佘 焱, 王 勇, 孫 佳, 徐青菁
(上海交通大學 電力傳輸與功率變換控制教育部重點實驗室,上海200240)
空間電壓矢量脈寬調制SVPWM將電壓型逆變器輸出的基本空間電壓矢量合成需要的空間電壓矢量,是逆變器控制的重要技術[1],在電機控制和并網技術等領域中有重要應用。但是,我們在SVPWM教學中,發現有些難點目前很少有資料進行討論,特別是SVPWM的理論基礎,本文進行了一些探討和澄清,在此求教于大家。
空間矢量脈寬調制將逆變器輸出的基本空間矢量合成參考空間矢量,合成的理論基礎目前很少有資料提及或者討論。本節首先證明沖量等效原理,再推廣到三相三線制電路的線電壓沖量等效原理。
定理1(沖量等效原理):設開關周期Ts足夠小,幅值為vi的電壓脈沖的寬度分別為Ti,Ti≤Ts,i=1,2。且
v1·T1=v2·T2
(1)
則,v1和v2是通過慣性環節的響應等效。
證明:設慣性環節如圖1所示:
顯然:
圖1 慣性環節
容易證明,上述電路的沖激響應為:
(2)
輸入幅值為vi,寬度為Ti的電壓脈沖,則響應為:
(3)
(4)
由式(1),v1·T1=v2·T2,所以,由式(4),當t>Ti,響應完全相同,考慮到Ti足夠小,可以近似認該慣性環節具有相同響應。
推論1:設開關周期Ts足夠小,幅值為vi(i=1,2,3)的電壓脈沖的寬度分別為Ti,其中T1+T2≤Ts,T3≤Ts。且
v1·T1+v2·T2=v3·T3
(5)
則,v1和v2在一個開關周期內相繼通過慣性環節的響應與v3通過該慣性環節的響應等效。
證明:由定理1的證明,特別是式(4),如果單獨輸入信號vi(i=1,2,3),則當t>Ts>Ti時,響應的值與脈沖的面積成正比。當v1和v2在一個開關周期內相繼輸入線性系統時,系統的響應為分別輸入v1和v2的響應之和,由式(5),該響應等于v3的響應。
推論2:設開關周期Ts足夠小,三個線電壓脈沖,幅值分別為vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2),寬度分別為Ti,Ti≤Ts。且
vUV1·T1=vUV2·T2
vVW1·T1=vVW2·T2
vWU1·T1=vWU2·T2
則,vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2通過三線三相電路對稱慣性環節的響應等效。
證明:設三線三相電路對稱慣性環節如圖2所示。其中
R1=R2=R3=R
C1=C2=C3=C
圖2 三線三相電路對稱慣性環節
考慮圖示三個回路,由基爾霍夫電壓定律:
vUV=vC1-vC2+R1iU-R2iV
vVW=vC2-vC3+R2iV-R2iW
vWU=vC3-vC1+R3iW-R2iU
注意到:
將上式代入式(),
記輸出線電壓:
v12=vC1-vC2
v23=vC2-vC3
v31=vC3-vC1
得:
注意到輸入線電壓和輸出線電壓滿足和定理1中輸入輸出電壓完全相同的微分方程,所以,完全類似的方法可以證明推論2.
推論3:設開關周期Ts足夠小,三個線電壓脈沖,幅值分別為vUVi,vVWi,vWUi(i=1,2,3),寬度分別為Ti,其中T1+T2≤Ts,T3≤Ts。且
vUV1·T1+vUV2·T2=vUV3·T3
vVW1·T1+vVW2·T2=vVW3·T3
vWU1·T1+vWU2·T2=vWU3·T3
則,vUV1,vVW1,vWU1和vUV2,vVW2,vWU2在一個開關周期內相繼通過三線三相對稱電路慣性環節的響應與vUV3,vVW3,vWU3通過該慣性環節的響應等效。
證明:根據推論2的建模,類似推論1可以證明。
圖3 三相電壓的空間矢量
定義[2]對于給定的三相電壓vU、vV、vW,稱
(6)
為三相電壓vU、vV、vW的空間矢量,其中k為常數。上述求和為矢量求和運算。
容易證明,式(6)等價于:
(7)
定理2(空間矢量沖量等效原理):設開關周期Ts足夠小,三相相電壓vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空間矢量分別為Vi(i=1,2),Vi的輸出時間分別為Ti,其中Ti≤Ts。且
證明:由式(7):
(9)
式(9)代入式(8),得
適當簡化:
進一步簡化:
由上式可得:
vU1T1-vU2T2=vV1T1-vV2T23=vW1T1-vW2T2
由上式可推出:
(vU1-vV1)T1=(vU2-vV2)T2
(vV1-vW1)T1=(vV2-vW2)T2
(vW1-vU1)T1=(vW2-vU2)T2
記vUVi-vUi-vVi,vWVi-vVi-vWi,vWUi-vWi-vUi,由推論2得證。
推論4:設開關周期Ts足夠小,三相相電壓vUi、vVi、vWi(i=1,2,3)的空間矢量分別為Vi(i=1,2,3),Vi的輸出時間分別為Ti,其中T1+T2≤Ts,T3≤Ts。且
V1·T1+V2·T2=V3·T3
(10)
則,V1和V2在一個開關周期內相繼通過三線制對稱電路慣性環節的響應與V3通過該慣性環節的響應等效。
證明:由式(7):
(11)
式(11)代入式(10),得
適當簡化:
進一步簡化:
由上式可得:
vU1T1+vU2T2-vU3T3=vV1T1+vV2T2-vV3T3=vW1T1+vW2T2-vW3T3
由上式可推出:
(vU1-vV1)T1+(vU2-vV2)T2=(vU3-vV3)T3
(vV1-vW1)T1+(vV2-vW2)T2=(vV3-vW3)T3
(vW1-vU1)T1+(vW2-vU2)T2=(vW3-vU3)T3
記vUVi=vUi-vVi,vVWi=vVi-vWi,vWUi=vWi-vUi,則推論3得證。
本文提出并證明了SVPWM的理論基礎空間矢量的沖量等效原理,對于學生透徹理解掌握SVPWM有重要意義。