再談功的概念

曾浩生 何思芳

(湖南師范大學物理與電子科學學院 湖南 長沙 410081)

1 引言

在討論功的概念時，幾乎所有教科書都給出相同的數學公式A=Fscosα.但對其中位移“s”的理解不盡相同，有理解為“物體的位移” “力的作用點的位移” “受力質點的位移”， 等等.需要指出的是，功的概念一般都是在質點力學中給出的.當受力對象為質點時，上述說法都是正確的.而當受力對象有一定的大小和形狀，不能看作是質點時，上述說法的含義不盡相同，于是就出現了爭議和誤解[1～6].事實上，對于非質點體系，上述任何一種說法都不能完全正確地給出功的定義.鑒于問題的重要性，而且始終沒有得到完美地解決，有必要再次進行討論.我們發現，當受力對象為剛體時，運用作用在剛體上的力的性質，能夠完美地理解功的計算，澄清在功的計算過程中時常產生的困惑和錯誤.

2 作用在剛體上的力的性質

作用在剛體上的力對剛體產生兩種效果：一是使剛體的質心產生平動；二是使剛體繞過質心的軸做加速轉動.從這兩種效果出發，可以推出作用在剛體上的力滿足如下兩條性質：

(1)力的滑移定理.作用在剛體上的力是滑移矢量.作用在剛體上的力可以沿力的作用線滑移而不改變力的作用效果.或者說，作用在剛體上的力的三要素為力的大小、方向和作用線.

(2)力的平移定理.作用在剛體上的力可以平移到另一點，同時附加一力偶矩的作用.

如圖1所示，一力F作用在剛體上的A點，在B點加一零力系(F′,F″),滿足F′=F″，于是力F的作用就等價于F′再加上力偶矩(F,F″)的作用.附加力偶矩的大小M=Fd(d為力平移的距離)，方向垂直向里.

圖1 闡述力的平移性質示意圖

3 作用在剛體上的力所做的功

剛體的運動可分為平動、轉動，以及它們的復合運動.我們將分這3種情況討論功的計算.

3.1 剛體平動時功的計算

【例1】如圖2所示，一卡車載有質量為m的木箱，在平直的公路上行使，因緊急情況突然剎車.剎車后卡車向前滑行了L的距離后靜止，木箱在卡車上相對于卡車滑行了l的距離后靜止在卡車上.設木箱與卡車間的滑動摩擦系數為μ，試計算木箱與卡車之間的摩擦力對卡車所做的功.

此題中木箱對卡車的摩擦力作用點在不斷地變更，在計算功時，位移到底是L，還是L+l？不好確定.但如果采用剛體模型，將卡車視為剛體，利用力的滑移性質，將木箱對卡車的摩擦力滑移到卡車的質心，由于卡車質心所發生的位移為L，于是木箱對卡車的摩擦力所做的功為A=μmgL，問題變得十分清晰.

圖2 行駛中的卡車，當木箱在卡車上滑動時， 計算木箱對卡車的摩擦力做功示意圖

【例2】如圖3所示，手持一支鋼筆，鋼筆在重力作用下順勢下滑h高度，設手與鋼筆之間的滑動摩擦力為f，研究手對鋼筆的摩擦力所做的功.

圖3 鋼筆在手中滑落時，計算手對鋼筆的摩擦力做功示意圖

如果按照質點力學中功的定義，手對鋼筆的摩擦力，其作用點在不斷地變更，但當質點受力時沒有位移，質點發生位移時沒有受力，從而得出手對鋼筆的摩擦力不做功的錯誤結果.但若采用剛體模型，根據力的滑移定理，將鋼筆所受摩擦力滑移到鋼筆的質心，而質心所發生的位移為h，故得功A=-fh，十分清楚地給出正確結果.

3.2 剛體定軸轉動時功的計算

先簡單回顧一下力矩做功的概念.如圖4所示，圓盤半徑為r，在水平力F的作用下繞其中心軸轉動.若力F始終作用在圓盤邊沿的某一固定位置，并且沿圓盤大圓的切線方向，按照質點力學中功的概念，力F所做的功為

即力F的功等于其對轉動軸的力矩的功.如果按照剛體力學的觀念，根據平移定理，將力F平移到圓盤中心O，同時附加一力偶矩M=Fr的作用.由于圓盤中心不發生位移，平移到圓盤中心的力對圓盤不做功.而附加力偶矩所做的功等于

這就是力矩做功的來歷.

圖4 闡述力矩做功示意圖

【例3】如圖5所示，砂輪半徑為r，以ω的角速度繞其中心軸轉動.設邊沿處被打磨的物體與砂輪間的滑動摩擦力為f，求當砂輪轉過角度Θ時，摩擦力對砂輪所做的功(設被打磨的物體相對于地面靜止).

圖5 打磨物體時，計算摩擦力對砂輪做功示意圖

此題中，物體對砂輪的摩擦力的作用點在不斷地更換，當質點受力時沒有位移，發生位移時不受力，按照質點力學中功的概念，同樣得出摩擦力對砂輪不做功的錯誤結果.如果采用剛體力學的觀點，根據力的平移定理，將摩擦力平移到砂輪質心處，再加上力偶矩M=fr的作用.由于砂輪質心不發生位移，作用在砂輪質心處的力不做功.附加力偶矩做功為

此時也就是摩擦力對砂輪所做的功.若f為恒力，則

A=-frΘ

3.3 剛體做一般運動時功的計算

當剛體做平動與轉動的復合運動時，要計算作用在剛體上的某個力F所做的功，我們同樣可以利用力的滑移定理與平移定理，將力移到剛體的質心.此時平移到剛體上的力可能會做功，于是，力F所做的功等于移到剛體質心處的力所做的功與附加力偶矩所做的功之和.

【例4】一汽車在筆直的公路上行駛，假定車輪相對地面不打滑，研究地面對車輪的靜摩擦力所做的功.

若采用質點力學的觀點，車輪所受的靜摩擦力作用點在不斷地變更，但質點受力時不發生位移，故地面對車輪的靜摩擦力不做功.若采用剛體模型，我們可以將地面對車輪的靜摩擦力f平移到車輪的質心，同時附加一力偶矩M=fR(R為車輪的半徑).設汽車前進的距離為s，則平移到車輪質心處的力所做的功

A1=fs

而附加力偶矩所做的功

A2=-Mθ=-fs

故總功

A=A1+A2=0

兩種理解結果一致.

【例5】如圖6所示，半徑為R的圓柱體在重力作用下沿斜面連滾帶滑地從頂端運動到底端，設斜面的長為L，斜面對圓柱體的滑動摩擦力為f，試研究下滑過程中滑動摩擦力對圓柱體所做的功.

圖6 圓柱體在斜面上有滑動地滾下， 計算摩擦力對圓柱體做功示意圖

此題中，圓柱體所受的摩擦力的作用點同樣在不斷地更換，按質點力學中功的概念很難求得正確結果.若采用剛體模型，問題將變得十分清楚.將摩擦力f平移到圓柱體的中心，同時附加力偶矩M=fR的作用.平移到圓柱體中心的力f在運動過程中所做的功顯然等于-fL.然而，附加力偶矩在運動過程中也要做功.設在運動過程中圓柱體轉過的角度為θ(由于有滑動，應有θR

A=-fL+fRθ<0

4 總結

總之，質點力學中所定義的功的概念原則上只適用于受力對象為質點的情況，不能隨意地推廣應用到受力對象為非質點的情況，否則就會產生困惑甚至錯誤.例如，若采用“力的作用點的位移”或“受力質點的位移”，就很難正確地理解例題1～3和例題5中功的計算；若采用“物體的位移”，就很難計算例題3～5涉及的功.但如果采用本文所述的剛體模型的概念，問題就會變得十分清楚和容易解決.