關于端口總功率有條件滿足疊加性的討論

陳希有， 田社平， 齊 琛， 章 艷， 李冠林

(1. 大連理工大學 電氣工程學院，遼寧 大連 116023；2.上海交通大學 電子信息與電氣工程學院，上海 200240)

0 引言

當端口接入獨立電源時，二端口或多端口網絡便要消耗來自獨立電源的功率。一般說來，功率不滿足疊加性，也就是說，不能用各獨立電源單獨作用時，網絡消耗的功率的疊加，來計算所有獨立電源共同作用時網絡消耗的總功率。但是，當網絡本身滿足特定條件，并且端口接入的獨立電源符合某種要求時，由所有獨立電源共同作用導致網絡消耗的總平均功率，可以用這些獨立電源或電源組單獨作用時，網絡消耗的平均功率的疊加來計算。文獻[1]、[2]結合電阻電路，并使用特勒根定理對這種現象的一個方面進行了分析。本文用端口參數從多個方面專門討論這些現象。文中內容雖然不屬于教學基本要求之列，但可適當地向學生提出，啟發思考，以培養其具體問題具體分析的思維方式，以及大膽質疑的科學精神。對教師而言，堅持深入研究教學內容，始終是提高學術功底的重要途徑。

1 端口只接電流源的情況

1.1 對二端口網絡

先討論正弦穩態二端口網絡情況，電路如圖1所示。用阻抗參數表達端口電壓與電流的關系為

圖1 二端口只接電流源

(1)

二端口網絡吸收的總平均功率為

(2)

這樣，二端口網絡消耗的總功率就變成

(3)

顯然，等號右邊兩項分別是兩個端口所接電流源單獨作用時，二端口網絡消耗的平均功率。由此得出結論：

圖時的T形等效電路

如果將電壓相量和電流相量(不是共軛)之積作為一種功率(已有學者將其定義為功率相量。將功率相量變換為二倍頻率的正弦量，便得出脈動功率，它等于從瞬時功率中減去平均功率后剩下的功率。)那么可以得到總功率相量為

(4)

如果阻抗參數滿足Z12=-Z21，則功率相量為

(5)

可見，這時功率相量滿足疊加性。

(6)

1.2 對多端口網絡

對無獨立源多端口(m端口)網絡，將端口電壓與電流的關系表達成如下的阻抗參數方程：

(7)

(8)

那么，多端口網絡消耗的總平均功率可以分解如下：

(9)

這樣，多端口網絡消耗的總平均功率就變成

(10)

上式等號右邊各項就是獨立電流源依次單獨作用時，網絡消耗的平均功率。由此得出結論：

2 端口只接電壓源的情況

2.1 對二端口網絡

圖3 二端口只接電壓源

(11)

圖時的П形等效電路

2.2 對多端口網絡

(12)

上式等號右邊各項就是獨立電流源依次單獨作用時，網絡消耗的平均功率。由此得出結論：

3 端口接兩種電源的情況

3.1 對二端口網絡

如果無獨立源二端口網絡，一個端口接電壓源，另一個端口接電流源，比如像圖5那樣，端口電壓與電流的關系可以用混合參數方程表示如下：

圖5 接兩種電源的二端口網絡

(13)

二端口網絡消耗的總復功率為

(14)

這時，總復功率為

(15)

圖時的T形等效電路

如果計算二端口網絡的功率相量，則得，

(16)

如果混合參數滿足H12=-H21，則功率相量為

(17)

即對互易的二端口網絡，由電壓源和電流源共同作用產生的功率相量滿足疊加性。

3.2 對多端口網絡

圖7 含兩種電源的多端口網絡

(18)

(19)

將式(18)代入式(19)，得到

(20)

花括號內為復功率，展開后得到

(21)

這時，多端口網絡消耗的總復功率變為

(22)

4 舉例

同時含有電流源與電壓源的網絡如圖8所示，圖中有四個獨立電源，可以抽象成四端口網絡。圖中電阻值如下(單位Ω)：

假設兩組電源條件：條件一：IS1=1 A，IS2=0.8 A，US1=20 V,US2=40 V；條件二：IS1=0.5 A，IS2=1.2 A，US1=10 V,US2=24 V。使用節點電壓法，用Matlab列寫方程并求解。兩種電源條件下，電流源組、電壓源組分別作用，以及所有電源同時作用，多端口電阻網絡消耗的總功率計算結果列于表1。

表1 圖8中功率的計算結果

表中第2列與第3列功率疊加后，便是第3列功率。由此驗證了3.2節的結論。(陳希有等文)

圖8 同時含有電流源與電壓源的網絡

5 結語

(1)二端口或多端口網絡，當網絡的端口參數滿足特定條件，并且端口所接獨立電源符合特定要求時，網絡消耗的總平均功率滿足疊加性。對實際電路來說，這些特定條件并不寬松，但理論上的確是存在的。

(2)為使功率滿足疊加性，網絡都需要滿足特定的條件，這些條件在文中是用端口參數來表示的。如何根據網絡的組成，判斷其功率是否滿足疊加性，以及這些特殊網絡還有哪些電學性質等，有待進一步研究。

(3)在本文介紹的特殊網絡中，都存在一些相互抵消的功率項，這種現象對應的物理概念也有待深入研究。