淺談三根火柴桿懸掛重物的平衡原理1)

余為梁希

(燕山大學工程力學系，河北秦皇島066004)

在央視《是真的嗎》電視節目中曾經演示了這樣一個實驗：用三根火柴桿和棉線，組成如圖1所示的構架形式，可以掛數瓶礦泉水而不垮塌?；鸩馩B水平放置在桌面邊緣，一部分在桌面外，與桌面邊緣接觸處為O點；火柴DE水平地將兩棉線撐開；火柴BC一端撐住火柴OB的端點，另一端垂直作用在火柴DE的中點C處。節目最后定性地簡單解釋了一下原理，并舉例說明了一些桿件結構的相關應用。田雁等[1]解釋了與之類似的一道全國物理競賽題，但并未得出具體的計算公式。本文基于理論力學和材料力學的基本知識，從定量計算的角度解釋其原理。

圖1 三根火柴掛礦泉水

現場實驗發現，當第一瓶礦泉水掛上后，火柴OB尾部即發生了如圖2(a)所示的翹起，然后繼續增加懸掛礦泉水的瓶數，雖然系統仍然保持平衡，但桌面那根火柴的翹起角度逐漸增加，見圖2(b)。當懸掛到第9瓶礦泉水時，系統整體不再平衡而發生了垮塌現象(火柴并未斷裂)。三根火柴系統能懸掛數瓶礦泉水的原理是什么呢？火柴OB尾部為何出現不同程度的翹起現象呢？

圖2 三根火柴懸掛礦泉水圖(欄目中截圖)

1 理論分析

初始時，為了能將三根火柴安裝成圖1所示的結構，需要用重物將火柴OB末端壓住，如圖3所示，待掛上一瓶水，并安裝好三根火柴后，再將重物移走。顯然此結構不能保持平衡，而是整體繞火柴與桌面邊緣的接觸點O轉動一個角度，使得礦泉水重力的作用點位于桌面邊緣O點的正下方，如圖4所示。這就是掛上一瓶礦泉水后OB尾部立即翹起的原因。

圖3 整體圖(側視圖)

設轉動角度為α0，由圖4整體受力圖可得O點處的摩擦力與支撐力的合力最終與系統重力G平衡，此時忽略棉線和火柴桿的重量，則有

圖4 初始整體受力圖(側視圖)

可見，只要火柴傾角α0小于火柴與桌面的摩擦角，該系統即屬于自鎖狀態，即可保持平衡。其中A點為棉線的作用點，與O點位置很接近，設OA=d，AB=l，AC=h，此時∠CAB≈90°。則有

隨著礦泉水瓶數增加，火柴OB尾部翹起角度逐漸增加，但只要該角度小于摩擦角，系統均可保持平衡。本文認為增加重物重量，火柴尾部翹起角度增加的原因是火柴OB和DE發生了彎曲變形。設某時刻火柴OB尾部翹起角度為α，受力圖及其他各處角度如圖5所示。F A為兩根棉線的合力，火柴BC可視為二力桿。本文中不考慮桌面的厚度，因此桌面下邊緣對棉線無接觸作用力。

火柴OB發生彎曲變形使得尾部進一步翹起，但不會引起C處的角度變化。所以由圖5(b)可得

圖5 火柴系統整體及部分受力圖

分析圖5(c)求火柴OB的彎曲變形。為簡化計算，此時可將其看成如圖6所示的外伸梁，此時火柴已因發生了初始的剛體轉動而傾斜，為方便觀測將其畫成水平放置形式。

圖6 火柴OB外伸梁

忽略軸向力對梁變形的影響，設火柴的抗彎剛度為EI，則可得到O界面受彎曲的轉角絕對值，即火柴OB尾端因彎曲引起的翹起轉角為[2]

將式(5)代入可得

由于d遠小于l，則式(7)可簡化為

另外，由圖1可見，火柴DE中點的撓度f C可以由簡支梁中點受集中力作用計算，設火柴的長度為L，則有

由于DE彎曲使得C向斜下方有位移，導致了火柴系統整體繞O點再次發生剛體轉動，但D和E兩點由于整體受力可知不發生位移。設該轉角為φ，忽略BC桿的壓縮變形，則

火柴OB尾部總的翹起角度α為

由式(11)可知，隨著懸掛重物增加，火柴OB的彎曲轉角θO和轉角φ均會逐漸增大，則火柴的整體翹起角度α隨之增加，當α達到摩擦角時，所懸掛重量達到極限值，再增加重量，則系統就會發生垮塌，與實驗過程完全符合。將式(11)改寫成計算重物重量的形式，則有

由式(12)可知，系統所能懸掛的總重量與火柴的抗彎剛度成正比。當火柴與桌面摩擦系數確定后，摩擦角α為已知量，再根據初始條件計算出初始剛體轉角α0，即可算出所能懸掛的總重量。

2 算例分析

從資料查得木質火柴桿一般采用白楊、松木等制作，其抗彎彈性模量一般在7～13 GPa之間，本文取 10 GPa，普通火柴桿尺寸約為38 mm×1.5 mm×1.5 mm，若取d=2 mm，l=19 mm，木材與硬塑料、鋼之間的靜摩擦系數f一般在0.2～0.25之間，此處取火柴與桌面摩擦系數為0.2，即摩擦角為11.3°，則可算得這樣的三根火柴系統可懸掛重物的重量為

即，該系統可懸掛的重量約為3 kg，約5瓶550 mL的礦泉水。由圖2可見，節目現場試驗火柴OB外伸長度未達到火柴一半，因此懸掛重物可比上述理論值更大一些。所以，可認為本文理論分析結果與實驗結果較為符合。下面進行一下強度校核。由整體受力圖可見，此刻桌面的支撐力為

根據以上結果可算出A截面的彎矩，再由彎曲正應力公式，可得A截面下邊緣最大拉應力為

式中，b=1.5 mm，為火柴桿邊長。由于選擇的棉線具有一定粗度才能將火柴撐住，如圖2所示，此時棉線的直徑與OA間距離d值已經較為接近，因此可以將棉線對火柴桿的作用力考慮為均布載荷，如圖7所示。

圖7 火柴OB計算圖

根據試驗情況，可設棉線直徑為1 mm，A截面位于其中點上，則有

可算得A截面最大正應力為

式中，棉線半徑a=0.5 mm。顯然，按均布載荷計算所得最大應力值更小一些。實際選用哪種計算方式需要根據棉線的粗細來決定。查閱文獻可知，楊木、松木的拉伸屈服極限一般為88～118 MPa，可見按本文的理論計算結果，火柴桿的強度也在范圍之內，所以可認為理論分析合理。但由于火柴桿選材、棉線與桌面的距離、火柴外伸長度等參數均人為選擇，其結果會有一些差異。下面將幾種選擇的計算結果列于表1中。

由表1可見，摩擦系數f、棉線與桌面的距離d均對懸掛重量具有較大影響。如果棉線緊貼桌面，使得距離d很小，則可顯著提高懸掛的重量，當摩擦系數f=0.2時，文中的火柴系統最多可懸掛13瓶礦泉水，且火柴的最大應力還不至于太大?；鸩駰U與桌面摩擦系數f增大可提高懸掛的重量，但當f=0.25時，懸掛重物達到一定重量后，火柴會先發生斷裂破壞，而不會是整體垮塌。

表1 幾個例子的計算結果

3 結語

本文介紹了三根火柴懸掛礦泉水瓶的有趣試驗現象，基于理論力學中的自鎖原理和材料力學中梁的彎曲理論分析了系統保持平衡的力學原理，并得出了其極限載荷的計算公式，為該試驗給出了較為合理的理論解釋。通過幾個算例可知，摩擦系數、棉線與桌面距離均對懸掛的極限載荷具有較大的影響。

致謝感謝田振國、黃良及張任良等老師的有益討論！