非對徑安裝雙讀數頭圓光柵偏心測角誤差修正

王笑一，王永軍，雷賢卿*，鄧四二，盧繼敏

（1. 河南科技大學河南省機械設計及傳動系統重點實驗室，河南洛陽471003；2. 貴陽新天光電科技有限公司，貴州貴陽550018）

1 引 言

實時精確地獲取儀器、機床、機器人等設備的旋轉運動角位移信息是實現精密測量和加工的關鍵之一。圓光柵是最常用的高精度角位移傳感器，被廣泛應用于多種精密儀器設備中［1-7］。在測量精度要求較高時，由圓光柵安裝偏心引起的測角誤差是不能忽略的，即使是很小的安裝誤差都會造成很大影響［8］。因此，對圓光柵安裝偏心引起的測角誤差進行修正是非常有必要的。

目前，解決由于圓光柵安裝偏心引起的測角誤差的方法主要有兩種：一是用更高精度的儀器檢測出測角誤差并通過軟件方法進行修正補償，二是采用多讀數頭的方法修正測角誤差等［9-10］。

折文集等［11］使用多面體及自準直儀作為基準對圓光柵測角誤差進行標定，并在測角誤差標定的基礎上建立測角誤差補償模型，對測角誤差進行補償。張文穎等［12］提出了一種自準直儀的在位校準方法，基于圓周封閉原則和傅里葉級數的性質，建立了測量值與理想值之間的函數關系并搭建校準測角系統。王福全等［13］利用激光干涉儀與校準回轉裝置對轉臺進行標定，提出了一種基于稀疏分解的角分度誤差補償方法，對轉臺的角分度誤差進行補償。以上方法主要是采用更高精度的儀器作為基準檢測出測角誤差后并通過軟件方法進行修正補償，能夠有效的減小測角誤差；但是當測角精度要求較高時，利用此方法對測角誤差進行修正補償成本會大大的提高，且補償效果也不理想。

艾晨光等［14］研究了圓光柵安裝偏心引起的測角誤差，并采用雙讀數頭對測角誤差進行修正。郭陽寬等［15］研究了運動偏心對圓光柵測量影響的分析方法，推導了由于偏心引起的測角誤差補償公式。唐松等［16］分析了安裝偏心對圓光柵測角精度的影響，提出了一種兩個讀數頭對徑安裝讀數頭的補償方法。王文等［17］分析了圓光柵分度盤的安裝偏心對角度測量的影響，提出了一種基于模擬退火算法角度傳感器偏心參數辨識方法并將其用于測量關節圓光柵12 個偏心參數的辨識和修正。王園等［18］建立了圓光柵偏心誤差模型，提出了一種雙讀數頭平均誤差補償方法，對讀數頭誤差進行修正。以上方法主要是采用多讀數頭的方法對圓光柵安裝偏心引起的測角誤差進行修正補償，能夠有效對測角誤差進行補償修正，但是對讀數頭安裝精度要求較高，當安裝角誤差＞1°時，無法有效消除安裝偏心對測角精度的不利影響。

本文提出了一種新的誤差補償方法，可使用非精確對徑安裝的雙讀數頭對圓光柵的偏心誤差進行修正，當讀數頭安裝誤差＞1°時（試驗中最大為9°），相對于傳統的均值法，使用本文方法能夠大幅提高測角精度。本文方法一方面可以減小對徑安裝誤差對測量結果的不利影響；另一方面突破了讀數頭必須對徑安裝的限制，提高了儀器設備在結構設計時的自由度。

2 誤差分析與均值法數學模型

2.1 圓光柵測角誤差分析

圓光柵測角誤差主要可分為系統誤差和隨機誤差兩部分。其中，圓光柵測角裝置的系統誤差來源主要包括圓光柵盤的刻劃誤差、圓光柵盤的安裝偏心、圓光柵盤端面和回轉軸線的垂直度、軸系軸承的徑向跳動中的系統誤差成分等。一般來說，誤差補償主要是針對其中的系統誤差成分進行的。焦楊等研究過類似的數學模型，其中沒有考慮隨機誤差的影響［19］。但是在精密測量條件下，隨機誤差和系統誤差的幅值經常是接近的；在系統誤差得到正確的修正之后，隨機誤差的幅值有可能超過系統誤差的幅值。為使仿真試驗的結果更加接近于實測試驗，在圓光柵測角誤差模型中加入了隨機誤差的成分。綜合系統誤差和隨機誤差成分，在多讀數頭圓光柵測角系統中，第i個讀數頭的測角誤差如式（1）所示［19-25］：

其中：θ為無誤差的理論旋轉角度，θi為讀數頭i的讀數值，τi為讀數頭i所在的安裝位置，即讀數頭i的安裝位置與起始位置的夾角（在雙讀數頭系統中，無安裝誤差時，讀數頭1 對應τ1=0°，讀數頭2 對應τ2=180°）；κi(θ)cosτi為圓光柵安裝偏心引起的讀數頭i 的測角誤差；ε(θ)為圓光柵的刻劃誤差，不同位置的讀數頭測得的刻劃誤差存在一個相位偏移；R為光柵盤的半徑，x(θ)，y(θ)分別是回轉軸系沿X，Y方向的徑向運動誤差，[x(θ)sinτi-y(θ)cosτi]/R表示徑向運動誤差對讀數頭測角的影響；ψ(θ)為讀數頭內部的不一致性引起的測角誤差，該項誤差頻率較高、幅值較小，但規律不明確；δ(θ)為由于其他不確定因素引起的隨機誤差。

測角誤差是衡量圓光柵測量精度的標準，在實際應用中刻劃誤差與隨機誤差雖無法避免，但是相較于圓光柵安裝偏心引起的測角誤差其幅值較小，通常情況下圓光柵安裝偏心及軸系徑向運動是引起單讀數頭圓光柵測角誤差的關鍵因素。讀數頭不一致性ψ(θ)屬于高頻誤差，在進行整周大范圍角度測量或者測角間隔為信號周期整數倍時通?？梢院雎裕?9］。

2.2 均值法數學模型

對于雙讀數頭圓光柵測角系統，采用均值法是常規的誤差修正方法。均值法誤差修正的理論模型為：

均值法計算簡單，但對兩讀數頭的安裝精度要求較高。當讀數頭沒有安裝誤差時，式中τ1=0°，τ2=180°。此時，公式（2）可變形為：

式（3）中，由于圓光柵安裝偏心及軸系徑向跳動引起的測角誤差都被消除掉了。但是，當讀數頭存在安裝誤差的時候，均值法是不能完全消除這兩項誤差的影響的。

通過以上對圓光柵測角系統中的誤差來源和影響機理的分析可知，雙讀數頭均值法應用在有較大的讀數頭安裝誤差的環境下存在一定的局限性。為此，提出了基于非對徑安裝雙讀數頭的圓光柵測角誤差修正方法，進行了數字仿真對比試驗，并搭建試驗臺開展了實測試驗。

3 新方法數學模型

如圖1 所示，O1為軸系回轉中心，O為圓光柵盤的幾何中心，C，D為兩讀數頭的安裝位置。OO1為圓光柵盤的偏心距，用e表示；∠O1OD為圓光柵盤的偏心角，用ω表示?！螼1OC用η表示。為方便表達，圖1 中假設軸和圓光柵盤固定，而讀數頭繞回轉中心O1逆時針旋轉，從C，D點分別旋轉θ角到達A，B點。θ1，θ2為兩個讀數頭在這個旋轉過程中測得的旋轉角度。兩讀數頭的安裝角∠CO1D 用φ表示。當雙讀數頭是嚴格的對徑安裝，即沒有讀數頭安裝位置誤差時，φ=180°。

由三角形外角等于不相鄰兩內角和，可得讀數頭1 的測角誤差：

圖1 非對徑安裝雙讀數頭圓光柵測角誤差修正原理Fig. 1 Correction principle of angle measurement error of encoder with non diametrically mounted dual readhead

同理可得讀數頭2 的測角誤差：

從圖1 可知：

令m=sinα+cos(ω+γ+φ)·sin(ω-θ1)，n=sin(ω+γ+φ)·sin(ω-θ1)則：根據輔助角公式可得：

由式（4），式（5），式（9）可得兩讀數頭測量值與偏心參數之間的關系式：

式（10）中只包含兩個讀數頭的讀數和圓光柵的安裝偏心參數。其中兩個讀數頭讀數θ1，θ2可由數據采集系統進行采集。將軸系旋轉一周即可獲得一系列的θ1，θ2，根據式（10）使用最小二乘法即可擬合出圓光柵安裝偏心參數（最小二乘法為常用算法，在此不再贅述），從而實現圓光柵安裝偏心參數的標定。

由式（4），式（5），式（9）可得測角誤差補償模型：

4 試 驗

為了對比新方法和均值法在基于非對徑安裝雙讀數頭的圓光柵偏心測角誤差修正中的應用效果，開展了數字仿真試驗和實測試驗。

相關研究中通常使用多棱鏡和自準直儀來驗證誤差修正效果，但這種方案只能在少數幾個特定角度位置進行驗證，不能對任意角位置的修正效果進行驗證。如果要實現對任意角位置的修正效果進行驗證，需要有能夠連續測量的角位移基準儀器，且儀器的測量精度要足夠高。本研究的實物試驗中使用的圓光柵系統的分辨率為0.158″，精度（按產品規格書）為±4″，校準難度大，實驗室尚無能夠滿足連續角度測量精度要求的校準儀器。

為此，提出兩個方案解決試驗難題。第一是使用數字仿真試驗，在仿真條件下對新方法和均值法的誤差修正效果進行對比；第二是在實測試驗中提出了同時安裝4 個讀數頭，基于試驗系統自身測量數據進行“自標定”、“自校準”的技術方案，在不使用更高等級儀器的條件下就可以對新方法和均值法的誤差修正效果進行比對。

仿真試驗中，首先不引入圓光柵刻劃誤差及隨機誤差，用新方法和均值法兩種方法對圓光柵安裝偏心和讀數頭位置誤差引起的測角誤差進行修正并對比修正效果；其次，為了更接近實際，引入了圓光柵刻劃誤差及隨機誤差，再用兩種方法對測角誤差進行修正并對比修正效果。

實測試驗中，共進行兩次數據采集。第1 次采集數據時，4 個讀數頭安裝在相隔90°均布的4個位置上，盡可能減小讀數頭的安裝位置誤差。第2 次采集數據時，保持其中3 個讀數頭的位置不變，改變另1 個讀數頭的位置，使其存在明顯的安裝誤差。4 個讀數頭組成兩組雙讀數頭測量系統，其中一組讀數頭在兩次數據采集中都沒有對徑安裝位置誤差，其數據用于驗證兩次采集的試驗數據的重復精度；另一組讀數頭在第1 次數據采集中沒有對徑安裝位置誤差，在第2 次數據采集中有較大的對徑安裝位置誤差，其前后兩次數據用于對比新方法和均值法這兩種誤差修正方法的效果。

4.1 無刻劃誤差及隨機誤差仿真試驗

設偏心距e=10 μm，圓光柵盤半徑R=26 mm，偏心角為ω=60°，兩讀數頭安裝誤差為2°，將以上預設參數代入式（10）中，用最小二乘法對仿真數據進行擬合，得到偏心距e=10.070 μm，偏心角ω=59.465 867°，兩讀數頭安裝誤差為2.000 030°，與輸入參數基本一致，證明了偏心參數擬合算法的正確性。擬合結果與輸入參數的差別可能是由于運算中圓周采樣點數僅為360 點，數據密度不高造成的。將以上求出的偏心參數代入式（4），式（5），式（11）中，可得到兩個讀數頭的測角誤差、均值法補償后的測角誤差和新方法補償后的測角誤差，如圖2 所示。從圖2 可以看出，利用新方法能夠有效消除由偏心及讀數頭安裝誤差引起的測角誤差。

圖2 無圓光柵刻劃誤差及隨機誤差的仿真試驗結果Fig. 2 Simulation results without graduation error and random error

4.2 有刻劃誤差及隨機誤差的仿真試驗

為了更接近實際，在仿真試驗中引入了圓光柵刻劃誤差及隨機誤差。圖3 所示為仿真中使用的圓光柵刻劃誤差，圖中標出了讀數頭1，2 分別用到的刻線誤差區段。圖4～圖5 為疊加在讀數頭1，2 測量結果上的隨機誤差。

圖3 仿真中使用的圓光柵刻劃誤差Fig. 3 Graduation error of encoder in simulation

圖4 仿真中讀數頭1 使用的隨機誤差Fig. 4 Random error of readhead 1 used in simulation

圖5 仿真中讀數頭2 使用的隨機誤差Fig. 5 Random error of readhead 2 used in simulation

設偏心距e=10 μm，圓光柵盤半徑R=26 mm，偏心角ω=60°，讀數頭2 的安裝誤差從0°到9°變化，間隔1°為一組，共做10 組實驗。在這個試驗條件下，當讀數頭安裝誤差為9°以上時，補償后的測角誤差將＞1.5″，認為不能滿足精密測角的需要，故不再繼續試驗。

試驗結果顯示，兩讀數頭安裝誤差逐漸變大的情況下，補償后測角誤差曲線形狀基本一致，但幅值逐漸增大。圖6 所示為讀數頭安裝誤差為0°（即無安裝誤差）時的仿真實驗結果。圖7 所示為讀數頭安裝誤差為4°時的仿真實驗結果。圖8是兩讀數頭安裝誤差為1°～9°時，補償后測角誤差相對于安裝誤差為0°時補償后測角誤差的變化量。

從以上實驗中可知，當安裝誤差在9°以內時，利用新方法補償后的測角誤差均≤1.5″；而雙讀數頭均值法在安裝誤差≥2°時補償后測角誤差已＞1.5″，在一些精密測量條件下已不能滿足要求。其中，當安裝誤差為4°時，利用新方法補償后的測角誤差為0.720″；而雙讀數頭均值法補償后測角誤差為1.785″。

仿真試驗結果表明，當讀數頭安裝誤差較大時，無論是否引入圓光柵刻劃誤差及隨機誤差，新方法的補償效果都比均值法要好。

4.3 實測試驗

圖6 讀數頭無安裝誤差時仿真實驗結果Fig .6 Simulation results without installation error of readhead

圖7 讀數頭安裝誤差為4°時的仿真實驗結果Fig. 7 Simulation results with 4°installation error of readhead

圖8 補償后測角誤差變化量（安裝誤差為1°～9°）Fig. 8 Variation of angle measurement error after compensation（Installation error 1°～9°）

為了對比均值法和新方法的誤差修正效果，通常要采用更高精度的儀器作為基準。但本試驗中使用的圓光柵測角分辨率為0.158″，精度（按產品規格書）約為±4″，實驗室尚無能夠滿足要求的校準儀器。為此，搭建了有4 個讀數頭的光柵測角試驗裝置，讀數頭的安裝方式如圖9 所示。其中讀數頭1～3 為一對，讀數頭2～4 為一對，分別組成雙讀數頭測角系統。圓光柵選用雷尼紹RESM20，直徑為52 mm；讀數頭選用雷尼紹VIONiC20 系列，分辨率為20 nm。

試驗中共進行兩次數據采集。第1 次采集數據時，4 個讀數頭按圖示實線位置安裝在相隔90°均布的4 個位置上，盡可能減小讀數頭的安裝位置誤差。第2 次采集數據時，保持讀數頭1，3，4位置不變，將讀數頭2 移動到圖中虛線位置處，試驗中測得其安裝誤差（即偏離實線位置的角位移）名義值為4.154 138°（該名義值在試驗中由圓光柵實測得到）。

圖9 實測試驗中讀數頭安裝方式Fig.9 Installation method of read heads in actual test

表1 試驗數據符號及其說明Tab. 1 Symbols and descriptions of test data

圖10 經新方法補償后與 的差值曲線Fig. 10 Difference curve of and after compensation of new method

圖11 經均值法補償后 與 的差值曲線Fig. 11 Difference curve of and after compensation of mean method

圖12 第1 次測量的差值曲線和Fig. 12 Difference curves and of the first measurement

圖13 第1 次測量與第2 次測量的差值曲線，， 和Fig. 13 Difference curves ，θ，and between the first measurement and the second measurement

實測試驗數據表明，對于安裝誤差較大的一對讀數頭，新方法前后兩次修正后的數據一致性較好，而均值法前后兩次修正后的數據一致性較差，說明當讀數頭安裝誤差較大時，新方法的補償效果優于均值法。

圖14 新方法與均值法對比Fig. 14 Comparison of new method and mean method

5 結 論

為了提高安裝雙讀數頭的圓光柵測角精度，提出了基于非對徑安裝雙讀數頭的圓光柵偏心測角誤差修正方法。

首先通過分析圓光柵安裝偏心與測角誤差之間的關系，建立了兩讀數頭讀數值與偏心系數之間的關系式，并利用最小二乘法擬合出偏心系數，實現了圓光柵安裝偏心參數的標定；然后建立了非對徑安裝雙讀數頭偏心測角誤差補償模型，實現了對測角誤差的修正。試驗中，為了克服缺少高精度角度測量基準這個困難，開展了數字仿真試驗，設計了基于試驗系統自身條件的“自校準”方案，在不使用更高等級儀器的條件下就可以對新方法和均值法的誤差修正效果進行比對。

仿真及實測試驗表明新方法能夠對非對徑安裝雙讀數頭偏心測角誤差進行有效地修正，且修正效果明顯優于雙讀數頭均值法。

新方法也存在一些不足：（1）應用新方法時，開機后首先需要圓光柵旋轉一周以上，獲得圓光柵安裝的偏心參數和讀數頭的安裝誤差數據之后，才能使用進行精度較好的誤差修正，而傳統的均值法沒有這個限制。（2）新方法應用于實踐時，由于運算量較大，暫時只能用于實時性要求不高的場合，比如用于高精度分度、對準等儀器設備中；而不能用于對實時性要求較高的場合，如參與多軸聯動加工的機床精密轉臺。

對于以上不足，可以采取一些措施進行彌補。在開機后圓光柵旋轉一周之前，可以用均值法作為臨時的誤差修正結果，而在完成一周旋轉之后再切換到新方法；對于運算量較大的問題，未來將嘗試使用FPGA 實現修正算法，借助FPGA 的快速運算能力提高修正計算的實時性。