雙時滯Volterra微分系統的穩定性

黃明輝，劉 君

（廣州城建職業學院 數學教研室，廣東 廣州 510925）

自然科學、社會科學中眾多學科提出了大量有關時滯微分系統的問題，如種群生態學[1]、傳染病學[2]、神經網絡[3]等.其中，Lyapunov是研究微分系統穩定性問題最常用的方法.但是Lyapunov函數的構造是相對困難的，尤其在高維系統[4]中.此外，在研究具有時滯的微分系統時，Lyapunov方法也會遇到很多困難，比如要求時滯有界[5]等.

近年來，許多學者應用不動點研究微分系統穩定性.經過長期的探索研究，發現采用不動點定理是處理穩定性問題的有效方法之一.作為不動點定理的推廣，文獻[8-12]采用不動點研究了Volterra積分微分系統、隨機積分微分系統和中立型時滯積分微分系統零解的穩定性.

受文獻[8-12]的啟發，本文繼續利用Banach不動點定理研究一類具有雙時滯的Volterra微分系統零解的穩定性.

1 一類具有雙時滯的Volterra微分系統

考慮以下具有雙時滯的非線性中立型微分系統零解的穩定性

2 主要結果

定義1如果K(t)的任意一列都構成系統的一組基本解，則稱K(t)為該系統的基本解矩陣.且滿足K(0)=I，其中I是n階單位矩陣.

定義2若K(t)是系統的基本解矩陣，則稱為狀態轉移矩陣.同時，狀態轉移矩陣K(t,r)滿足Chapman-Kolmogorov等式：

引理1設K(t)是系統的基本解矩陣，則x是系統（1）的解當且僅當

證明設x是系統（1）的一個解，且Φ(t)是系統的基本解矩陣.系統（1）等價于

由式（3）、（4），得

式（5）兩邊同時對t從t0到t積分，可得

為了得出系統（1）零解穩定的充分條件，假設如下條件成立：

（H1）設t∈R，x,y,z,w∈Rn，Q(t,x)、F(x)是關于x的全局Lipschitz連續函數，G(t,x,y)是關于x、y的全局Lipschitz連續函數，即存在正常數，使得

（H2）存在正常數k5，使得

（H3）t→∞，有Φ(t)→0且

（H4）存在常數 0α＞，使得

定理1假設條件（H1）至（H4）成立，則系統（1）的任意一個解x(t,t0,ψ)是有界的且漸近穩定，其中ψ為足夠小的連續函數.此外，零解在0t是穩定的.

證 明令且，則Sψ是一個范數為的完備度量空間.

根據引理1定義映射H：

顯然H是連續的.對給定足夠小的連續函數ψ，且.由于，則存在正常數L，滿足.選擇適當的δ，根據條件（H1）、（H2）、（H4），可得

故Hφ有界.

下面證明當t→∞時，(Hφ) (t)→0.由條件(H1）至（H4），易證明當t→∞時，式（7）的前3項均趨于0，即和

對給定的ε＞0，存在t1＞t0，使得當t≥t1時，有由條件（H3）可得：存在t2＞t1，使得當t≥t2時，有.因此，當t≥t2時，式（7）的最后一項

因此，當t→∞時，.設任意，有

因此，H是一個壓縮系數為α的壓縮映射.由Banach不動點定理得，H在空間Sψ上存在滿足系統（1）的唯一不動點，此不動點是有界、漸近穩定的.此外，用ε代替L，即可得出系統（1）的零解是穩定的.

證畢.