炭黑填充天然橡膠超彈性本構方程的適用性分析

王新宇，岳冬梅，楊海波，張立群

（北京化工大學 有機無機復合材料國家重點試驗室，北京 100029）

在提高橡膠制品研發質量、縮短研發周期方面，有限元技術發揮著越來越重要的作用。國內外學者對于超彈性本構方程已有一些研究[1-4]，并開發出不同混合本構模型[5-7]或新構造本構模型[8]，然而在工程應用中其適用性和準確性還有待驗證；同時輪胎和輸送帶等橡膠制品經常在復雜的受力環境中使用，因此研究本構方程對處于復雜受力狀態下的橡膠制品的準確計算至關重要。需要指出的是，填料填充橡膠在連續循環載荷作用下，由于內部弱鍵鏈段的纏結或斷裂，以及填料顆粒與橡膠基體之間發生弱鍵分離，導致橡膠產生應力軟化[9-10]以及永久變形[11-13]。在以往的研究中，研究者們較少關注在永久變形條件下橡膠制品力學性能的仿真建模，故系統地研究不同本構方程對在有/無永久變形條件下橡膠制品力學性能計算精度的影響非常必要。

本工作以炭黑填充天然橡膠（NR）制成的短粗三點彎曲壓縮試樣（以下簡稱三點彎曲試樣）作為研究對象，采用Abaqus有限元軟件建立與試驗過程相符的有限元模型，分析在有/無永久變形條件下試樣作用力與位移的關系，并與試驗數據進行對比，判斷不同本構方程的計算精度，為工程應用橡膠材料選擇合適的本構方程提供參考。

1 實驗

1.1 試驗配方

NR（RSS1） 100，氧化鋅 3，硬脂酸 1，炭黑N234 40，促進劑CBS 1.5，硫黃 1。

1.2 試樣制備

使用哈克密煉機將塑煉NR捏合均勻，然后依次加入氧化鋅、硬脂酸和炭黑，混煉均勻后取出；密煉膠置于開煉機上加入促進劑和硫黃，混煉均勻后下片；混煉膠停放24 h后使用平板硫化機硫化（143 ℃×9 min）。

1.3 單軸拉伸和平面拉伸及等雙軸拉伸試驗

使用中國臺灣高鐵檢測儀器有限公司生產的拉力試驗機對單軸拉伸和平面拉伸試樣（2 mm厚）進行10次加載-卸載試驗，以消除試樣的Mullins效應，并得到穩定的加載曲線，取最后一次加載的應力-應變數據。等雙軸拉伸試驗數據采用上述類似方法測試[14]。在進行有限元分析時同時輸入以上3種基礎試驗數據能夠確保更精確的力學性能計算精度[15]。力學性能計算精度（ζ）的計算公式為

式中，C和T分別為計算值和測試值。

1.4 三點彎曲試樣壓縮試驗

三點彎曲試樣壓縮試驗如圖1所示，試樣尺寸為200 cm×20 cm×30 cm，工作尺寸為70 cm×20 cm×30 cm。試驗采用拉力試驗機，模具為自制專用測試模具。測試時夾具固定，夾具兩端夾緊試樣，采用位移加載方式對試樣進行加載-卸載10次，以消除試樣的Mullions效應，直至得到穩定的力-位移曲線，取最后一次加載的力-位移數據。為保證試驗數據的準確性，重復試驗5次，測試曲線都高度重合，并在豎直方向產生1.1 mm的永久位移。

圖1 三點彎曲試樣壓縮試驗Fig.1 Compression test of three point bending sample

2 有限元模型

2.1 幾何模型

在有/無永久變形條件下三點彎曲試樣的幾何模型如圖2所示。模型建立過程真實還原試驗過程，試樣兩端上下表面建為剛性面來模擬夾具的夾持端面，采用綁定接觸方式將剛性面與試樣完全固定；建立彎頭剛性體模擬試驗壓頭，彎頭設置沿Y軸負方向的14 mm位移載荷。原始（無永久變形）試樣模型包含6 900個單元、8 272個節點，單元類型為C3D8H雜交單元；有永久變形試樣模型包含8 250個單元、9 856個節點，其中C3D8H單元為5 250個、C3D8R單元為3 000個。在有限元模擬過程中，計算三點彎曲試樣豎直向下壓縮14 mm過程中參考點的作用力，得到力-位移曲線。

圖2 有/無永久變形三點彎曲試樣的幾何模型Fig.2 Geometric models of three point bending samples with or without permanent deformation

2.2 本構方程

超彈性材料的本構關系是用應變勢能來描述的，它定義了材料中某一點單位參考體積存儲的應變能作為該點的應變函數，經過系列求導過程得到本構方程。在Abaqus軟件中自帶六大類可用于近似不可壓縮材料的超彈性本構方程：Arruda Boyce，Marlow和Van Der Waals方程，一至二階Polynomial方程，一至六階Ogden方程，一至六階Reduced Polynomial方程，共17種本構方程。

3 結果與討論

3.1 力的計算誤差分析

17種橡膠材料超彈性本構方程對在有/無永久變形下三點彎曲試樣力的計算誤差如圖3—19所示。

由 圖3—19可 見，Arruda Boyce，Marlow和Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差小于以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差，尤其是二階Polynomial方程在位移最大值的計算誤差僅為0.08%，即計算精度達到99.92%，其在位移小于5 mm時計算誤差大于10%，在位移為5～9 mm范圍內計算誤差大于5%，在位移大于9 mm時計算誤差小于5%。Van Der Waals方程在位移超過2.8 mm臨界點后，以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差大于以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差，整體計算誤差小于20%。一至三階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差小于以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差，尤其是三階Ogden方程在最大位移時的計算誤差僅為0.73%，即計算精度達到99.27%，其在位移小于6 mm時計算誤差大于10%，在位移為6～9 mm范圍內計算誤差大于5%，在位移大于9 mm時計算誤差小于5%；四至六階Ogden方程在位移分別超過8.3，5.7和5.0 mm臨界點后，以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差小于以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差，并且隨著階數的增大，臨界點位移逐漸減小，四階Ogden方程在位移大于9 mm時計算誤差小于1%，具有非常高的計算精度。一至二階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差隨著位移的增大逐漸減小，且以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差小于以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差；三至六階Reduced Polynomial方程在位移分別超過7.6，4.7，3.2和2.5 mm臨界點后，以無永久變形試樣作為建模對象的計算誤差小于以有永久變形試樣作為建模對象的計算誤差，并且隨著階數的增大，臨界點位移逐漸減小，三階Reduced Polynomial方程在位移大于8 mm時計算誤差小于1%，具有非常高的計算精度。

圖3 Arruda Boyce方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.3 Force calculation errors of Arruda Boyce equation for three point bending samples

圖4 Marlow方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.4 Force calculation errors of Marlow equation for three point bending samples

圖5 Van Der Waals方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.5 Force calculation errors of Van Der Waals equation for three point bending samples

圖6 一階Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.6 Force calculation errors of Polynomial first order equation for three point bending samples

圖7 二階Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.7 Force calculation errors of Polynomial second order equation for three point bending samples

圖8 一階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.8 Force calculation errors of Ogden first order equation for three point bending samples

圖9 二階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.9 Force calculation errors of Ogden second order equation for three point bending samples

圖10 三階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.10 Force calculation errors of Ogden third order equation for three point bending samples

圖11 四階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.11 Force calculation errors of Ogden fourth order equation for three point bending samples

圖12 五階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.12 Force calculation errors of Ogden fifth order equation for three point bending samples

圖13 六階Ogden方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.13 Force calculation errors of Ogden sixth order equation for three point bending samples

圖14 一階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.14 Force calculation errors of Reduced Polynomial first order equation for three point bending samples

圖15 二階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.15 Force calculation errors of Reduced Polynomial second order equation for three point bending samples

圖16 三階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.16 Force calculation errors of Reduced Polynomial third order equation for three point bending samples

圖17 四階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.17 Force calculation errors of Reduced Polynomial fourth order equation for three point bending samples

圖18 五階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.18 Force calculation errors of Reduced Polynomial fifth order equation for three point bending samples

圖19 六階Reduced Polynomial方程對三點彎曲試樣力的計算誤差Fig.19 Force calculation errors of Reduced Polynomial sixth order equation for three point bending samples

3.2 有限元分析結果

三點彎曲試樣壓縮14 mm的有限元分析結果如圖20所示。

由圖20（a）可見，試樣中心處向下位移14 mm，試樣位移由中間向兩邊依次減小。圖20（b）—（d）分別示出沿X軸的拉伸應變（NE11）、沿Y軸的壓縮應變（NE22）以及在YZ平面沿Y軸的剪應變（NE12），應變和應力結果表明了試樣復雜的受力狀態，與試驗預期相符合。

圖20 三點彎曲試樣應變-應力計算云圖Fig.20 Nephograms of strain-stress calculation of three point bending samples

4 結論

隨著橡膠制品的使用環境越來越復雜，對其受力計算精度的要求也越來越高。本工作選用炭黑填充NR制成三點彎曲試樣，在復雜的受力狀態下采用不同本構方程對有/無永久變形試樣進行建模和有限元分析，結果表明：對于無永久變形試樣，四階Ogden和三階Reduced Polynomial方程在大位移下有非常高的計算精度；對于有永久變形試樣，三階Ogden和二階Polynomial方程在大位移下有非常高的計算精度。

在工程應用中，一般要求模型的計算誤差控制在10%以內，即計算精度達到90%以上能夠滿足設計需要，本工作模型的計算精度完全滿足應用條件。此外，本工作模型基于超彈性本構方程，橡膠制品在使用過程中的粘彈性等影響因素在一定程度上會對其計算結果產生影響。

在使用有限元軟件對橡膠制品力學性能進行有限元計算時，慣性思維使人們直接采用試樣原始尺寸進行建模，但是由于橡膠材料在重復使用中會發生永久變形的特殊性質，對產生永久變形試樣進行建模同樣重要。