高速鐵路滾子軸承中凸度滾子接觸參數分析與軸承穩健設計模型

楊咸啟，時大方，劉國倉

（1.安徽建筑大學 城市建設學院,安徽 合肥238076；2.浙江天馬軸承集團有限公司，浙江 湖州313200；3.黃山學院，安徽 黃山245041）

1 線接觸問題概述

在高速鐵路軸承和重載軋機軸承等一類滾子軸承中，多是采用圓柱滾子軸承或是圓錐滾子軸承，其中的接觸問題主要屬于線接觸類型。由于滾子和滾道接觸都是具有限長度的，不符合理想的線接觸類型問題的條件，只能通過數值計算方法計算。隨著載荷的增加，有限長線接觸區域會逐漸擴大[1-3]。當載荷比較大時，在接觸區兩端部邊界會出現很高的應力集中問題，如圖1（a）所示。為了消除這種不利的應力集中現象，滾子的母線需要采取修形設計。早先的修形母線通常采用小角度傾斜直線或圓弧曲線，等等。經過這樣修形后的滾子能夠降低接觸應力集中度，但不能完全避免應力集中，如圖1(b)所示。如果滾子母線采用圓弧曲線，可以避免滾子邊緣應力集中，如圖1(c)所示。但這時接觸中心區的接觸應力會比較高，它會減少軸承接觸疲勞壽命。經過不斷深入的研究發現，如果滾子母線采用對數型曲線，理論上可以完全消除應力集中現象，可以使接觸壓力分布接近均勻，如圖1(d)所示。因此，在重要的滾子軸承設計中都推薦采用對數型曲線來作為滾子的母線。設計中通常的做法有兩種：1.滾子母線直接采用對稱型的對數曲線；2.在滾子母線中段采用一段直線，在滾子兩端部采用對數曲線，使兩者光滑連接。這樣接觸應力就能夠比較均勻分布。

圖1 不同的母線滾子接觸壓力分布情況

滾子母線經過修形后，接觸應力和接觸變形計算比較復雜，目前還沒有理論計算公式可直接應用。有條件的情況下可以采用商業分析軟件來計算，但這些軟件所采用的計算模型需要事先確定，給計算帶來不便。本文針對不同的滾子母線曲線，討論它們的接觸應力特點，提出采用線條元模型的計算方法。由于母線修形主要在滾子端部，因此，在滾子中部可采用理想線接觸計算方法，而在滾子端部則采用簡化的計算方法。當計算出表面的接觸壓力后可以進一步計算接觸體內部材料的應力[2-7]，從而為軸承的接觸疲勞分析及其他特性計算服務，為軸承設計帶來方便。經過接觸力學參數分析之后，提出了高速和重載鐵路滾子軸承優化穩健設計思想和方法，豐富了軸承設計理論。

2 理想線接觸壓力計算模型

設兩個光滑的彈性圓柱體長度同為l，其軸線平行，在外力Q作用下對中接觸,這就是一種理想的線接觸模型，如圖2（a）所示。

圖2 兩個長度相同圓柱體理想線接觸模型

由赫茲接觸理論知道，對點接觸模型，首先假設接觸區形狀為橢圓形狀，再假定接觸壓力分布為與橢圓形區域相適應的橢球形分布，最后利用接觸表面幾何方程和接觸變形協調條件，確定出接觸區的大小和壓力分布函數。對于理想的線接觸模型，同樣也采用假設接觸區域為矩形，沿滾子軸線的接觸壓力為均勻分布，沿周向的壓力分布為橢圓曲線，即為橢圓柱形狀，如圖2(b)所示的接觸區域及接觸壓力放大圖。這樣，理想線接觸問題可以轉化為平面接觸問題，如圖2(c)所示。對無限長線接觸問題，它可轉化為平面應變問題（εx=0），對等長度線接觸它可轉化為平面應力問題（σx=0）。但線接觸問題與點接觸問題不同，在彈性力學理論上，它存在接觸變形不能確定的問題。

在文獻[7]中，介紹了理想線接觸模型的理論計算公式。在理想線接觸條件下，假設接觸壓力分布函數為：

式中，qmax為接觸表面的最大壓力，b為接觸區半寬度。

由外力與接觸力的平衡條件，并且利用半橢圓柱體的體積積分得到

因此，得到接觸表面的最大壓力為

為了求出接觸表面上的變形，當已知壓力的分布函數后，由波西涅斯克解[7]，接觸表面的變形可以表示為

式中，E為彈性模量，ν為泊松比，代表矩形接觸區域。

利用變量積分變換方法，上式中的積分變換為

進一步，如果兩個接觸圓柱體的半徑分別為R1、R2，其材料彈性模量和泊松比分別為E1、ν1；E2、ν2。利用接觸表面的幾何關系和變形協調條件，可以導出接觸區域半寬度和最大接觸壓力的計算公式。根據平面接觸的特點，假設開始接觸點的切平面保持不變，接觸變形發生應該滿足下面的接觸變形的協調條件。

上式中，δ(0)代表初始接觸點上兩個圓柱體的變形和（也稱為兩者的彈性變形趨近量）。

在上面的方程中，兩個柱面之間的距離近似為

這樣，接觸變形的協調條件(5)可以改寫為

如果采用兩個圓柱體的參數來簡化表示時，可令

方程(6)是一種廣義積分方程，不容易直接求解。但上述方程是包含變量y的函數關系式，將方程（6）對y求導數，得

對上式積分得

比較上方程變量的系數得到

將接觸壓力公式（2）代入上式，得接觸區域半寬度為

利用方程(6)，進一步將兩個圓柱體的接觸中心趨近量化簡為

上式對于坐標y的任意值都應該成立。特別當y=0時，必須滿足

式中的J(0)還不能直接求出。

為了解決這一問題，通常采用近似的計算方法。例如K.L.Johson利用平面應變狀態積分，導出兩個圓柱體接觸區中心彈性趨近量近似公式為

式中，Q為作用外力，l為接觸圓柱體長度，R1、R2分別為接觸圓柱體的半徑，b為接觸區域半寬度，E1、ν1；E2、ν2分別為材料彈性模量和泊松比。

G.Lundberg與H.Sjovall針對軸承中的理想線接觸區中心彈性趨近量近似公式為

式中，Q為接觸區作用外力，l為接觸圓柱體長度，E、ν分別為軸承材料彈性模量和泊松比。為軸承內外圈與滾動體接觸結構參數。

而A.Palmgren通過試驗給出帶凸度的圓柱體接觸中心彈性趨近量的近似公式為

式中，Q為作用外載荷（N），l為接觸圓柱體長度(mm)，?為當量彈性模量（MPa）。

對于平面應變狀態下，接觸表面下，沿對稱軸上的主應力為

因此，在對稱軸上的最大剪應力為

具體計算得出，當z=0.786b,τmax(x=0)=0.301qmax。當z=0.165b,τmax(x=0)=0.262qmax。

對于平面應力狀態下的應力，如兩個圓盤接觸，表面下沿對稱軸上的主應力計算時，將上面的平面應變狀態主應力公式中的泊松系數ν換成ν/(1+ν)即可。

3 有限長線接觸壓力的有限條元分析方法

有限長線接觸如圖3（a）所示。Harris等人已經介紹了典型的有限長線接觸的計算例子，計算結果如圖3（b）、（c）所示[2,3]。從圖中可以看出，有限長線接觸的接觸壓力分布，在圓柱的端部出現了明顯的應力集中。接觸區域的形狀也不再是嚴格的矩形形狀。

圖3 典型有限長線接觸結果

對于接觸問題求解，需要滿足的第一個要求是接觸力平衡條件，即在接觸區上的全部接觸壓力合力與外載荷平衡，設接觸區的分布壓力為q(x,y)，載荷平衡關系可以表示為：

接觸問題求解需要滿足的第二個要求是兩個物體接觸變形滿足協調條件，即

其中，δ(0)為接觸體1與2的接觸區中心的變形之和,w1(x,y),w2(x,y)為接觸體1與2的接觸表面上各點的變形，z1(x,y)，z2(x,y)為接觸體1與2的接觸表面形狀各點的坐標。

又根據表面接觸變形位移的計算方法（波西涅斯克模型）[7]，接觸表面上各點的變形大小為：

方程（15）-（17）是接觸問題求解的基本方程，目前還沒有理論解，多采用數值方法求解。先設定可能的接觸區域，并劃分為一系列的微小矩形單元面（如圖4），在每個小的單元面上假定接觸壓力為常值（未知量），利用接觸壓力平衡條件（15）和接觸變形協調條件（16），建立求解方程[4]。但這樣做求解的未知量比較多，需要迭代次數多，計算費時。

圖4 接觸區域劃分

如果針對線接觸壓力分布和接觸區域的特點，將接觸區域沿長度x方向劃分為微小單元條nij，長度與寬度為2h×2b，如圖3（c）中的線條分割所示的條狀區域。在每個微小單元條接觸區域上，我們假設接觸壓力分布函數為（見圖5）：

圖5 接觸壓力分布函數模型

式中，q m(x)為x軸上最大接觸壓力，B(x,y)為有限條上壓力變化的分布函數。

根據不同的接觸壓力分布模型，B(x,y)可以取不同的函數形式來插值模擬接觸壓力變化。本文進一步假設沿y方向壓力的變化為橢圓函數，則B(x,y)可以取為：

式中，b(x)為接觸區半寬度。

下面再建立數值計算方法。在微小單元條接觸區域nij中心點（xij,y ij）上，接觸變形的計算公式（17）中的積分可表示為：

將式（20）帶入到兩個物體接觸變形協調條件（16）后，可以得到

式中，ij=1,2,3,…，MN，MN為x坐標軸方向上數值計算點總數量，δ0=δ(0)。

式（21）是有MN個方程的方程組，其中的未知量為q m有MN個，及δ0共有MN+1個。這樣不能直接求解，需要再增加接觸壓力平衡方程（15）。

在接觸壓力為半橢圓分布假設下，接觸平衡條件（15）的積分表示為：

這樣，聯立式（21）、（22）為1組方程組。求解這些方程組可以得到接觸區域上的壓力分布qm和δ0。在整個求解過程中，由于接觸區大小在計算之前是未知的，必須首先假定接觸區域形狀大小進行試計算，計算中必須保證接觸壓力為非負值（q m≥0）。通過不斷迭代修正接觸區，最后確定出符合實際的接觸區的形狀和接觸壓力的分布。

4 軸承中的有限長線接觸參數的工程計算方法

在滾子軸承工程設計計算中，當計算接觸壓力時，需要確定接觸區半寬度b，它與線接觸滾子的母線形狀有關。下面針對幾種滾子母線形狀函數，討論接觸區參數的工程計算方法。

設圓柱滾子的總長度為lw；初始接觸點的直徑為Dw，作用接觸載荷為QW,有效接觸區長度為le,一對接觸圓柱體的半徑分別為R1、R2。

4.1 對數曲線型母線滾子

在對數母線滾子的設計中，為了使滾子母線為光滑完整的對數曲線，同時也與滾子的凸度相對應，對數曲線通常要根據滾子的凸度值來設計，而凸度設計值可以由滾子最大的受載接觸變形來確定。一般采用的光滑完整的對稱型母線的對數曲線函數為：

式中，ε0為滾子凸度值，α、β為系數。當x=0時，z=0；當x=l e/2時,z=ε0。利用這些條件可以確定函數中的系數α、β的值。

有時為了滾子母線加工方便，只在滾子的端部區域采用對數曲線修形，而在滾子中部仍然采用直線。這時的滾子母線函數形式為：

其中，l0為滾子直母線段長度，ζ、η為系數。當x=l0/2時，z=0；當x=l e/2時,z=ε0。利用這些條件同樣可以確定函數中的系數ζ、η的值。當式（20）中的l0=0，它與式（23）相似。對數曲線型母線滾子剖面如圖6所示。

圖6 對數母線滾子剖面圖

對于上面兩種形式的對數曲線滾子，接觸區的寬度和接觸壓力的計算方法可統一如下。

在保證滿足外力與接觸壓力符合平衡方程（15）的前提條件下，將載荷QW分為兩部分，一部分由滾子直線段承擔，一部分由滾子端部曲線段承擔。若QW比較小，接觸區不超出滾子有效接觸長度時，QW全部由直母線部分承擔，可采用理想線接觸參數計算方法（公式（1）-（3））。而當QW比較大時，整個對數曲線母線部分的接觸參數計算方法如下:

其中，Q C為滾子直線段承擔的載荷，Q E為對數曲線段承擔的載荷，Q W=Q C+Q E。aE、bE分別為滾子直線段端點處的接觸橢圓長、短半軸尺寸。Σρ(x)=2/D w+z″(x)±ρi,e，z″(x)為滾子母線的接觸點處的曲率，ρi,e為內圈（或外圈）接觸點處的周向曲率，，d m為軸承節圓直徑，α為軸承接觸角。符號“-”對應內圈，“+”對應外圈。

當載荷QW很大，接觸區長度已經超出滾子有效接觸長度時，接觸區成為完整的線接觸模型，可采用線接觸公式計算如下：

4.2 圓弧倒角曲線型母線滾子

當滾子母線采用對稱型部分圓弧修型母線，圓弧曲線與直線光滑連接，則滾子的母線函數為：

其中，l0為滾子直母線長度值，圓弧半徑R C=[(l w-2c)2-(l w-2t)2]/(8ε0)，l w為滾子全長，c為滾子端面倒角尺寸，t為凸度修正圓弧部分長度，ε0為滾子凸度值。滾子母線剖面如圖7所示。

圖7 滾子部分圓弧修型母線剖面圖

這時，接觸區的寬度和接觸壓力的計算方法也需 要 按 照 式（26）-（28）計 算，此 時 取Σρ=2/D w+1/R C±ρi,e。

4.3 傾斜直線倒角修型母線滾子

如果滾子母線采用對稱型傾斜直線倒角修型母線，則滾子的母線函數為：

其中，l0為滾子直母線長度值，θ為斜直線傾角。滾子母線剖面如圖8所示。

圖8 滾子傾斜直線修型母線剖面圖

這種母線不常采用,它的接觸區的寬度和接觸壓力可采用線接觸公式(1)-(3)近似計算[2.3]。

4.4 大圓弧曲線型母線滾子

如果滾子母線采用對稱完整大圓弧曲線母時，則滾子的母線函數為：

其中，RW為滾子直母線弧的半徑值。滾子母線剖面如圖9所示。

圖9 大圓弧滾子數母線剖面

此時接觸區為橢圓，橢圓尺寸大小和接觸參數按照點接觸公式計算如下[2,7]：

上面各式中，取Σρ=2/D w+1/R w±ρi,e,a*,b*為赫茲接觸計算系數。

如果隨著載荷的增加，出現橢圓長軸值超出滾子有效接觸區長度，這時需要對點接觸結果進行適當修正[8]。

5 軸承滾道接觸力學參數化設計的數學模型

對于一般的圓錐滾子軸承，滾道接觸參數a、b、δ、qmax與軸承接觸點處的曲率、接觸載荷以及材料力學性能常數等有關。因此，對整個軸承來說，可以建立下面一種泛函關系式:

式中，左邊的量為圓錐軸承滾道接觸參數，右邊是與軸承接觸點處的結構參數、材料常數、接觸載荷等。[HZ]是一種矩陣泛函關系。

當對一些軸承滾道接觸參數作出某些要求（或限制）時，可以對結構參數進行規劃設計。這是一種接觸力學參數設計思想。采用數學方法表達時，可以寫成

其中[a]，[b]，[δ]，[qmax]表示對接觸區域尺寸、接觸變形和最大接觸壓力等參數的限制性要求值。它們可以根據需要來挑選。

[HZ]-1min表示泛函矩陣逆向優化運算，這一過程可以利用程序在計算機上完成。

對于其他類型的滾子軸承，也可以建立類似的設計模型。對于球軸承，滾道接觸參數a、b、δ、qmax與軸承接觸點處的曲率、接觸載荷以及材料力學性能常數等有關。因此，對整個軸承來說，可以建立下面一種泛函關系式

式中，左邊的量為深溝球軸承滾道接觸參數，右邊是與軸承接觸點處的結構參數、材料常數、接觸載荷等。[HZ]是一種軸承接觸參數計算過程的矩陣泛函關系。

當對軸承接觸參數作出某些要求（或限制）時，則可以對軸承滾道結構參數進行規劃設計。這是一種接觸力學參數化設計思想。采用數學方法表達時可以寫成

其中[a]，[δ]，[qmax]表示對接觸區長軸尺寸、變形和最大接觸壓力等參數的限制性要求值，它們可以根據情況來挑選。

[HZ]-1min表示泛函矩陣逆向優化運算。根據接觸力學中的計算公式和穩健優化原理進行分析，這一過程可以利用程序在計算機上完成。

對接觸參數的限制性要求取值，應該根據不同的使用場合，選擇不同的限制值。例如，對通用軸承，限制值可以選擇穩健的可靠性高的值，對應的設計稱為穩健的可靠性設計；而對于特殊使用的專用軸承，限制值可以選擇極限值，對應的設計稱為極限設計[8]。

6 結論

本文討論了滾子軸承中凸度滾子有限長線接觸問題的計算方法，主要的結果如下：

1.在有限長線接觸數值計算方法中，建立了有限條元分析模型。與傳統的數值計算方法相比，它可以有效地簡化計算過程，提高計算效率。

2.針對滾子軸承設計中不同的凸度滾子母線，提出了接觸區形狀和接觸壓力的工程計算方法。它與商業軟件系統中的模型方法計算結果對比，本文方法與軟件方法得到的接觸參數計算結果接近。

3.建立軸承接觸參數的穩健優化設計的模型理論，為提高軸承的可靠性使用性能提供了方法。