激光通信旋轉雙棱鏡系統誤差對指向精度的影響

邱 賽，盛 磊，高世杰，劉永凱，宋一諾

（1.中國科學院 長春光學精密機械與物理研究所，吉林 長春130033；2.中國科學院大學，北京100049）

1 引 言

在激光通信指向系統中，通信雙方通常采用捕獲、跟蹤、瞄準（Acquisition，Tracking，Point?ing，ATP）技術建立并保持通信鏈路［1-3］。傳統的ATP系統由于使用了萬向式指向機構，其體積和質量普遍偏大，不能較好滿足空間激光通信需求；旋轉雙棱鏡系統則具有體積小、掃描范圍大、對載體振動不敏感、動態性能好等優勢，更適用于空間激光通信環境［4-8］。然而，旋轉雙棱鏡系統存在多項誤差，這些誤差嚴重影響出射光束的指向精度［9-13］。為分析誤差對光束指向的影響，本文展開對旋轉雙棱鏡的誤差分析與研究。

目前，旋轉雙棱鏡的研究多針對旋轉雙棱鏡的解算方法和掃描方式展開。周遠等人［6-7］采用光束矢量傳播方法推導了光束指向模型，但該指向模型未考慮系統存在的誤差源。李錦英、Warger等［8，14］研究了旋轉雙棱鏡的掃描方式，旋轉雙棱鏡有多重掃描方式可掃描全視野，不同掃描方式具有不同的掃描優勢。Horng等［15］僅研究了軸承和楔形傾斜對最終指向的影響，其誤差研究僅限于幾個固定角度，其他角度未分析。ZHANG等［16］研究了軸承傾斜角隨機誤差與棱鏡傾斜角隨機誤差對最終指向結果的影響，也僅限于幾個固定角度下的誤差研究與分析。

本文全面分析了對最終指向有影響的指向偏差，將對指向偏差影響相同的誤差源歸為一類，一共有4類誤差，分別為棱鏡楔角誤差、入射光誤差、棱鏡轉角誤差和棱鏡傾斜角誤差。采用求偏導法求出出射光束指向偏差與各誤差間的變化關系，根據各個誤差的測量精度計算出它對出射光束指向偏差的影響。根據誤差合成理論計算出射光束的總偏差，并用實驗驗證本文的誤差分析結果，對后續的誤差補償與修正具有一定的參考價值。

2 工作原理與誤差源

2.1 旋轉雙棱鏡工作原理

旋轉雙棱鏡系統中，兩塊棱鏡采用背靠背方式進行排列；兩塊棱鏡耦合可改變光束光程，進而改變光束指向。旋轉雙棱鏡原理如圖1所示。

圖1 旋轉雙棱鏡原理Fig.1 Schematic diagram of risley prism

2.2 旋轉雙棱鏡誤差源

旋轉雙棱鏡系統由激光器、兩塊旋轉棱鏡、兩個電動旋轉臺和靶面等部分組成。激光器發射激光束至旋轉棱鏡П1，經旋轉棱鏡П1折射，其出射光束進入旋轉棱鏡П2折射，其出射光束即為旋轉雙棱鏡系統的出射光束。旋轉雙棱鏡光束出射端放置相機作為靶面，相機獲取出射光斑位置，經計算得到出射光束偏轉角Φ和方位角Θ。旋轉雙棱鏡的總體構成如圖2所示。

圖2 旋轉雙棱鏡系統結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of risley prism system

3 誤差指向模型建立

首先建立坐標系，以棱鏡П1的直角面中心為坐標原點O，與光軸重合為Z軸，以激光源發出的光束傳播反方向為正向；Y軸垂直于水平面，豎直向上為正向；X軸與Y軸和Z軸為右手定則關系，其坐標系如圖1所示。

本文參考非近軸光線建立指向模型的方法，基于折射定律，采用光線矢量傳播方法建立光束指向模型，光線矢量傳播如圖3所示。

圖3 光線矢量傳播圖Fig.3 Ray vector propagation illustration

棱鏡П1斜面法線矢量為，棱鏡П1直角面法線矢量為，棱鏡П2直角面法線矢量為，棱鏡П2斜面法線矢量為，那么有：其中：α1，α2分別為棱鏡П1，П2的楔角；由于存在誤差，棱鏡П1光軸對理想光軸存在傾斜角，此傾斜角可用偏轉角B1和方位角L1描述；棱鏡П2光軸對理想光軸存在傾斜角，棱鏡П2的傾斜角可用偏轉角B2和方位角L2描述；θ1，θ2分別為棱鏡П1，П2的轉角。

出射光束偏轉角Φ與方位角Θ分別為：

4 誤差分析

旋轉雙棱鏡指向模型包含4大誤差，分別為棱鏡楔角誤差、入射光誤差、棱鏡轉角誤差和棱鏡傾斜角，各自的誤差范圍可由檢測設備獲得。在求偏導分析某一誤差時，其余誤差均取其精度為誤差設定值進行誤差分析，誤差源精度及其設定值如表1所示。

表1 誤差源精度及其設定值Tab.1 Error source accuracy and its set value

4.1 棱鏡楔角誤差分析

旋轉雙棱鏡指向模型中包含出射光束偏轉角Φ，Θ與棱鏡楔角α1，α2的關系式。根據指向模型 分 別 計 算Φ，Θ對α1，α2的 偏 導 數，如 式（4）所示：

其 中：（X As4，Y As4，ZAs4），（XAs5，Y As5，ZAs5）分 別 為向量As4，As5的三維坐標，由式（5）得到；K，L，M為出射光束的方向余弦，由式（2）可知。

本文采用逐層求導獲取XAs4，Y As4，ZAs4的具體計算公式。例如，在求對α1的偏導數As4時，將對α1的偏導數設為As3，然后再求As3，逐級往下求偏導；An1為最低一級的求偏導，An1可直接計算得出，最低一級的公式求偏導均可直接計算得出。求XAs5，Y As5，ZAs5的過程與XAs4，Y As4，ZAs4的求解方法相同，均由出射光束s2ro往入射光束方向逐級求導。

對指向影響的計算公式如下：

其中Δα1，Δα2分別為α1，α2的精度。由表1可知，由于中心區域誤差較大，因此選定中心3°以內的區域為內指向區域，中心3°以外的區域為外指向區域，分兩個區域進行分析。由于外指向區域誤差占95%以上，故本文僅分析外指向區域的誤差數據。棱鏡楔角誤差對指向結果的影響如圖4所示。為便于對比分析，具體誤差數據僅在表2中闡述分析。

圖4 楔角誤差對指向結果的影響Fig.4 Influence of wedge angle error on pointing result

4.2 入射光誤差分析

旋轉雙棱鏡指向模型中包含出射光束偏轉角Φ，Θ與入射光傾斜角BG，L G的關系式。根據指向模型分別計算Φ，Θ對BG，L G的偏導數，如式（7）所示：

X As9，Y As9，Z As9，X As13，Y As13，ZAs13的求解方法與X As4，Y As4，Z As4的相同，均由出射光束往入射光束方向逐級求導。

對指向影響的計算公式如下：

其中ΔBG，ΔL G分別為BG，L G的精度，由表1可知。入射光傾斜角誤差對指向結果的影響如圖5所示。為便于對比分析，具體誤差數據僅在表2中闡述分析。

圖5 入射光傾斜角誤差對指向結果的影響Fig.5 Influence of inclination angle error of incident light on pointing results

4.3 棱鏡轉角誤差分析

旋轉雙棱鏡指向模型中包含出射光束偏轉角Φ，Θ與棱鏡轉角θ1，θ2的關系式。根據指向模型分別計算Φ，Θ對θ1，θ2的偏導數，如式（10）所示：

其 中，X As17，Y As17，ZAs17，X As18，Y As18，ZAs18由 式（11）得到：

XAs17，Y As17，ZAs17，X As18，Y As18，ZAs18的求解過程與X As4，Y As4，ZAs4的相同，均由出射光束s2ro往入射光束方向逐級求導。

對指向影響的計算公式如下：

其中Δθ1，Δθ1分別為θ1，θ2的精度，由表1可知。棱鏡轉角誤差對指向偏差的影響如圖6所示。為便于對比分析，具體誤差數據僅在表2中闡述分析。

圖6 棱鏡轉角誤差對指向偏差的影響Fig.6 Influence of prism angle error on pointing deviation

4.4 棱鏡傾斜角誤差分析

旋轉雙棱鏡指向模型中包含出射光束偏轉角Φ，Θ與兩棱鏡傾斜角B1，L1，B2，L2的關系式。根據指向模型分別計算Φ，Θ對B1，L1，B2，L2的偏導數，得到：

其 中XAs22，Y As22，ZAs22，XAs26，Y As26，ZAs26，X As28，Y As28，ZAs28，XAs30，Y As30，ZAs30由式（14），式（15）可知。

X As22，Y As22，ZAs22，XAs26，Y As26，ZAs26，XAs28，Y As28，ZAs28，XAs30，Y As30，ZAs30的求解過程與X As4，Y As4，ZAs4的，均由出射光束s2ro往入射光束s1li方向逐級求導。

對指向影響的計算公式如下：

其中ΔB1，ΔL1，ΔB2，ΔL2分別為B1，L1，B2，L2的精度，由表1可知。

棱鏡傾斜角誤差對指向結果的影響如圖7所示。為便于對比分析，具體誤差數據僅在表2中闡述分析。

圖7 棱鏡傾斜角誤差對指向結果的影響Fig.7 Influence of prism tilt angle error on pointing result

上述誤差的誤差均方根與最大誤差如表2所示。由表2可知，對出射光束偏轉角Φ影響最大的誤差因素為入射光偏轉角BG誤差、棱鏡П2旋轉角θ2、偏轉角B1、方位角L1、偏轉角B2、方位角L2；對出射光束方位角Θ影響最大的誤差因素為轉角θ2、方位角L1、偏轉角B2和方位角L2。在進行設計、安裝和標定的過程中，需要特別注意控制入射光偏轉角BG誤差、棱鏡П2旋轉角θ2、棱鏡П1對理想光軸的傾斜角的偏轉角B1和方位角L1、棱鏡П2與理想光軸傾斜角的偏轉角B2和方位角L2。

表2 誤差均方根與最大誤差表Tab.2 Root mean square and maximum errors

綜上所述，對出射光影響較大的因素為棱鏡П1與理想光軸的傾斜角（即B1，L1）、棱鏡П2與理想光軸的傾斜角（即B2，L2）、棱鏡П2轉角（即θ2）。

根據誤差合成理論計算光束理論指向總偏 差，得到：

光束理論指向總偏差如圖8所示。MAT?LAB仿真表明，理論指向總偏差最大值為0.362 0°，理論指向總偏差均方根為0.0470°。

圖8 理論指向總偏差Fig.8 Theoretical pointing total deviation

5 實 驗

5.1 旋轉雙棱鏡實驗平臺

本實驗搭建了旋轉雙棱鏡實驗平臺，如圖9所示。該平臺主要由激光器、兩塊旋轉棱鏡、齒輪系統、步進電機、相機、上位機和系統支架組成。激光器發射激光束，激光束經過兩塊棱鏡耦合偏折后照射在相機靶面，相機與上位機共同處理光斑圖像獲得光斑位置。上位機控制電機轉動，電機通過齒輪系統帶動棱鏡轉動。電機內置編碼器，實時檢測電機位置。

圖9 旋轉雙棱鏡實驗平臺Fig.9 Risley prism experiment platform

5.2 指向誤差實驗分析

由于相機視場角不夠大，本文采用視野拼接技術獲取全部指向范圍內的光斑位置，實驗測得的指向總偏差如圖10所示。采用MATLAB分析理論指向總偏差與實際指向總偏差，MAT?LAB分析結果如表3所示。在MATLAB分析結果中，理論指向偏差最大值為0.362 0°，理論指向偏差均方根為0.047 0°。實驗表明，在99.54%的指向區域中，實驗偏差最大值為0.356 3°，小于理論指向偏差最大值0.362 0°，實驗偏差均方根為0.023 3°，小于理論指向偏差均方根0.047 0°，實驗結果均小于理論分析結果。由圖10可知，實驗結果沒有超出理論分析結果，本實驗證明了理論分析的合理性。

圖10 實驗指向偏差Fig.10 Experiment pointing deviation

表3 理論指向總偏差與實際指向總偏差的MATLAB分析結果Tab.3 MATLAB analysis result of theoretical and actu?al total deviations

6 結 論

本文采用光線矢量傳播原理建立旋轉雙棱鏡系統光束指向模型，根據該模型，采用求偏導方法計算出射光束指向偏轉角和方位角對各個誤差的偏導數，并以各誤差源的精度范圍為輸入計算誤差源對指向結果的影響。仿真分析得出，對出射光影響較大的誤差源包括棱鏡П1對理想光軸的傾斜角、棱鏡П2對理想光軸的傾斜角及棱鏡П2轉角。根據對各誤差源的分析與仿真結果，本文采用誤差合成理論計算各主要誤差源對光束指向的總偏差。仿真計算結果表明，理論指向偏差的最大值為0.362 0°，均方根為0.047 0°。桌面實驗結果表明，在99.54%的指向區域中，實驗偏差的最大值為0.356 3°，均方根為0.023 3°，均小于仿真計算值。這一結果表明本文對旋轉雙棱鏡系統誤差的分析較為準確，對旋轉雙棱鏡平臺的設計和補償修正有一定的參考價值。