基于熱氣彈耦合的懸臂式箔片氣體動壓軸承動態特性分析

魏訓濤，尹明虎，張龍，韓揚，寇名仕

(1.兗州煤業股份有限公司 設備管理中心，山東 濟寧 273500；2.兗礦集團 博士后科研工作站，山東 濟寧 273500；3.西安理工大學 機械與精密儀器工程學院，西安 712048)

1 概述

相較于傳統液體動壓軸承，氣體軸承以黏度遠低于液體的空氣(或惰性氣體等其他氣體)作為潤滑介質，可使軸承在轉速提高5～10倍，支承精度提高2個數量級的基礎上降低3個數量級的功耗，使軸承工作壽命提高了數十倍[1]。而且，氣體軸承無污染，可在低溫和高溫中使用等優點使其成為高速、低摩擦、高精密及特殊工況下支承的首選方案，在軍事、航空、航天、醫療等高新技術行業得到了廣泛認可及應用。

箔片氣體動壓軸承是氣體軸承的一種重要形式，其利用具有撓性支承結構的箔片構成軸瓦，很好抑制了動壓軸承的渦動現象。箔片氣體動壓軸承有懸臂式、張緊式、纏繞式、波箔式和多楔式等多種結構形式,本文的研究對象——懸臂式箔片氣體軸承如圖1所示，其軸瓦由若干箔片沿軸承內壁均勻重疊排列組成，箔片一端固定在軸承座的凹槽內，另一端則與相鄰箔片互相疊搭[2-3]。

圖1 懸臂式箔片氣體軸承結構簡圖Fig.1 Structure diagram of cantilever type foil aerodynamic bearing

懸臂式箔片氣體軸承在軍事和航空領域的應用價值和潛力對其發展起到了巨大的推動作用，并成為相關領域的研究熱點[3]。文獻[4]采用增量有限元法求解可壓縮雷諾方程，獲得了懸臂式箔片氣體軸承的靜、動態特性，并分析了壓縮性系數、箔片剛度等對其性能的影響；文獻[5]利用剛柔接觸理論研究了大預緊力下懸臂式箔片氣體軸承的非線性接觸行為；文獻[6]研究了以氮氣和氧氣作為潤滑介質的懸臂式箔片氣體軸承的靜、動態特性；文獻[7-8]針對透平機械中使用的大直徑懸臂式箔片氣體軸承，開發了測量其承載能力的試驗裝置，并基于動網格技術的CFD仿真獲得了軸承的動態特性系數；文獻[9]在考慮安裝預緊力及箔片型面精度的條件下，通過試驗對懸臂式箔片氣體軸承的承載能力及動態特性系數進行了分析，研究表明通過控制預緊力及型面精度可調整軸承的承載能力、剛度和阻尼；文獻[10]研究了懸臂式箔片氣體軸承中相鄰箔片間的面接觸問題；文獻[11]對某懸臂式箔片氣體軸承進行了原理性試驗；文獻[12]對某渦輪冷卻器用懸臂式箔片氣體軸承進行了靜態加載和運行試驗；文獻[13]運用彈性力學理論對懸臂式箔片氣體軸承的箔片變形進行了分析；文獻[14]基于幾何分析建立了懸臂式箔片氣體軸承預緊力的計算方法，并通過有限元仿真驗證了其可靠性；文獻[15]分析了擾動頻率對懸臂式箔片氣體軸承剛度和阻尼系數的影響；文獻[16-17]研究了懸臂式箔片氣體軸承的彈性變形及溫度場；文獻[18-19]在等溫假設條件下分析了懸臂式箔片氣體軸承的靜、動態特性；文獻[20]分析了懸臂式箔片氣體軸承的穩定性；文獻[21]通過試驗研究了懸臂式箔片氣體軸承支承的轉子系統的振動特性；文獻[22]在考慮箔片間及箔片與轉子間接觸的條件下，分析了結構參數對懸臂式箔片氣體軸承的影響。

從上述研究可以看出，懸臂式箔片氣體軸承主要應用于高速/超高速轉子系統的支承，軸承的動態特性對整個轉子系統的穩定性至關重要。因此，綜合考慮懸臂式箔片氣體軸承工作過程中的流體動壓效應、箔片變形及熱效應等因素，基于雷諾方程、能量方程、箔片彈性變形方程、熱平衡方程等建立了熱氣彈耦合條件下的懸臂式箔片氣體軸承性能計算模型，并重點分析箔片數目、長徑比等對其動態特性(剛度系數和阻尼系數)的影響。

2 理論計算模型

建立懸臂式箔片氣體軸承熱氣彈耦合性能計算模型，須綜合考慮軸承工作過程中的流體動壓效應、箔片變形及熱效應。因此，分別建立考慮箔片彈性變形的氣膜厚度方程、可壓縮流體的雷諾方程、考慮傳熱及對流換熱的能量方程，通過上述方程的耦合實現熱氣彈耦合條件下軸承的性能計算。

2.1 考慮箔片彈性變形的氣膜厚度方程

懸臂式箔片氣體軸承內的幾何關系如圖2所示，某箔片一端固定在軸承殼A點，另一端與后一箔片在B點搭接，前一箔片則與此箔片在S點搭接，圖中C點為此箔片的曲率中心，虛線圓為各箔片曲率中心形成的半徑Rg的生成圓。由圖中幾何關系可得，此箔片上的氣膜厚度h為

圖2 懸臂式箔片氣體軸承內的幾何關系Fig.2 Internal geometrical relationship of cantilever type foil aerodynamic bearing

(1)

式中：Rf為箔片半徑；α，τ分別為以軸承中心、箔片中心為極心的坐標系下的角度；Disp為箔片徑向變形，下標i為箔片編號；e為軸承偏心距。

(2)

考慮到箔片為柱形薄殼，由彈性薄殼力學的相關知識可知，基于柱形薄殼的幾何尺寸有3種計算方法：邊長比大于3的柱形殼，用梁理論；邊長比為0.5～3.0的中長殼，用有矩理論；邊長比小于0.5的短殼，用無矩理論[13]。對于懸臂式箔片氣體軸承而言，箔片的長徑比一般為0.5～3.0且比箔片的厚度大得多，因此采用計算柱形薄殼彈性變形的有矩理論計算箔片的彈性變形。對箔片微元體進行受力分析，可得其變形方程為

(3)

(4)

(5)

2.2 雷諾方程

忽略流體慣性力，由納維-斯托克斯方程(N-S方程)推導出描述軸承內氣膜壓力的可壓縮氣體雷諾方程，即

(6)

式中：p為氣膜壓力；U為軸頸的圓周速度；ρ為氣體密度；η為氣體動力黏度。

(7)

考慮到箔片搭接處的結構突變及氣體壓力、溫度、密度三者間的耦合關系，在模型中納入了流量連續性方程及氣體狀態方程，即

(8)

式中：u，v和w為流體沿各x，y，z坐標方向的速度(z為軸承寬度方向，垂直于圖2所示的xOy平面)；R為理想氣體常數；T為溫度。

2.3 考慮傳熱及對流換熱的能量方程

基于功能原理，考慮氣膜工作時的對流換熱和摩擦生熱，得到了描述軸承內溫度分布的能量方程，即

(9)

式中：cv為氣體比熱容。

(10)

式中：cva為標準大氣壓及室溫條件下的氣體比熱容；Ta為室溫。

同時，考慮氣膜與箔片、箔片與外界空氣之間的熱交換可得

(11)

式中：λi為氣膜與箔片之間的受迫對流換熱系數；λo為箔片與外界空氣之間的自然對流換熱系數；κ為箔片熱導率；Tg，Tb和To分別為氣膜、箔片和外界空氣的溫度。

2.4 性能計算流程

聯立(1)—(11)式并采用有限差分法求解，獲得熱氣彈耦合條件下懸臂式箔片氣體軸承內的氣膜壓力分布、溫度分布、軸承承載力、軸承剛度、阻尼等特性參數。計算流程如圖3所示，采用Matlab編程求解，程序收斂條件為相鄰2次迭代計算所得氣膜壓力之間的誤差小于0.5%。

圖3 懸臂式箔片氣體軸承性能計算流程Fig.3 Performance calculation process of cantilever type foil aerodynamic bearing

計算過程中采用雷諾邊界條件，即

(12)

各箔片上的量綱一的氣膜承載力可由氣膜壓力的積分計算，即

(13)

對應的氣膜承載力為

(14)

整個軸承的承載力可由各箔片上氣膜力合成得出。

采用小擾動法進行懸臂式箔片氣體軸承動態特性系數的計算，給定微小的位移擾動和速度擾動，分別計算擾動前后軸承承載力的變化量，通過軸承承載力變化量與對應擾動量之比得到量綱一的剛度系數K和阻尼系數D，即

(15)

(16)

軸承剛度系數k(N/mm)和阻尼系數d(N·s·mm-1)為

(17)

2.5 模型驗證

某懸臂式箔片氣體軸承的基本參數見表1，偏心率為0.8時，該懸臂式箔片氣體軸承的氣膜壓力分布及溫度分布如圖4所示(計算時每片箔片網格為40×20,軸向方向表示量綱一的軸承寬度)，由圖可知：由于箔片搭接處存在結構突變而導致氣膜厚度發生了突變，軸承的氣膜壓力分布及氣膜溫度分布均出現了明顯波動，氣膜壓力最大值附近即為氣膜溫度最高處，與相關文獻[19-20]的計算結果一致。

表1 懸臂式箔片氣體軸承的基本參數Tab.1 Basic parameters of cantilever type foil aerodynamic bearing

圖4 懸臂式箔片氣體軸承的氣膜壓力及溫度分布Fig.4 Gas film pressure and temperature distributions of cantilever type foil aerodynamic bearing

為進一步驗證本文所建模型的可靠性，采用該模型對文獻[23]中的懸臂箔片氣體軸承進行性能計算，結果如圖5所示，由圖可知：本文計算結果與文獻[23]理論計算結果十分接近，文獻[23]在等溫假設下進行建模及理論計算但并未給出溫度的具體取值，本文按室溫25 ℃進行熱氣彈耦合性能計算，故兩者的計算結果存在一些差異；由于本文及文獻[23]理論計算中均未考慮轉子自重的影響，理論計算結果與試驗結果存在一定差異，但與文獻[23]試驗結果的變化趨勢有很好的一致性，也一定程度上證明了本文模型的可靠性。

圖5 文獻[23]中懸臂式箔片氣體軸承氣膜承載力計算結果的對比Fig.5 Results comparison between reference[23]and this paper on gas film load capability of cantilever type foil aerodynamic bearing

3 軸承動態特性分析

基于建立的懸臂式箔片氣體動壓軸承熱氣彈耦合性能計算模型，分析箔片數目N、長徑比L、偏心率ξ對軸承動態特性系數(剛度系數和阻尼系數)的影響，分析所用軸承的基本結構及工況參數見表1。

不同偏心率下，箔片數目(L=0.8)和長徑比(N=10)對軸承剛度系數k的影響如圖6所示，由圖可知：1)隨著箔片數目的增加，箔片懸臂段的長度逐漸減小，箔片的剛度系數逐漸增大，從而導致相同偏心率下箔片的彈性變形逐漸減小，氣膜厚度逐漸減小，軸承剛度系數逐漸增加；2)隨著長徑比的增加，軸承的承載面積逐漸增大，氣體端泄阻力亦增大，進而導致相同偏心率下軸承的承載力逐漸增大，軸承剛度系數也逐漸增大。

圖6 不同偏心率下，箔片數目和長徑比對剛度系數的影響Fig.6 Influence of foil number and length-diameter ratio on stiffness coefficient under different eccentricities

此外，不同于液體滑動軸承，當偏心率增加到一定數值后，軸承剛度系數出現了降低的現象，這正是彈性箔片自適應調節作用的體現。在大偏心率下，軸承承載較大，箔片會產生較大的變形以調整氣膜厚度，從而使氣膜承載力略有降低，軸承剛度系數亦有所降低，如圖7所示。

圖7 不同偏心率下軸承的氣膜壓力及承載力Fig.7 Gas film pressures and load capacity of bearing under different eccentricities

不同偏心率下，箔片數目(L=0.8)和長徑比(N=10)對軸承阻尼系數D影響的計算結果見表2，由表可知：相較于軸承剛度系數，偏心率、箔片數目和長徑比對軸承阻尼的影響較為復雜；總的來說，隨著箔片數目和長徑比的增加，軸承承載力逐漸增大，軸承阻尼系數也呈現逐漸增大的趨勢；在偏心率從0.2增加至0.6的過程中，軸承阻尼系數隨偏心率的增加而逐漸增大；但在偏心率為0.8時，主阻尼系數Dyy出現了下降，交叉阻尼系數Dxy甚至出現了負數(表中黃色標出的數據)，這可能是由于大偏心率下箔片變形較大，氣膜不穩定所導致。

表2 不同偏心率、箔片數目及長徑比下的軸承阻尼系數Tab.2 Damping coefficient of bearing under different eccentricities, foil numbers and length-diameter ratios

4 結論

基于箔片變形方程、氣膜厚度方程、雷諾方程、能量方程建立了懸臂式箔片氣體軸承的熱氣彈耦合性能計算模型，并據此分析了箔片數目、長徑比、偏心率對軸承動態特性系數的影響，可得出以下結論：

1)箔片數目的增加減小了箔片的懸臂段長度，增大了箔片剛度系數，減小了氣膜厚度，軸承剛度系數和阻尼系數隨箔片數目的增加逐漸增大。

2)長徑比的增加增大了軸承承載面積，加大了氣體端泄阻力，增大了軸承承載力，軸承剛度系數和阻尼系數隨長徑比的增加而逐漸增大。

3)由于彈性箔片的自適應性，在大偏心率下可產生較大的變形以維持合理的氣膜厚度，因此隨著偏心率的增加，軸承剛度系數先增大后減??；在大偏心率下(本文結果顯示為0.8左右)，軸承阻尼系數則呈現出較為復雜的變化規律。

通過本文分析可知，懸臂式箔片氣體動壓軸承動態特性與箔片數目及結構息息相關，對于懸臂式箔片氣體動壓軸承支承的轉子系統而言，可通過優化箔片數目、厚度、長徑比等結構參數提升系統動態性能及穩定性。