探究鐵氧體棒在通電線圈中的發聲機理

周章怡 文煥然 黃倩妮 嚴一陽 譚興文

(西南大學物理科學與技術學院 重慶 400715)

1 引言

變壓器在我們的日常生活中應用十分廣泛，可用于輸配電系統的升、降電壓；電壓互感器、電流互感器、用于測量儀表和繼電保護裝置；能產生高壓，對電氣設備進行高壓試驗等.與此同時，變壓器鐵芯運行中產生的振動噪聲嚴重污染周邊環境，此外電抗器在運行過程中的振動噪聲過大對變壓器安全運行也會構成威脅.因此，如何減小變壓器噪聲是如今亟待解決的問題.

變壓器硅鋼鐵心材料的磁致伸縮特性是其噪聲的主要來源.目前，國內外的研究方向主要集中在測量材料的磁致伸縮特性，如2000年，文獻[1]對硅鋼材料磁致伸縮作用力和變壓器可聽噪聲之間的相關性進行了研究，研究表明磁致伸縮能解釋噪聲產生的原因；文獻[2,3]對電工鋼片的旋轉磁致伸縮特性進行了研究，并給出了測量結果；文獻[4]從硅鋼片材料磁疇微觀角度分析其磁致伸縮現象，研究了應力對磁致伸縮特性的影響及其本質模型，并根據彈性固體應力應變本質關系，對鐵芯的振動形變進行了分析模擬……但是，對于其噪聲發聲頻率的具體研究還比較少.

受2020年中國大學生物理學術競賽(CUPT)第4題的啟發，我們以鎳鋅鐵氧體棒作為研究材料，通過測量鐵氧體棒的噪聲頻率，詳細分析發聲頻率和固有頻率之間的關系.相較于硅鋼片而言，鎳鋅鐵氧體棒為軟磁材料，在磁場作用下容易發生形變，使發聲現象明顯且產生的噪音聲級較小，它在高頻下渦流損耗也更小，并且能抑制電磁泄露，更有利于研究振動發聲的原因和本質，從而減小變壓器噪聲.

本文以通電線圈中的鐵氧體棒作為變壓器振動噪聲的簡化模型，用兩根極細的剛性繩在棒的兩端將其吊起，棒從線圈中穿過，功率函數信號發生器用來提供交變電流，輸出電壓最大為21.6 V，輸出功率≥10 W.首先采取敲擊法測量鐵氧體棒的固有頻率，并通過與理論對比確定測量得到的固有頻率是第幾個固有頻率.之后探究激勵頻率、發聲頻率與固有頻率三者的關系.在人耳聽力范圍20 Hz～20 kHz內，當線圈激勵頻率為鐵氧體棒固有頻率及固有頻率整數倍時，均可觀測到線圈中的鐵氧體棒的發聲現象.鐵氧體棒發出聲音是由于激勵信號與系統的固有振動頻率相匹配時，發生共振.共振時系統具有吸收更多能量的趨勢，帶動空氣振動，從而發出聲音.在共振發聲當中，除了頻率與固有頻率相同的聲音，還存在其整數倍和約數倍頻率的聲音，稱為泛音列和沉音列.除此之外，還新發現了固有頻率的約數倍頻也能使鐵氧體棒發出聲音.

2 理論模型建立

用兩根極細的剛性繩在棒的兩端將其吊起，棒從線圈中穿過，線圈的內半徑大于棒的半徑.未給線圈通正弦交流電時，棒保持靜止，以鐵氧體棒的中軸為x軸建立坐標系，如圖1所示.

當給線圈通電后，線圈中會產生磁場，由于磁致伸縮效應棒會沿磁場方向產生形變，即產生x方向上的位移，但由于線圈的線度與棒相比較小，因此在遠離線圈的地方，磁場的方向會向z軸偏移，因此棒的振動同時存在沿x軸和z軸的分量，故使用撓度ω′(x,t)來描述.

圖1 鐵氧體棒振動示意圖

此時棒的撓度ω′和載荷q(x)之間的關系可以用歐拉-伯努利方程來描述[5]

其中E為棒的楊氏模量，I為棒的面積慣性矩，q(x)為棒上的載荷，可以理解為每單位長度上所受的壓力.

當線圈通電之后，鐵氧體棒產生振動，動態情況下的棒可以用拉格朗日方程來描述.

棒的拉格朗日量為

其中第一項為動能，第二項為勢能，第三項為載荷導致的勢能.

將偏導寫為更簡單的形式得到

拉格朗日方程為

將方程化簡為

實際情況中棒上是沒有外加壓力的，因此有關q的項皆為零.

方程的一般解是[6]

由于棒的兩端都是自由的，不存在支座，因此彎矩和剪切力都為零，即在x=0和x=L處有[7]

得到方程在以下條件下才存在非平凡解

cosh(βnL)cos(βnL)=1

關于此非線性方程，求出其數值解為

……

……

但是需要注意的是，泛音列雖然頻率高于基音，但是其強度相當弱，因此較難被觀察到；而沉音列這種非線性現象的產生只能存在于一些十分受限的條件下[8]，且很難發出“下八度或下十二度”以后的沉音[9].下八度和下十二度對應二分之一沉音和三分之一沉音.

3 實驗部分

首先采取敲擊法測量鐵氧體棒的固有頻率，將鐵氧體棒用極細的剛性繩吊起，用另一根完全相同的棒敲擊，使用頻譜分析軟件記錄聲音讀取固有頻率，實驗裝置示意圖如圖2所示.

圖2 實驗裝置示意圖

以第一個基頻為基準，根據鐵氧體棒固有頻率之間的比值關系

得到后面的固有頻率，與實際測得的固有頻率對比，如表1所示.

表1 18 cm鎳鋅鐵氧體棒理論與實際固有頻率對比記錄表

當電流流過線圈，棒產生振動充當共振器，當信號發生器的頻率與棒的固有頻率成比例時棒的振幅最大，推動周圍的空氣產生聲波，這便是聲音的來源.

鐵氧體棒作為一個非線性系統，在共振時自然也會發出泛音列和沉音列的聲音.

實驗使用函數信號發生器給線圈供應正弦交流電，用兩根極細的剛性繩在棒的兩端將其吊起并從線圈中穿過.

首先對棒的固有頻率共振進行驗證，選用18 cm的鎳鋅鐵氧體棒，函數信號發生器依次提供頻率與固有頻率相同交流電，鐵氧體棒發出人耳可聞的聲音，用頻譜分析儀測量出聲音的頻率進行記錄得到結果如表2所示.

表2 18 cm鎳鋅鐵氧體棒固有頻率ωn共振記錄表

由于泛音列和沉音列難以觀察到，因此只在第3個固有頻率處同時觀察到了二倍泛音和二分之一沉音.

再對倍頻共振進行驗證，依然使用相同的棒，實驗方法與之前相同.結果如表3和表4所示.

表3 18 cm鎳鋅鐵氧體棒ω1(1 304 Hz)倍頻共振記錄表

表4 18 cm鎳鋅鐵氧體棒ω2(3 608 Hz)倍頻共振記錄表

以固有頻率的倍頻作為激勵頻率也會得到振動發聲的結果，但是此時不存在一個激勵頻率對應多個響應頻率的現象.我們還對分頻的共振進行了探究，發現對于一個固有頻率，其分頻也存在共振現象，但是并不是所有的頻率都存在分頻的共振現象，這與棒的非線性有關，結果如表5所示.

表5 18 cm鎳鋅鐵氧體棒分頻共振記錄表

通常來說由于泛音的強度較弱較難被觀察到，但是分頻的共振都激發出了二倍泛音，這是因為分頻與固有頻率相比吸收能量的能力是最弱的，因此多余的能量在發出聲音時被分給了二倍泛音.

4 結論

本文通過對鐵氧體棒的固有頻率進行理論計算和實驗驗證，得到以下結論:

(1)能夠使鐵氧體棒發聲的頻率為鐵氧體棒的固有頻率以及固有頻率的整數倍頻率和約數倍頻率.

(2)無論是哪種頻率作為電流激勵頻率，總有激勵頻率等于響應頻率.

(3)在以固有頻率作為激勵頻率時，除了等于激勵頻率的聲音，還會出現多個響應頻率的聲音，這些聲音就是泛音列和沉音列.但是沉音和泛音由于強度較小，因此很難被觀察到.

(4)以固有頻率約數倍頻率作為激勵頻率時，響應頻率都會出現一個二倍的泛音.這是因為此時的共振為非固有頻率共振，分頻吸收能量的能力較弱，因此多余的能量被分給了泛音.