖像信號.因此,如何傳輸加密后的信號,使其他人無法從中獲得完整而有用的信息是本方案的重點.

本方案中,在間歇控制下加密信號只在無控制時間內傳輸.由于圖像信號數據量大,加密信號不能在一個控制周期內完成傳輸,使得加密信號的傳輸是不連續的.因此,在不知道密鑰的情況下,截獲的有用信息將是“支離破碎”的,難以解密.

2.1 算法設計原理

該算法要求驅動-響應系統首先實現完全同步,因此以下數據均是在系統實現同步后生成的.

在發送端,我們首先對超混沌序列進行了改進以提高保密通信的安全性.當nT≤t≤nT+hT時,式(2)的部分信號xt(t)作為同步信號傳輸到有控制窗口.當nT+hT≤t≤(n+ 1)T時,式(2)的另一部分信號xc(t)與圖像信號m(t)混合得到加密信號c(t),并傳輸到無控制窗口.無控制窗口和有控制窗口的信號通過公共信道傳輸到接收端.

在接收端,當nT≤t≤nT+hT時,利用從發送端的有控制窗口傳輸過來的同步信號xt(t)實現驅動-響應系統的同步.當nT+hT≤t≤(n+ 1)T時,利用式(3)中改造后的部分信號yc(t)對從無控制窗口傳過來的加密信號c(t)進行信號分離,得到原始圖像信號m?(t).其保密通信方案和時間幀結構的框圖如圖1和圖2所示.

圖1 混沌圖像保密通信方案Fig.1 Chaotic image secure communication scheme

圖2 時間幀結構Fig.2 Time frame structure

2.2 算法步驟設計

2.2.1 加密

步驟1：為了方便后續的加密,我們先將彩色圖像分成三個M×N的矩陣R,G,B.

步驟2：利用四階龍格庫塔法,我們可以得到由驅動系統產生的四個偽隨機序列{Xi} ,i= 1,2,3,4.

步驟3：為了提高序列{Xi} 的隨機性,,對它進行以下處理,得到四個新的序列{Xi*} .

其中max{Xi} 和min{Xi} 分別表示序列{Xi} 的最大值和最小值,abs(Qi)表示Qi的絕對值,floor(abs(Qi))表示取小于或等于abs(Qi)的最大整數.

步驟4：由于系統的同步需要時間,而加密和解密的實現需要在系統達到同步的前提下進行.因此,我們不能直接利用{Xi*} 來加密圖像信號.假設同步時間為tsyn秒,則只取時間tsyn秒后產生的超混沌序列來進行后續的混沌同步和圖像加密,我們將tsyn秒后產生的信號記為{Xisyn} ,i= 1,2,3,4.若步長取0.001,則表示1秒就有1 000個{Xi} 中的數據產生.因此,由下面的公式可以得到{Xisyn} .

步驟5：選取合適的控制率h,然后我們只取{Xisyn} 中的前三個序列,即X1syn,X2syn,X3syn.在每1 秒中,每個序列的前1 000×h個數據作為同步數據xit(t),i= 1,2,3,后1 000×(1 -h)個數據作為與圖像信息混合的遮掩信號xic(t),i= 1,2,3,具體操作如下：

假設系統的運行時間為τ秒,τ= 1,2,3,…,k,那么第k秒的xikt和xikc如下：

其中Xisyn(n:m)表示選取序列{Xisyn} 中第n到第m個數據.通過式(13)和式(14)可以得到xit和xic.

步驟6：為方便后續的加密,取xic,i= 1,2,3中每個序列的前M×N個數據,分別用矩陣P,C,E來表示.

步驟7：在間歇控制下,xit(t)在時間nT≤t≤nT+hT內傳輸到有控制窗口并通過公共信道傳輸到接收端的有控制窗口, 以此來實現驅動-響應系統的同步. 當nT+hT≤t≤(n+ 1)T, 圖像信號R,G,B則與P,C,E混合得到加密信號R1,G1,B1,并通過公共信道傳輸到接收端的無控制窗口.

其中rem(a,b)表示取模運算.

2.2.2 解密

步驟1：在接收端，利用間歇控制實現驅動-響應系統的同步.

步驟2：同樣選擇同步后的數據，并按照加密方案中的步驟3-步驟6對所選數據進行同樣的處理.

步驟3：對處理后的數據作如加密方案中的步驟7的逆運算,得到原始圖像信號.

2.3 數值仿真

選擇512×512 的Lena 圖作為要加密的圖像,若式(2)的初值取X0=[1.2,0.3,-1,2.4 ],式(3)的初值取Y0=[-1.6,-1.4,1.2,0.6 ],控制率取0.6,步長取0.001,可以得到式(2)和式(3)的同步時間約為tsyn=2.8 s.利用MATLAΒ對上述保密通信方案進行數值仿真,得到圖像加密解密的模擬結果如圖3所示.結果表明,經過加密并解密后的圖像沒有失真.

圖3 圖像加密解密的模擬結果Fig.3 Simulation results of image encryption and decryption

3 安全性分析

3.1 密鑰敏感性分析

本文將式(2)的初始值X0=[1.2,0.3,-1,2.4 ]作為圖像保密通信方案的密鑰. 若將密鑰改為：[1.200 000 000 1,0.3,-1,2.4 ],利用該密鑰對加密圖像進行解密,得到對應的解密后的圖像如圖4所示.

圖4 利用改變后的密鑰解密的圖像Fig.4 Image of decryption using the changed key

對密鑰的其余三個位置作類似的細微改變,結果均表明,當驅動系統的初始值有細微改變時,都無法將加密圖像還原為原始圖像,說明密鑰具有高度敏感性.

3.2 NIST檢測

在混沌圖像保密通信方案中,混沌系統產生的偽隨機序列的隨機性顯得尤為重要.NIST提供了對隨機性的必要測試,包括頻率、塊頻率等16 個主要項目.隨機性通常用概率方法進行檢驗,結果由檢驗P 值決定.如果P 值大于顯著性水平0.01,則表明序列是隨機的.我們將2.2.1 小節中所用到的序列1,2,3 轉化為二進制,然后對其進行NIST 檢測,結果如表1 所示.由表1 我們可以看到,該序列的P 值均大于0.01,通過了NIST的所有測試.

4 結論

本文研究了一種新的基于超混沌系統的超混沌序列和間歇控制同步的彩色圖像加密方案.本方案的優點在于通過超混沌系統良好的混沌特性和間歇控制下加密信號傳輸的不連續性來使得竊密者無法截取完整的加密信息,一定程度上提高了圖像加密的安全性.此外,用Lena 圖像作為數值仿真的一個例子,利用該方案實現了對圖像的加密和解密,且解密得到的圖像沒有失真,說明該方案具有可行性.最后,利用密鑰敏感性分析和NIST檢測進行安全性分析,結果表明該方案具有良好的加密效果和較高的安全性.

表1 NIST檢測結果Tab.1 The results of NIST test