發射自適應置零數字多波束形成算法研究

高 星，楊 坡，徐 磊

(中國船舶重工集團公司第七二三研究所，江蘇 揚州 225101)

0 引 言

為了擴大相控陣雷達的同時觀測空域范圍以及搜索與跟蹤數據率，相控陣天線必須具有發射多波束形成能力。傳統相控陣雷達的發射多波束主要采用模擬方式產生，通過功分網絡將信號分到各個通道中，再經過移相器對信號進行移相，實現掃描波束賦形。其主要缺點是一旦多波束網絡確定之后，波束形狀、相鄰波束間隔以及它們的相交電平等便固定不變，難以對波束進行靈活控制，給調整和使用帶來極大的困難。數字多波束則通過直接數字式頻率合成器來完成發射工作，在數字域將信號進行加權處理后直接發射，具有靈活控制波束指向且方便實現發射波束的零點控制、超高分辨率或超低旁瓣等特點，為相控陣雷達實現多功能、同時多任務提供了技術基礎，也為相控陣雷達實現靈活抗干擾提供了手段。本文在發射多波束形成的基礎上，研究了自適應置零發射多波束的形成算法，其使得相控陣雷達發射波束在目標方向上形成窄的主波束，以增強目標信號；同時在干擾方向上形成零陷，以降低干擾對目標提取的影響。

1 發射數字多波束形成原理

發射數字波束形成與接收數字波束形成的原理相類似，下面以一維陣列為例來闡述發射數字多波束形成的原理。

如圖1所示，由

M

個全向陣元均勻排列組成陣列，陣元間間距為

d

，發射信號為：

圖1 發射多波束形成原理框圖

s

(

t

)=

z

(

t

)ej

(1)

式中：

w

為發射信號的載波角頻率；

z

(

t

)為發射信號的復包絡。設遠場測試點

S

與線陣的夾角為

θ

(

i

=1，2，3，…，

M

)，發射波在

θ

方向上的等相位面為

P

，則陣元

m

(

m

=1，2，3，…，

k

)到達平面

P

的傳播延時可以表示為：

(2)

若陣元1的發射信號為

s

(

t

)，則陣元

m

的發射信號可以表示為：

s

(

t

+

τ

)=

z

(

t

+

τ

)ej(+)

(3)

當發射信號為窄帶信號時，其復包絡是慢變化的，則陣元

m

的發射信號可表示為：

s

(

t

+

τ

)=

s

(

t

)ej=

s

(

t

)ej

(4)

其中：

φ

=2π

d

sin

θ

/λ

(5)

將整個發射陣列寫成向量形式：

(

t

)=(

θ

)

s

(

t

)

(6)

(

θ

)=[1 ej… ej(-1)]

(7)

式中：(

θ

)為信號

s

(

t

)的方向矢量，其主要與發射角度

θ

以及陣列幾何結構有關。

設發射陣列空域濾波器的權值為：

=[

w

1

w

1…

w

]

(8)

對于方向為

θ

的遠場接收區，其能量分布為：

(9)

式中：

φ

=2π

d

sin

θ

/

λ

。

寫成向量形式：

(

θ

)=

s

(

t

)(

θ

)

(10)

根據疊加原理，對同時

k

個發射波束，輸出的信號可以表示為：

(11)

2 發射自適應置零數字多波束形成算法

2.1 正交投影算法

正交投影自適應波束形成方法將期望導向矢量向干擾子空間的正交補空間投影，得到自適應權向量，從而使期望方向的波束與干擾方向正交。

=-

(12)

從而可以得到自適應權向量：

=·(

θ

)=(-)·(

θ

)

(13)

=((

θ

),(

θ

),…,(

θ

))

(14)

則在這一組基下的正交投影矩陣可以表示為：

=()

(15)

進而自適應權向量可以表示為：=(-())·(

θ

)

(16)

2.2 線性約束最小方差算法

線性約束最小方差(LCMV)準則可以表示為：

(17)

式中：為協方差矩陣；為約束值矢量；為要求的最優權值；為約束矩陣，則其最優解可表示為：

(18)

發射自適應置零多波束形成可描述為如下的優化問題：

(19)

式中：

θ

為期望方向；

θ

為第

i

個干擾方向，由于|(

θ

)|=(

θ

)(

θ

)，因此令：

(20)

式中：

σ

是為了防止為奇異矩陣而做的對角加載。2.3

導數約束加寬零陷算法

為了在角度

θ

,

θ

,…,

θ

形成加寬零陷，只需要波束圖

P

(

θ

)對

θ

的高階導數在

θ

(

i

=1,…，

L

)處為0即可：

(21)

式中：

φ

=πsin(

θ

)。將方向圖

P

(

θ

)=(

θ

)代入上式求導得：

(22)

因此導數約束的寬零陷發射波束形成算法的改進優化問題等價于：

(23)

式中：=diag(0,1,…,

M

-1)。令=[(

θ

),(

θ

),…,(

θ

-1),(

θ

),(

θ

),…,(

θ

-1)]，對矩陣做奇異值分解可得：=

(24)

式中：為的所有奇異值組成的對角矩陣。將

M

階酉矩陣表示為[]的形式，則根據奇異值分解的性質，可得上述優化問題的解為：

(25)

式中：為矩陣(

θ

)(

θ

)特征值分解后非零特征值所對應的特征向量。

3 仿真分析

下面利用均勻線陣對發射自適應置零數字多波束形成算法進行仿真分析。

3.1 正交投影算法

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，3 dB波束寬度為3.1°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-10°，-3.1°，0°，3.1°，30°)，采用正交投影算法仿真結果如圖2所示。

圖2 正交投影算法自適應置零仿真圖(最小間隔3.1°)

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，4 dB，波束寬度為3.6°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-10°，-3.6°，0°，3.6°，30°)，采用正交投影算法，仿真結果如圖3所示。

圖3 正交投影算法自適應置零仿真圖(最小間隔3.6°)

由仿真圖2、圖3可知，5個發射波束均在除自身以外的其它4個波束主瓣方向上形成了零陷，實現了發射多波束之間的隔離。由圖2可知，發射波束最小間隔為3 dB、波束寬度為3.1°的2個波束主瓣都偏離了期望方向，而且第一副瓣電平也有所提高。由圖3可知，發射波束最小間隔為4 dB、波束寬度為3.6°時，波束主瓣方向未發生偏移，波束第一副瓣也未發生變化。因此，在實際工程應用中，正交投影算法自適應置零多波束形波束指向間隔不能小于4 dB波束寬度。

3.2 線性約束最小方差算法

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，3 dB波束寬度為3.1°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-10°，-3.1°，0°，3.1°，30°)，采用線性約束最小方差算法，仿真結果如圖4所示。

圖4 線性約束最小方差算法自適應置零仿真圖(最小間隔3.1°)

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，4 dB波束寬度為3.6°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-10°，-3.6°，0°，3.6°，30°)，采用線性約束最小方差算法，仿真結果如圖5所示。

圖5 線性約束最小方差算法自適應置零仿真圖(最小間隔3.6°)

由仿真圖4、圖5可知，與正交投影算法類似，5個發射波束在除自身以外的其它4個波束主瓣方向上形成了零陷，在最小波束間隔為3.1°的2個波束主瓣都偏離了期望方向，第一副瓣電平也有所提高，而在波束寬度為3.6°時，波束主瓣方向未發生偏移，波束第一副瓣也未發生變化。因此，同正交投影算法，線性約束最小方差算法要求波束指向間隔不能小于4 dB波束寬度。

3.3 導數約束加寬零陷算法

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，4 dB波束寬度為3.6°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-30°，-3.6°，0°，3.6°，30°)，采用導數約束加寬零陷算法，仿真結果如圖6所示。

圖6 導數約束加寬零陷算法自適應置零仿真圖(最小間隔3.6°)

陣元間距為發射信號的半波長，陣元個數為32，3 dB波束寬度為3.1°，同時發射5個波束，波束指向分別為(-30°，-5.6°，0°，5.6°，30°)，采用導數約束加寬零陷算法，仿真結果如圖7所示。

圖7 導數約束加寬零陷算法自適應置零仿真圖(最小間隔4°)

由仿真圖6、圖7可知，使用導數約束加寬零陷算法，5個發射波束在除自身以外的其它4個主瓣方向形成了零陷，并且有效地加寬了零陷，然而其主瓣有所展寬。由圖6可知，4 dB波束寬度間隔時的主瓣都偏離了期望方向，因此4 dB波束寬度間隔已不能滿足波束隔離要求。通過仿真計算，當采用5.6°(3 dB波束寬度的1.8倍)時，主瓣都回歸了期望方向，因此導數約束加寬零陷算法下的主瓣間隔不能小于3 dB波束寬度的1.8倍。

4 結束語

本文介紹了幾種發射自適應置零多波束形成算法，包括正交投影算法、線性約束最小方差算法以及導數約束加寬零陷算法，對每種方法都進行了仿真分析。通過仿真分析可以看出，每種波束形成算法都有其優點與不足，正交投影算法、線性約束最小方差算法要求的波束間隔窄，但零陷寬度不夠寬，導數約束加寬零陷算法雖然零陷寬度寬，但相應地要求波束間隔變大。實際工程應用中，由于干擾角度估計存在一定的誤差，另外當干擾處于高速運動時，會造成自適應權失配，干擾跳出零陷區域，因此實際應用時建議使用導數約束加寬零陷算法，擴大零陷寬度，增加系統的魯棒性。當然，對于干擾方向固定的干擾則可以采用正交投影算法和線性約束最小方差算法，以降低對波束間隔的要求。