虎門大橋獅吼功和秋千*
——有關共振之辯

李品鈞

(湛江幼兒師范?？茖W校信息科學系 廣東 湛江 524037)

2020年5月5日下午至6日中午，廣東虎門大橋發生幅度較大的振動現象，一度為人們熱議. 一般人可能不解，作為一座跨海大橋，經歷了多次臺風的攻擊均巋然不動，為何這次在僅僅3～5級的風力(微風、和風和清勁風)作用之下發生了如此猛烈的振動現象？國內專家組最初認定這是一種由卡門渦街效應導致的共振現象. 具有中學物理知識背景的人都應該知道，如果是共振，那么風力的大小因素就要退居二線，而風力變化的周期或頻率才是主因. 因為理論上只要周期性外力的變化頻率與振動系統本身的固有頻率相等，那么，盡管外力不是很大，只要隨著時間的積累，振動系統的振幅將無限增加，直到振動幅度超過材料的承受極限而使其撕裂.

與此相關的事件最著名者莫過于美國塔科馬(Tacoma)海峽大橋的風致垮塌事件，該橋自1940年7月1日開通運營，此后即使在微風作用之下，也時常有抖動，素有“會跳舞的橋”的美稱. 4個月后的11月7日，當天風速19 m/s(8級，大風，對海濱城市來說是常見的風力，約為臺風風力的一半).該橋在經歷了70 min劇烈的震動之后最終達到形變極限而垮塌. 當時，一組好萊塢電影團隊正好在橋的附近拍攝，他們將大橋從開始振動到垮塌的全過程拍了下來，塔科馬海峽大橋借此搶了一眾好萊塢大牌的戲[1].

除了對大型建筑物具有毀壞作用之外，共振對小型物件同樣具有破壞性，前幾年綜藝節目上較為流行的“聲音碎杯”的表演便是其中的典型.2015年江蘇衛視《最強大腦第二季》第1期的節目上，一個名叫呂飛龍的表演者在不借助擴音設備的情況下5 s之內徒口喊碎紅酒杯，令觀眾瞠目結舌，驚呼不可思議，不少人認為這可能就是傳統武術中的“獅吼功”. 這一表演的真實性也在線上和線下產生了大量的爭議，節目嘉賓高曉松甚至以他的“工學背景”這一身份堅稱：“呂飛龍一定是使用了某種我們看不出來的別的辦法.”

從這些爭議中我們可以看到，知道共振現象的人很多，但了解共振的人其實很少. 共振的機理是什么？那么小的力作用為什么會有那么大的破壞力？能量還守恒嗎？下面對這些問題進行類比分析并做一些定性半定量的計算，試圖通過簡單易懂的方法讓讀者對共振現象能有更深入和具體的了解.

1 秋千中蘊含的共振原理

秋千大致可以分為兩類，一類為他助式秋千，另一類為自助式. 顧名思義，他助式秋千指的是蕩秋千的時候一人坐在秋千板(或座椅)上，另一人在固定位置周期性地推動被蕩者后背或秋千椅，只需規律性地推動幾下，便可以將秋千蕩得很高. 此后即便便不再施力推動，秋千也能維持較長時間的擺蕩狀態，此后擺幅越來越小最終懸停在最低點. 這個最低點我們稱之為平衡點，秋千在擺動時總是在這個平衡點兩側做往復式運動，這種運動我們稱之為振動. 注意到，秋千在平衡點的時候速度最大，因而擁有最大的動能；蕩到最高點的時候速度為零，動能完全轉化為重力勢能. 如果沒有空氣和其他阻力，由于能量守恒，秋千將一直搖蕩下去，能量周期性地在動能和勢能之間轉換并保持總量不變. 外加的推力使得秋千越蕩越高，此時的振動叫做受迫振動，此推力叫做驅動力；撤掉外力，在空氣阻力的作用之下，秋千將越蕩越低. 像空氣阻力這類消耗振動系統機械能的因素我們稱之為阻尼，有阻尼存在時的振動叫做阻尼振動. 值得注意的是，并不是所有的外力都能夠讓秋千越蕩越高，如果外力的變化毫無規律(通俗地講就是施力節拍和秋千的振蕩節拍不同)，秋千是不會很順利地蕩起來的. 只有當驅動力的施力周期和秋千的振蕩周期相同時，秋千才能很快地蕩起來而且蕩得越來越高. 這種當驅動力的施力周期和系統振動周期相同時，驅動力總是與運動方向相同，做正功，振動系統的振幅越來越大(理論上可以是無限大)的現象就是一種共振現象.

自助式秋千由一塊懸吊在兩根吊繩(或鏈)上的踏板構成，蕩秋千的時候無需他人輔助，僅一人站在踏板上通過有規律地伸展身體就可以將秋千逐漸蕩起來并在短時間內蕩到很高. 這種秋千的玩法比較講求技巧性，不懂技巧的人任憑站在秋千板上怎么扭動掙扎，秋千也只會小幅度地擺動幾下然后慢慢停下來. 但是只要掌握共振的原理，絕大多數人都可以很快地將秋千蕩起來，這個原理就是上面所說的“驅動力施力周期與秋千的振蕩同拍，總是保持施力方向與運動方向相同，做正功”. 蕩秋千時用到的力是重力，練習者踏上秋千的時候可以通過用一只腳蹬踹地面或者晃蕩一下身體形成一個微擾，秋千便會產生小幅度的振蕩. 這時，練習者只需在每次秋千下降時將身體蹲下，此時體系重心向下移動，重力做正功，動能增加，勢能減小，總機械能不變. 當秋千蕩到最低點時迅速起身，此時體系的重心上移，但是重力方向與體系的運動方向垂直，因而對體系的動能無影響，但是勢能增加了，于是總的機械能增加. 這樣，當體系越過平衡點蕩向對面的時候，就會達到一個新的高度. 一個振蕩周期有兩個下降過程，按照上述的方法操作，秋千每擺蕩一個周期，高度就增加兩次，幾個回合下來，秋千就可以蕩到比較高的高度了. 只要擺線足夠長，阻尼足夠小，哪怕每次只用一點點力，秋千的擺蕩高度也會無限地增加下去.

2 彈簧振子受迫振動的定性半定量處理

上面我們通過秋千的振蕩介紹了受迫振動和共振的概念，為了能在數量上對共振有一個更為具體的了解，我們現在考慮彈簧振子的共振，一根一端固定的彈簧，另一端連接一個質量為m的物體，就構成了一個彈簧振子. 當我們將一根彈簧拉伸或壓縮，彈簧會產生一個指向平衡位置的回復力(彈力)，此回復力的大小和方向滿足胡克定律f=-κx.當我們將一個彈簧振子拉伸以后再撤掉外力，那么，在回復力的作用之下彈簧會朝平衡位置運動，這時回復力與運動方向相同，做正功，振子的動能增加；到達平衡點時，速度達到最大值，受力為零，由于慣性作用，振子將繼續朝著壓縮彈簧的方向運動，彈力開始反向，振子速度逐漸減小，當速度減為零時，振子達到最大壓縮量，然后在回復力的作用之下開始向著平衡位置運動……就這樣，彈簧振子在回復力的作用之下振蕩起來. 現在我們假設有某種周期性的外力施加在振子之上. 如果此外力的變化周期與振子的振動周期完全相等的話，在振子的“拉伸-恢復-壓縮-恢復”4段運動過程中，它對振子所做的功都是正功，如果任由這個外力一直作用下去，振子的振幅將會越來越大越來越大，直到彈性失靈或彈簧被拉斷. 這就是彈簧振子發生共振時造成破壞的原因.

為了讓讀者對彈簧振子的共振有一個更加具體一些的理解，這里建立一個簡化的數學模型對此進行分析.假設某種周期性外力剛開始作用于振子時，使振子產生了0.001 mm的初始形變(力比較小，產生的初始形變肉眼根本看不到)，假設彈簧的彈性系數κ=1 000 N/m(相當于1 kg的物體只能將彈簧拉長1 cm, 可見彈性系數較大，較難發生形變)，根據胡克定律可以算出這個力的大小f=1 000×10-6N=10-3N. 彈簧一旦產生了一個初始形變，便會開始微弱地振動起來. 通常情況下，周期性外力的大小和方向都隨時間而改變，上式計算出的力只能看作是力的平均效果. 為使計算簡便，我們假設彈簧的4段運動過程中，力都取上面這個“平均值”，只是方向一直保持和振子的運動方向相同. 由于有外力的作用，振子的振幅時刻都在改變，這將導致驅動力在每個四分之一振動中的路程都不相同，計算變得復雜. 這里也做一個簡化：將驅動力在一個振動周期內做功所帶來的振幅的增加全部計入到下一振動周期，本振動周期內振動振幅近似不變. 顯然，這樣做的后果會使得驅動力的功被少計算了一部分，因而振動的振幅增長會比實際情況偏慢一些. 將初始形變記為x0，在接下來一個周期的4段運動中，驅動力所做的功為：ΔW1=f·4x0=4×10-9J，這個功使得振子的振幅變為x1. 由功能原理可得

(1)

代入已知數據，可算得x1=0.003 mm，用同樣的方法可以計算x2，x3,…. 這些計算我們可以交給計算機程序來完成(例如輸出振動1次到振動10次的振幅的mathematica代碼為：x=0.000 001; Do[x=((500.*x^2+4.*0.001*x)/500.)^0.5; Print[x],{i,10}]). 計算的結果如表1所示. 從該表我們可以看到，很小的力作用造成了小到肉眼看不見的初始振動，但只要保持驅動力周期與體系振動周期相同，振幅將不斷增大，例如振動到300次的時候，振幅增長為1 mm左右. 振動到5 000次的時候，振幅增長為2 cm左右.

表1 振子的共振次數與振幅

3 共振的破壞性及其與顫振的區別和聯系

很多物體在外力的作用之下都會發生振動，例如前面提到的虎門大橋和塔科馬海峽大橋. 另外，在沿海城市，臺風來臨時，甚至可以肉眼看到高樓在風中搖擺(高樓層的人家可以明顯感覺到較大幅度的搖晃)，電視劇里舊社會的人們采用這樣的方式辨別銀元(大洋)的真偽：用手指掐住銀元，對著嘴巴使勁一吹，真的銀元會發出很有質感的嗡嗡聲，并且這聲音可以維持較長的一段時間. 這就是利用了銀元在氣流的作用之下會振動而且這振動還能維持較長的時間，從這點可以看出，由空氣產生的阻尼比較小. 高腳紅酒杯的杯壁較薄，用手指輕叩杯壁或對著它用力哈氣，也可以讓它發出持續的嗡嗡聲. 這表明紅酒杯的杯壁也容易在外力的作用之下發生振動. 無論是橋梁、高樓等大型建筑物，還是銀元、紅酒杯等普通的物件，它們在流體(例如空氣)中的受力情況和振動情況的精確計算都要依賴于復雜的建模，計算工作量大而復雜.

如果只是定性地理解這些物體振動的機制，我們仍然可以借助彈簧振子模型，只不過要將彈簧的拉伸和壓縮推廣到任意形式的“形變”，例如大橋在風力作用之下產生的扭曲和蛇形起伏. 又例如，用較高速的攝像機可以觀察到，當受到適當頻率的聲音的作用時，紅酒杯的杯口在聲波的作用之下會交替地在兩個垂直的方向上被“擠壓”成橢圓形，從而形成一種“花式振動”，如圖1所示. 下面我們重點談談風力作用下橋梁的振動以及“獅吼功”中的聲音碎杯現象.

圖片取自網頁文獻[2]，該網頁上面可以看到杯子振動的動態模擬

3.1 橋梁的風致振動以及共振和顫振之辨

由鋼筋混凝土建成的橋梁有彈性，因而在外力的作用之下也會發生振動，無論是塔科馬大橋還是虎門大橋，在風致振動時都觀察到了橋面的蛇形振動和周期性扭曲，感覺上是平吹過來的風，為何會產生周期性的力作用從而讓橋梁振動起來？以虎門大橋2020年的振動事件為例，目前為止，有人認為是卡門渦街效應引起的振動(渦激共振) ，也有人認為是顫振. 所謂卡門渦街效應，指的是流體在流過障礙物之后會產生規律間隔的漩渦，如圖2所示，這些規則漩渦會周期性地對橋面進行拱抬或壓迫，如果漩渦的隆起周期和橋面的振動周期一致，那么前者就會不斷地將能量傳遞給橋面，使得橋面的振動幅度越來越大，這就是渦激共振. 所謂顫振是一種自激振動，生活中常見的例子如：打開水龍頭時，固定得不是很好的自來水管偶爾會產生伴隨著噠噠聲的較劇烈的振動——喘振現象，乘坐飛機時可以看到機翼片在空氣中的振動，用較長的鋼片的一部分去刮堅硬物體的表面(水泥墻棱或金屬)的時候，整個鋼片會振動起來等. 這些例子中，鋼片的顫振比較容易理解，此時的外力是來自于金屬或水泥墻的摩擦力，這摩擦力只有一個方向，也并沒有周期性的變化，但是卻能夠讓鋼片劇烈地振動起來. 如果停止刮擦，鋼片的顫振會因為阻尼的作用慢慢減緩并停止. 可見平動形式的刮擦做功是顫振能量的來源，在數學表示上，這種刮擦作用使得體系的總阻尼變成負值，阻尼既然為負值，那么振動的能量和振幅就會越來越大，最終產生破壞作用. 顫振過程能量傳遞的物理圖像不好描述，但有一點是可以確定的，就是外力(不一定是周期變化的外力)和系統產生了某種耦合作用，將功源源不斷地轉化為系統的振動能，這一點是它和共振的共性. 經過上面的分析，還可以得出這么一個結論：無論是顫振還是共振，因較小的作用力造成較大的破壞作用，不但不違反能量守恒原理，反而恰恰是能量守恒的一個體現. 在整個振動事故中，外力做功源源不斷地轉化為振動能而沒有得到及時的釋放，振動振幅從肉眼看不見到逐漸增大再到劇烈振蕩. 有文獻指出，從計算結果和實驗數據上看，造成塔科馬大橋風毀事件和虎門大橋振動事件的主因應該是顫振，而卡門渦街效應只是誘因[1].

圖2 卡門渦街效應[3]

3.2 “聲音碎杯”的實現

用手擠捏杯口，發現并不需要用太大的力就可以將杯口捏扁約半毫米. 可見紅酒杯的彈性系數并不是非常大. 普通人談話傳到1 m處時的聲壓為2×10-3～2×10-2Pa(參見百度百科“聲壓”條目).將靠近嘴邊大喊的聲壓估為此值的50倍(10-1～1 Pa)并不為過 . 假設杯壁對聲壓的受力面積為10 cm2. 由此可以算得聲壓施加給杯壁的力作用為10-4～10-3N. 以上對紅酒杯杯壁受力情況的分析數據表明，本文第2節中的計算基本可以適用于人對紅酒杯嘶喊并產生共振時的情況(不至于帶來非常離譜的誤差). 從表1中我們可以看到，當杯子振動到2 500次的時候，杯壁的形變量達到1 cm，這個形變量足以讓杯子破裂.

接下來的問題是人的嗓音能不能和玻璃杯產生共振？這要回到我們引言中所提到的《最強大腦》節目中呂飛龍的表演. 將該期節目有關“聲音碎杯”部分的音頻提取并轉換為聲波圖像如圖3(a)所示. 我們提取的音頻一共1 min 29 s，其中有效的 “吼杯”時間是從50 s到55 s(圖中兩條豎線之間的部分)，值得注意的是，這段時間聲音的強度其實并不是很大(甚至比該節目中其他時間的聲音強度還小)，這印證了我們前面的說法：共振現象中，強度因素退居二線，頻率因素才是主因. 我們將這段音頻進行放大，得到圖3(b). 由于振動太密，從圖3(b)仍然看不清波形. 為此我們在這段音頻上再截取兩段(第2.8～3.0 s和第4.4～4.6 s)進行放大，分別得到圖3(c)和圖3(d).從圖3(c)和圖3(d)我們可以看到，呂飛龍對杯嘶吼時的聲音頻率非常穩定.在這兩段音頻中0.05 s內的振動次數都是28次，也就是說，頻率都為560 Hz.該節目中南京大學趙其昌教授介紹說，經過他們的測試，該節目用的杯子的固有頻率在500 Hz左右. 以上分析說明兩點：(1)呂飛龍的嗓音可以達到節目所用杯子的固有頻率.(2)呂飛龍的嗓音可以較長時間鎖定在固定的頻率. 同時，由碎杯所需的振動次數(2 500次)除以聲波頻率得到吼破玻璃杯所需的時間為4.5 s，與實際情況基本吻合.由此我們得出結論：徒口喊破紅酒杯確有可能.

圖3 呂飛龍嘶吼碎杯音頻提取

事實上，據百度百科“聲音”條目所載：在2005年的“探索”頻道《MythBusters》電視節目上， 搖滾歌手兼歌唱教練杰米·溫德拉就用自己的聲音擊碎了一些玻璃器皿，第一次證明了個人聲音就能擊碎玻璃的說法是正確的. 此外，在2012年的第6期《快樂大本營》節目上，歌手陳奕迅和主持人杜海濤均實現了用麥克風結合音箱喊破紅酒杯，在2013年《快樂男聲》6強賽節目上，歌手華晨宇用同樣的方法3 s喊碎紅酒杯，在掌握了大致要領以后，藝人于湉、歐豪、謝娜和維嘉都做到了30 s內借助音箱喊碎紅酒杯. 2017年11月8日央視財經頻道科教類節目《是真的嗎？》節目上也播出了用音頻發生器“響碎玻璃杯”的實驗. 物理教師梁振華設計了簡單可行的“聲音碎杯”演示實驗[4]. 而在呂飛龍的表演播出以后，國外一個網友在網絡上發布視頻稱自己利用科學方法14天練成了徒口吼碎紅酒杯的技能[5]. 由此可見，聲音碎杯已屬常見現象. 并且，就算不借助擴音設備，只要具備較高的音域和較好的鎖頻技巧，單純用嗓音震碎玻璃杯的難度也并不是非常大，不需要練就絕世神功，也并無相關的“武功秘籍”.

從各種“聲音碎杯”的表演中還可以總結出一套快速碎杯的方法：(1)輕敲玻璃杯，從它發出的響聲大致判斷它的固有頻率(這樣可以減少掃頻的時間，以節省力氣).(2)玻璃杯的振動情況肉眼不好判斷，所以一般會在杯里面放一根輕質吸管. 杯子的振動會傳遞給吸管.(3)嘴巴張大靠近玻璃杯從第(1)步聽到的頻率附近開始嘶吼，嘶吼時一邊慢慢變換頻率一邊觀察吸管的振動情況，待吸管振動最猛烈時(共振開始)，鎖住頻率并加大音量直到杯子破裂.

4 結論

共振是當彈性系統受到與之固有頻率相同的驅動力作用時發生劇烈振動的一種現象，屬于受迫振動；顫振是彈性系統受到均勻外力的某種耦合作用時發生劇烈振動的一種現象，屬于自激振動.它們的發生正是能量守恒原理的體現.兩種振動的幅度和能量的積累都需要一定的時間，所以如能及早地改變外力與系統的耦合作用(例如通過改變系統的外形)，使外力做功不再繼續轉化為振動動能，那么，體系的振動就會因變成阻尼振動而逐漸衰減，以此減小共振或顫振帶來的危害.比如這次的虎門大橋的振動事件中，專家組的初步判斷就是：橋梁維護過程中“沿橋跨邊護欄連續放置水馬，改變了鋼箱梁的氣動外形……”，后經撤除水馬，振動果然逐漸減弱，最后恢復正常通行. 而對于一般質地的紅酒杯，只要音域稍高，鎖頻技巧較好的人都可以將其吼碎，并不是什么絕世神功，也并不像呂飛龍接受采訪時所說“普通人輕易不要練獅吼功……跟天賦有關，也跟他練過武術有關”云云. 因為這門“絕技”所需的天賦，無非是稍高一點的音域，至于和練習武術之間，并沒有多大的聯系. 最后引用著名的物理學教育家沃爾特·略文(Walter Lewin)教授的名言作為本文的結束語：

“我就算不相信自己，也要相信物理學. ”