薄壁圓管膨脹變形行為的量綱分析及理論研究

吳明澤，張曉偉，鐘賢哲，張慶明

(北京理工大學 爆炸科學與技術國家重點實驗室， 北京 100081)

提 要:通過有限元數值方法及已有圓管膨脹試驗對金屬圓管膨脹的變形行為進行研究，研究發現圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1主要受圓管和壓模初始幾何結構參數影響，而受圓管材料和摩擦因數的影響較??；基于量綱分析，得到膨脹后圓管的幾何尺寸h和D1與主要影響因素之間的量綱一關系式. 結合量綱一關系式與能量守恒定律，提出圓管穩態膨脹過程中穩態下壓力的預測模型，模型中考慮了材料的應變強化效應和壓模外徑對膨脹管彎曲區域曲率的影響，結果表明該模型的預測值與試驗結果、仿真結果能較好地吻合.

薄壁結構具有較高的比強度和比剛度，而且在受到沖擊載荷作用時表現出良好的吸能特性. 因此，在抗沖擊結構中得到廣泛的應用[1-3]，如列車車廂之間的防沖擊碰撞保護裝置[4]. 其中，薄壁圓管的膨脹變形具有變形過程穩定、載荷平穩、對下壓載荷方向不敏感等特點，而引起學者廣泛關注[5]. 相關研究表明膨脹管的吸能性能不僅受圓管和壓模的幾何結構影響，同時圓管與壓模接觸表面的摩擦因數和沖擊速度對此也有較大的影響[6-8]. 其中，膨脹穩態力作為反映圓管變形吸能性能的重要指標，對其建立相關的預測模型，將對膨脹管吸能裝置的結構設計具有一定的指導意義. 許多學者將圓管膨脹后的側截面簡化為三條線段，并基于應力平衡對膨脹穩態力進行理論解析；但是，該簡化幾何模型與圓管膨脹區域實際形狀相差較大，管壁的彎曲變形被忽略[9-12]. LUO等[13]基于小撓度假設，根據板殼理論建立控制方程對圓管膨脹的整個過程的膜力和彎矩進行分析，建立相應的理論模型. 但上述的模型都將引入復雜的偏微分方程，以對穩態力進行求解. LIU等[14]首次提出將膨脹后圓管的軸向側截面簡化為兩段曲率半徑相等的圓弧和一條線段，該簡化模型與實際幾何形狀更為貼近，并基于剛塑性材料和能量守恒進行理論推導. YAO等[15]建立吸能性能參數與各影響因素之間的響應面回歸模型，并結合相關目標函數對膨脹機構進行結構優化.

本文利用Abaqus/static對不同工況和材料下薄壁圓管的膨脹過程進行數值仿真，分析圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1與各影響因素之間的規律. 通過量綱分析得到圓管膨脹后的幾何尺寸h和D1與各有效影響因素之間的量綱一關系；并基于剛-冪次強化材料模型和能量守恒，在LIU等提出的側截面假設上，進一步考慮了應變強化和壓模外徑對兩圓弧曲率半徑的影響，重新建立膨脹穩態力的預測模型.

1 模型的建立

1.1 模型的建立

圖1為圓管膨脹機構簡圖，其主要由壓模和圓管兩部分組成，壓模的外徑大于圓管的內徑，壓模向下擠壓圓管，使圓管發生徑向擴張的塑性大變形. 本文通過有限元軟件Abaqus/static對圓管的膨脹進行數值仿真，其中壓模設為剛體，圓管為變形體. 考慮到圓管膨脹過程的軸對稱性，有限元建模采用軸對稱模型(圖2所示)，單元類型采用CAX8R單元，并采用罰函數進行接觸定義.

圖1 膨脹機構簡圖Fig.1 Expansion mechanism

圖2 有限元仿真模型Fig.2 Finite element mode

為了驗證仿真的準確性，采用文獻[6]中的三個試驗工況數據與數值仿真結果對照，如表1所示. 對比顯示，仿真穩態力Fs與試驗穩態力Fe相差不超過8%，數值仿真結果具有較好的可靠性.

表1 仿真驗證工況[6]Tab.1 Validiton works for simulation[6]

對不同工況和材料下的圓管膨脹進行數值仿真，尋找圓管膨脹后的幾何尺寸與各影響因素的規律，其影響因素包括圓管內徑、厚度、壓模外徑、壓模傾斜角度、摩擦因數、材料. 將圓管的長度設置為200 mm，其足夠長以避免圓管底端固支約束對膨脹的影響，壓模軸向下壓的位移為120 mm. 表2列出了不同工況的詳細參數，A類工況只改變壓模的傾斜角度，B類工況只改變圓管的厚度，C類工況只改變壓模的外徑，D類工況只改變摩擦因數.

表2 不同工況下圓管、壓模的幾何尺寸和摩擦因數

1.2 材料的選取

選取了C45鋼、AA-6061鋁合金、銅三種合金，用來研究圓管材料的不同對圓管膨脹后幾何尺寸的影響. 三種材料的相關力學參數如表3所示. 其中，Y為屈服應力，B為硬化模量，n為硬化指數.

表3 各材料力學參數[16-18]Tab.3 The mechanic parameters of different materials[16-18]

2 仿真結果分析及量綱分析

圖3為圓管膨脹的管壁軸向截面簡圖，研究不同工況下圓管膨脹后的內徑D1和兩弧區域C、A兩點的高度差h. 圖4和圖5展示了不同工況下D1和h的比較，顯示不同金屬材料的圓管在相同的工況下膨脹，其內徑D1相差不超過2%，高度差h不超過3%. 并且，由D工況數據看出，摩擦因數對圓管膨脹后幾何尺寸D1和h的影響相差不超過3%. 說明材料屬性和摩擦因數對圓管膨脹后的內徑D1和兩弧區域高度差h的影響很小，其主要受圓管和壓模的幾何結構影響.

采用量綱分析的方法對它們之間的關系進一步研究. 膨脹過程中的幾何自變量有4個，分別為圓管的內徑D0、圓管的厚度t0、壓模的外徑Dd、壓模的傾斜角度α；因變量有2個，分別為圓管膨脹后內徑D1和膨脹截面兩弧度區域的高度差h.

以圓管的初始內徑D0為基本物理量，根據π定理進行量綱一分析：

(1)

(2)

圖3 軸向截面簡圖Fig.3 A sketch of the axial profile

當研究的量綱一參數在相對較小的范圍內變化時，可對以上未知函數采用冪函數作為近似[19]. 但由文獻[6]中的試驗結果可知，當圓管內徑一定，若圓管厚度越小，膨脹后圓管的內壁就越靠近壓模的外壁. 隨著厚度的減小即厚徑比的減小，D1/D0存在一個極限值，其值無限接近于Dd/D0；因此在t0/D0較小的情況下，量綱一D1/D0與t0/D0之間的關系用指數函數更貼近實際情況. 因此，在這里采用了分段函數，當t0/D0≤0.06時，采用指數函數；當t0/D0>0.06時，采用冪函數. 同樣，隨著壓模傾斜角度的減小，圓管膨脹后的內壁也會無限貼近壓模的外壁.D1/D0也存在一個極限值，無限接近于Dd/D0，因此D1/D0與α之間的關系用指數函數更合適. 式(1)(2)的未知函數采用以下函數近似：

(3)

(4)

根據以上的擬合結果，可得到以下的量綱一關系式：

(5)

圖4 D1與各自變量的量綱一關系Fig.4 The dimensionless relationship between D1 with independent variables

圖5 h與各幾何自變量的量綱一關系Fig.5 The dimensionless relationship between h with independent variables

(6)

3 解析推導

3.1 理論模型的建立

通過數值仿真，膨脹過程中管壁截面的變化能被詳細觀測，其膨脹的區域由一條線段和兩段弧度區域組成，弧度區域的曲率半徑實際上是連續變化的[11]. 為簡化解析模型，做出以下幾點假設：

② 膨脹過程中，圓管的體積守恒(式(7)).

③ 圓管膨脹過程中母線長度保持不變，則接觸部位之間的相對速度為恒值.

④ 子午線上各點的等效應力值等效代替該點所在橫截面上各點的等效應力值.

根據能量守恒，圓管膨脹過程中下壓力所做的功被三部分耗散掉(式(8))，分別是：拉伸耗散E?、彎曲耗散El、摩擦耗散Ef.

v0t0(D0+t0)=vDtD(D+tD)

(7)

(8)

式中：vD為管壁相對于壓模的速度；tD為管壁厚度；都是關于圓管內徑D的函數.

圓管在膨脹變形過程中，忽略其彈性變形. 材料模型采用更符合材料實際應力-應變關系的剛-冪次強化模型，材料的等效應力-應變關系為

σ=Y+Bεn

(9)

式中：σ為等效應力；ε為等效應變；?、l、t分別為圓管的環向方向、子午線方向、厚度方向(如圖6所示). 由材料的不可壓縮性有

ε?+εl+εt=0

(10)

在圓管的子午線上，材料單元各主方向的應變分別為

(11)

因此，等效應變和等效應力分別為

(12)

圖6 各應變分量Fig.6 Strain component

(13)

圓管管壁在變形的過程中，忽略應力之間的耦合效應，則單元體積內的應變能為

(14)

式中εi代表各主應變分量.

(15)

(16)

3.2 塑性拉伸耗散

結合式(9)(11)(16)，根據體積守恒，拉伸耗散功率為

(17)

3.3 塑性彎曲耗散

在A、B-、B+和C4點的彎曲耗散功率為

(18)

(20)

(21)

根據體積守恒：

(22)

根據圖中的幾何特征，弧形區域的曲率為

(23)

式中ΔR=(D1+tD1-D0-t0)/2，可得：

(24)

根據做最小的原則，結合式(23)(24)，當

(25)

3.4 摩擦耗散

對圓管內壁和壓模外壁接觸部位做力的平衡示意圖(圖7所示)，根據力的平衡有：

圖7 力的平衡Fig.7 The force balance

(26)

由式(26)可得摩擦力：

(27)

膨脹過程中圓管的母線保持不變，則圓管與壓模的接觸部分與壓模的切向相對速度v0，因此摩擦耗散功率為

(28)

3.5 能量守恒

將式(17)(25)(28)代入能量守恒公式(8)，若忽略膨脹前后圓管厚度變化量，可以看成t0≈tD1. 則膨脹過程中穩態下壓力為

(29)

式中，(b1+b2)和m的值可由式(5)～(6),(23)～(25)得到.

4. 理論模型的驗證

4.1 與仿真結果對比

將理論模型計算出的膨脹穩態力Ft與各工況下的仿真值Fs進行比較(圖8所示)，顯示理論模型較好地反映出了膨脹穩態力隨壓模傾角、壓模外徑、圓管厚度、摩擦因數變化而變化的趨勢，誤差值小于10%.

4.2 與試驗結果對比

為了進一步驗證理論模型的準確度，將文獻[6,11]中的各工況下的試驗結果Fe與解析值Ft進行對比. 可以看出，除了04A、 05A、07A和08B工況，其他工況下誤差小于14%. 其中，文獻[6]中的摩擦因數是通過數值仿真與試驗工況06A對照而估算出的，其摩擦因數值可能并不適用于所有的工況，從而造成一些工況下解析值和試驗值有較大的誤差. 整體上來說，理論解析模型能對膨脹管膨脹過程中的穩態力做較好的預測.

圖8 理論解析解與仿真解對比Fig.8 The comparision of the analytical solutions and simulation solutions

表4 解析值Ft與試驗值Fe進行對比Tab.4 The comparison of the theoretical solutions Ft and the experimental data Fe

5 結 論

本文通過數值仿真軟件及已有的膨脹試驗對圓管的膨脹行為進行了研究，得出以下結論：

① 在膨脹變形模式下，圓管膨脹后的幾何尺寸D1和h主要受圓管和壓模的初始幾何尺寸影響，受圓管材料和摩擦因數的影響較小. 并建立了圓管膨脹后直徑D1、側截面兩弧區高度h與圓管內徑D0、厚度t0、壓模角度α、壓模外徑Dd之間的量綱一關系.