基于直線空間旋轉的十字結構光標定

秦訓鵬，丁吉祥*，董寰宇，董書洲

（1.武漢理工大學 現代汽車零部件技術湖北省重點實驗室，湖北 武漢430070；2.武漢理工大學 湖北省新能源與智能網聯車工程技術研究中心，湖北 武漢430070）

1 引 言

線結構光測量以其非接觸式且能獲得較高的幾何精度而在工業測量和三維重構領域得到廣泛的應用［1］。在汽車與交通運輸、航空航天等領域［2］，對于復雜曲面上特征檢測問題一直是研究的熱點問題，如汽車零部件制造與檢測中螺紋孔的圓孔半徑、圓心坐標和圓心位置度等都是質量檢測的重要因素。而傳統的人工測量不僅進度差而且效率低，如工業中測量使用的三坐標測量機等，無法滿足現代生產線上的自動化要求。針對上述問題，國內外學者提出以結構光的形式進行測量。在線結構光測量系統中，相機標定精度和光平面標定精度是影響測量精度的主要因素。

傳統的結構光標定方法有3D靶標法［3-4］、拉絲法［5］和消隱點法［6］等，但上述方法存在標定靶標復雜、標定點數量少、標定過程復雜和標定精度低等問題。鄒圓圓等［7］設計一種標準量塊作為標定靶標，簡化了標定靶標對象，但需要三維精密平移臺配合，標定過程復雜。陳天飛等［8-9］提出利用空間中平行直線與光軸不垂直時在攝像機中投影產生的多個消影點來完成光平面法向求解，避免了復雜靶標的使用，但是需要高精度運動機構來配合求解，由于這種限制，標定方法的可操作性會降低。楊凱等［10］提出一種基于自由移動平面靶標的標定方法，避免了運動造成精度降低和靶標過于復雜等問題，但標定點的數量較少，魯棒性較差。于龍龍等［11］提出的基于二維平面靶標的線結構光標定，以直線方程的形式來表示光條圖像信息，簡化了標定靶標，彌補了標定點少的缺陷，但標定過程仍需移動靶標。然而針對十字結構光標定的研究，Kiddee等［12］提出了一種簡單的CLSL（十字結構光標定）標定方法，以少量的十字光與靶標平面邊線相交的非共線特征點來獲取光平面方程，可以滿足中等精度的測量需求，但標定點數量較少不能充分利用光條信息，同時還需要移動靶標來獲取特征點，操作過程復雜。Zhang等人［13］采用十字結構光來進行焊縫識別測量，以光條中心點作為特征點來擬合光平面方程，最終測量的均方根誤差在1.526 mm以內，標定精度還需進一步提高。

本文提出一種基于直線空間旋轉的十字結構光平面標定，利用靶標平面內光條直線的空間旋轉特性來獲取光平面擬合所需直線，不僅增加特征點數量，而且不需再次移動來獲取光條中心點即可完成光平面標定，既提高了精度，又可使標定的過程更加便捷。

2 十字結構光視覺測量模型

十字結構光視覺測量模型采用相機垂直布置、結構光發射器傾斜布置的結構方式，為保證光條中心點的提取精度，十字結構光入射中心線與水平面的夾角要保證在30°~60°之間，取相機光軸與激光投射中心線所成夾角為45°，且所成平面位于X w Y w Zw平面內，相機坐標系原點到光軸與結構光平面交點的距離為L，其模型示意圖如圖1所示。其中Oc-X cY c Zc為相機坐標系，OXY為圖像坐標系，Oc為攝像機的光軸中心，在靶標平面E上的投影點為O w，以圖像坐標系中的X和Y軸為正方向，以右手準則建立世界坐標系Ow-Xw Y w Zw。

圖1 十字結構光視覺測量模型Fig.1 Cross structured light vision measurement model

根據相機的針孔成像模型和世界坐標系與相機坐標系之間的變換關系［14］，將圖像像素坐標系下的坐標進行射影變換，并建立其與世界坐標系下對應點的轉換關系［8］。

其中：s為比例因子，（u，v）為圖像坐標系中點的像素坐標，M為相機的內參矩陣，其中fx，fy分別為相機在x，y方向上的有效焦距，u0，v0為圖像坐標系下光心坐標，M1為相機的外部參數矩陣，R和T代表世界坐標系與相機坐標系之間的旋轉和平移矩陣。

相機坐標系下，光平面方程的表達式為：

其中，A，B，C，D為待標定的光平面方程系數。

在上述理論的基礎上，本文提出一種十字結構光標定算法，算法流程如圖2所示。

圖2 十字結構光平面標定算法流程Fig.2 Cross structured light plane calibration algorithm

3 十字結構光平面標定

3.1 十字結構光光條中心提取

在實際測量實驗中，十字結構光在物體表面所呈現的光條具有一定的像素寬度，需要采用一種合適的光條中心提取算法來獲取中心點像素坐標，并以光條中心點坐標作為十字結構光的實際投射位置。如圖3所示，為快速、精確地提取圖中特征光條的中心點坐標，對矯正后的圖像提取感興趣區域（ROI）和用高斯濾波去除圖像中的干擾噪聲，其次采用OSTU算法以及基于Hes?sian矩陣的Steger算法［15］提取光條中心。通過OSTU算法設置合適的灰度閾值，提取出光條圖像所在區域，可以提升后續十字結構光中心的提取速度。通過Hessian矩陣獲取特征光條的法線方向，在法線方向上對光條截面的灰度值進行泰勒展開，進而求取光條在截面上的一階零點，即灰度的極大值點，作為光條在該法線方向上中心點。該算法在一定程度上能夠減少圖像中一些由物體表面產生的漫反射光對光條中心提取的影響，具有較好的魯棒性和穩定性，且能達到亞像素級提取精度。

圖3 十字結構光灰度圖Fig.3 Cross structured light grayscale image

3.2 基于單應性矩陣的空間直線方程求解

針對上述提取的光條中心點坐標進行最小二乘擬合，求得直線在相機像素坐標系下的直線方程，將其轉換為齊次表達式為：

其中，A為圖像平面內直線方程的系數矩陣。

而在射影變換中，對于滿足中心投影映射的兩個平面，存在單應性矩陣H使得像平面和靶標平面上的點滿足如下關系［11］：

為獲取兩平面之間的單應性矩陣H，首先使用相機拍攝標定靶標圖像，并通過角點提取算法提取靶標圖像中的所有圓心坐標，如圖4所示，我們定義靶標中間的圓心坐標為世界坐標系原點，且靶標所在平面Zw=0，采用Ransac算法對圓形靶標在像平面內的圓心坐標和在世界坐標系內的坐標進行匹配求解，最后通過L-M優化算法得到單應性矩陣H。相比于使用四對匹配點計算單應性矩陣，本算法由于采用了圓形靶標上的所有圓心特征點坐標來計算單應性矩陣，計算的結果魯棒性更好。

圖4 靶標圖Fig.4 Image of target

根據式（3）和（4）的求解結果，可得兩平面上直線方程的變換關系為：

即：

其中，A w為靶標平面內的直線方程系數矩陣。通過上述圖像坐標系下直線擬合得到的直線方程便可以求解出對應靶標平面上的光條中心線方程。

根據靶標平面所在的世界坐標系與相機坐標系的轉換關系［10］知：

其中，P為空間中的一點從世界坐標系到相機坐標系的位姿轉換矩陣。

根據式（6），進一步可得在相機坐標系下直線方程為：

其中，A c是靶標平面上的直線在相機坐標系下的直線方程系數。

3.3 基于空間直線旋轉的直線方程求解

根據十字結構光平面∏1和∏2與靶標平面相交產生的兩直線在相機坐標系下的空間直線方程，可得兩直線的交點O1為（Xc，Y c，Zc），相對應的在與相機光心同一高度處的一點O2坐標為（Xc，Y c，0）。通過將O2點繞O1點沿Xc軸反向旋轉α度，可得激光器的入射方向，取入射方向上一個入射點F，其坐標為（X c-Zctanα，Y c，0），其中α為激光器入射方向與靶標平面夾角。

對于三維空間中的任意一點M（mx，my，mz）和空間直線L，直線的單位方向向量為n（nx，ny，nz），且經過點Q（x0，y0，z0），如圖5所示。

圖5 空間點繞任意軸旋轉Fig.5 Rotation of space points around any axis

旋轉軸線L在坐標系下的直線方程為：

圓弧MM'旋轉所成平面在坐標系O-XYZ下的平面方程為：

根據式（9）和（10）可以求得：

設圓弧MM'的圓心在坐標系O-XYZ下的坐標（xc，yc，zc）為：

圓半徑r為：

點M'在坐標系o-x'y'z'上的坐標為：

其中，β為點M繞旋轉軸線L的旋轉角度。利用齊次坐標變換，將點M'在坐標系o-x'y'z'的坐標變換到坐標系XYZ的坐標：

其中：T4x4為空間變換矩陣，K=1-cosα，G=

根據空間直線旋轉變換關系，光平面∏2與靶標平面相交產生的光條的中心直線繞軸線FO1旋轉180°后得：

其中，A2R為光平面∏2中的直線旋轉后的直線方程

系數矩陣。進一步可得靶標平面內的光條中心線從圖像像素坐標系到相機坐標系的變換關系為：

其中，A R為相機坐標系下，靶標平面內任意直線繞固定軸旋轉后的直線方程系數矩陣。

3.4 十字結構光平面方程求解

根據上述相機的透視變換模型和空間直線的旋轉變換關系，靶標平面內的光條中心線繞入射中心線旋轉180°后的直線與旋轉前的直線位于同一光平面內，以最小二乘法擬合兩條直線便可以得到光平面方程，即：

其中，平面∏1的法向量n1=（A1，B1，C1），平面∏2的法向量n2=（A2，B2，C2）。以上為整個十字結構光平面的標定過程，完成相應參數的求解即可完成光平面標定。

4 實驗驗證與分析

搭建十字結構光測量系統如圖6所示。激光器采用的是波長為650 nm的十字激光器，功率為100 mW，相機選用Basler公司的面陣相機，鏡頭選用的是Ricoh 8 mm定焦鏡頭。選取圓形靶標標定板，標定板由7×7個實心圓陣列組成，圓形直徑為3.5 mm，相鄰兩個圓形之間的圓心距離為7 mm，外框黑線尺寸為56×56 mm圓點標定板的制造精度為±0.01 mm。

圖6 十字結構光測量實驗系統Fig.6 Cross structured light measurement experiment system

在標定過程中，對標定板的識別和建立坐標系時，以標定板的左上缺角為準，以正中圓心為坐標原點，左側同行圓點中心線為X軸，下側同列圓點中心線為Y軸，以正中圓心垂直于標定板平面為Z軸，建立靶標平面坐標系，如圖7所示。

圖7 靶標平面坐標系Fig.7 Target plane coordinate system

4.1 相機標定

利用工業相機采集24幅不同位置處的標定板圖像。對所采集的24幅標定板圖像，利用opencv中的標定模塊，對每幅標定板圖像中的所有圓形靶標進行圓心提取。利用圓形靶標圓心的亞像素級像素坐標和張正友標定法［16］，即可得到相機的內、外部參數和畸變系數的最優解，其標定結果如表1所示。根據上述參數計算標定點在靶標平面上的重投影誤差的均值為0.06 pixel，使用的相機具有較高的標定精度。

表1 相機標定結果Tab.1 Camera calibration result

4.2 十字結構光平面標定

以第一幅標定板中的靶標平面坐標系為世界坐標系，進行十字結構光平面標定。光條中心提取結果如圖8所示。利用單應性矩陣和坐標變換矩陣，獲取相機坐標系內的光條直線方程如圖9（a）所示，繞固定軸線進行旋轉如圖9（b）所示。光平面擬合結果如圖10所示，獲得兩個光平面∏1和∏2的方程為：

圖8 光條提取結果Fig.8 Light strip extraction results

圖9 直線空間旋轉變換Fig.9 Linear space rotation transformation

圖10 光平面擬合Fig.10 Light plane fitting

4.3 精度分析與對比實驗

為驗證上述標定方法標定結果的準確性，將靶標隨機放置在相機坐標系下的不同高度處，進行光平面標定，對標定后兩光平面的夾角α進行計算，實驗結果如表2所示。

表2 不同位置標定結果Tab.2 Calibration results at different positions

由表2可知，不同高度處的光平面夾角誤差在1°以內，滿足標定精度要求。

如圖11所示，計算每條光條中心直線與每行圓心坐標擬合的直線的交點坐標以及夾角，通過計算相鄰兩交點之間距離的正弦值與標準值的誤差來評估精度。采用交比法［17］和本文方法對靶標在相機坐標系下不同高度處的圓心間距測量結果如圖12所示，表3為同一位置處兩種方法對圓心間距的測量結果。

圖11 靶標圓心間距測量Fig.11 Target distance measurement

根據圖12，本文標定方法得到的測量誤差整體上優于交比法得到的測量誤差，其中本文方法測量的平均絕對誤差為0.023 mm，均方根誤差為0.026 mm，交比法測量的平均絕對誤差為0.035 mm，均方根誤差為0.037 mm。根據表3，對于同一位置處圓心間距的測量，使用本文的標定方法測量的平均絕對誤差為0.025 mm，均方根誤差為0.029 mm，而交比法測量的絕對誤差為0.036 mm，均方根誤差為0.039 mm。

圖12 兩種標定方法的測量誤差Fig.12 Measurement errors of two calibration methods

表3 同一位置不同方法測量結果Tab.3 Measurement results of different methods at the same location （mm）

影響測量精度的因素有很多，包括：光條中心提取和擬合準確度、測量物體表面反光特性、機械載體以及實驗器材的制造誤差等。本文所述標定方法，不需要多次對光條中心進行提取和擬合，也不需要配合機械運動來獲得另一平面內的十字結構光中心線，因此可以減小光條中心擬合次數造成的累積誤差以及機械運動誤差對測量精度的影響。通過上述實驗的誤差對比可知，本文方法比交比法更能獲得較高的標定精度，更加符合測量要求。

5 結 論

本文針對十字結構光平面的快速、高精度標定，提出一種基于直線空間旋轉的十字結構光平面標定方法。利用擬合后的光條中心直線，結合單映性矩陣和世界坐標系與圖像坐標系之間的旋轉變換矩陣，來獲取相機坐標系下的直線方程，通過直線繞任意軸的旋轉變換關系，將直線進行旋轉，擬合相應平面內的直線即可完成光平面標定。該方法以直線替代特征點，同時剔除光條提取過程中的異常數據點，不需要復雜的空間特征點求取，標定的魯棒性更好，且標定過程不需要再次移動靶標平面，標定過程更加簡單。實驗結果表明，本文方法對圓心間距測量的平均絕對誤差為0.023 mm，均方根誤差為0.026 mm，測量精度優于傳統標定算法，且滿足大多數工件的測量精度需求。