一種基于保角映射的考慮端部效應的準三維軸向磁通電機磁場解析模型

佟文明，荊明

(沈陽工業大學 國家稀土永磁電機工程技術研究中心，沈陽 110870)

0 引 言

軸向磁通永磁(axial flux permanent magnet,AFPM)電機以其高轉矩密度、高功率密度、高效率以及軸向尺寸緊湊的優點，在風電、航空航天與新能源汽車等領域受到廣泛關注[1]。AFPM電機不同于常規徑向磁通電機，其磁場分布具有三維分布不均的特征，需要對其建立三維模型進行仿真分析，但三維有限元分析十分耗時，且計算結果受網格質量影響較大。因此，需要采用解析法，對AFPM電機的氣隙磁場進行解析建模，快速、準確地得到電機氣隙磁場分布，指導電機的設計。

常用的解析法分為等效磁路法、基于標量磁位的子域法、基于矢量磁位的精確子域法與保角映射法等。等效磁路法能夠考慮不同負載情況下鐵磁材料的飽和效應，但模型搭建較為繁瑣，且對于齒槽轉矩、轉矩脈動等的計算精確度有限[2]；基于標量磁位的子域法建模簡便，但模型建立時假設定子表面光滑無槽，需要結合其他方法對定子開槽進行考慮[3]；而基于矢量磁位的精確子域法，可以較方便的考慮定子開槽的影響，但隨槽型變化與槽開口數的增加，邊界條件更加復雜，求解較為困難[4]。保角映射是一種將復雜形狀的多邊形面域變換到規范面域的方法，從而將具有復雜邊界條件的電磁場問題變得更加簡單易求解，使用較為靈活[5-7]。

文獻[6]指出，在使用保角映射法時，當多邊形的頂點數大于3，保角映射函數將無解析解。L.N.Trefethen在Fortran平臺上，開發出了適用于具有多頂點的多邊形進行保角映射的工具箱SCPACK，以求得保角映射函數的數值解；T.A.Driscoll又在此基礎上，在Matlab平臺上開發出了SC Toolbox[8]，可以快速、準確地進行多頂點多邊形的保角映射函數求解計算，推動了保角映射法在各種復雜電機拓撲結構上的應用。

AFPM電機具有獨特的三維磁場分布特性，在不同徑向位置處的氣隙磁場分布各不相同。一方面是由于AFPM電機不同徑向位置處的齒寬與永磁體寬度不同；而另一方面是由于AFPM電機等效氣隙較大，在電機內外徑處的永磁體端部漏磁現象十分突出，對電機的空載反電動勢與輸出轉矩等電磁性能有較大的影響[9]。對于后者，則少有文獻對其進行解析建模研究。文獻[10]借助三維有限元輔助解析建模，對AFPM電機的端部效應進行考慮，但三維有限元計算效率不高，十分耗時。文獻[9]提出一種AFPM電機端部效應修正函數，可得到電機的準三維氣隙磁場解析模型，但推導、求解過程繁雜。文獻[11]提出了一種等效磁路輔助子域法的解析建模方法，可較為快速準確的計算得到考慮AFPM電機端部效應后的磁場分布情況，但計算精確度有待進一步改善。

針對上述AFPM電機三維磁場建模問題的特殊性，本文提出一種借助保角映射法考慮端部效應的準三維AFPM電機磁場解析建模方法。對一臺24極36槽雙定子單轉子AFPM電機，通過MATLAB平臺的Schwarz-Christoffel(SC)工具箱，將永磁體與電樞繞組等效為線電流，在不同半徑處分別建立該電機的永磁體空載磁場與電樞反應磁場解析模型，并將AFPMMs徑向-軸向平面橫截面等效為具有鐵磁邊界的多邊形面域，將多邊形面域映射到規范面域，計算保角映射函數，以求取AFPMMs徑向-軸向平面上的磁場分布，最終得到端部修正系數，從而考慮端部效應對氣隙磁場分布的影響，搭建該電機的準三維磁場解析模型。該模型的磁密計算結果與三維有限元進行了對比，反電動勢計算結果與樣機實驗進行了對比，以驗證建模方法的準確性。

1 保角映射與SC工具箱的簡介

保角映射是一種將一個面域變換到另一個面域的數學方法，將其應用到電機的建模中，可將電機定子開槽后的較復雜結構，映射到一個矩形簡單面域內進行建模求解，大大簡化建模難度與工作量。

將初始復雜面域定義為w面域，沿逆時針，分別定義面域內各個頂點為w1,w2,…,wn，以及每個頂點對應的內角a1,a2,…,an，如圖1所示。

圖1 復雜面域多邊形到規范面域的保角映射示意圖Fig.1 Schematic diagram of polygon conformal mapping from complicated domain to canonical domain

將復雜面域多邊形Pw映射到規范面域(z面域)內，得到規范矩形多邊形Pz。定義f(z)為由w面域到z面域的保角映射函數，其滿足[8]

w=f(z)=

(1)

式中：w=x+yj，z=u+vj，分別為w平面與z平面內的復數。C為復數常數，n為w面域內多邊形Pw的頂點數，當n大于3時，式(1)無解析解[6]，在此可借助MATLAB平臺上的SC工具箱進行輔助求解，得到式(1)中f(z0)、C與zk共n+2個值的數值解。

求得保角映射函數f(z)后，在簡單面域z面域內，易得某激勵下的磁場分布情況。之后，即可通過式(2)[12]，反變換得到復雜面域w面域內的磁場分布情況，即

(2)

2 準三維氣隙磁場解析模型的建立

2.1 樣機介紹

研究對象為一臺24極36槽雙定子單轉子非晶合金AFPM電機，電機的拓撲結構如圖2所示。其中，定子鐵心采用非晶合金材料，轉子為不銹鋼支架嵌入永磁體的結構形式，不銹鋼支架的相對磁導率約等于1。

圖2 電機拓撲結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of the motor topology

建模所使用的AFPM電機的具體結構參數，如表1所示。

表1 AFPM電機參數Table 1 Parameters of the AFPM machine

在AFPM電機某半徑處，切一圓環形薄片，并將其等效展開為一直線電機，各個半徑處的等效解析模型進行疊加，即得到該電機的準三維磁場解析模型。將AFPM電機展開為直線電機后，其單元電機拓撲結構如圖3所示。

圖3 AFPM電機二維展開模型示意圖Fig.3 Schematic diagram of the 2D AFPM motor expansion model

2.2 樣機建模中的假設

借助SC工具箱，對該電機建立氣隙磁場解析模型，首先做如下假設與處理：

1)將轉子區域等效為氣隙，且相對磁導率等于永磁體的相對回復磁導率1.046，即現模型的氣隙長度折算為原電機氣隙長度與永磁體磁化方向長度的1.046倍之和。

2)永磁體等效為位于永磁體兩側的m根無限細線電流，每根線電流的大小滿足

(3)

其中：hm為永磁體磁化方向長度；M為永磁體極化強度，為減小永磁體建模的誤差，永磁體極化強度[13]可表示為

(4)

3)電樞繞組等效為均勻排布于槽內的C根無限細線電流，對于雙層繞組電機，每根線電流的大小滿足

(5)

式中:Ns為每槽導體數，對于本電機為12；ia為某時刻下的電樞繞組相電流。

4)忽略磁路飽和效應，假設鐵磁材料磁導率無窮。

5)永磁體磁場與電樞反應磁場單獨作用，疊加后得到負載氣隙磁場，并忽略永磁體的渦流反作用。

6)在單元電機左右兩側額外添加兩條縱向的線段，作為模型的左右兩側邊界，以使得面域內多邊形封閉可求解。

基于前文假設，在SC工具箱中，借助保角映射方法，建立AFPM電機的空載磁場與電樞反應磁場模型。

2.3 樣機氣隙磁場模型的建立

將永磁體與電樞繞組等效為無限細線電流，轉子等效為氣隙，建立AFPM單元電機在w面域的等效模型，其示意圖如圖4所示。從點1開始，逆時針依次定義w面域中電機模型的頂點v矩陣，借助函數Pw=polygon(v)，使各點閉合為多邊形Pw，并為每個頂點vn賦予預期的映射角bn，組成b矩陣，即：

v=[v1,v2,…,vn]T=

[x1+jy1,x2+jy2,…,xn+jyn]T；

(6)

b=[b1,b2,…,bn]T=

(7)

對于本例，v矩陣與b矩陣各含有28個元素，如圖4所示，且對于b矩陣，僅有第1、14、15與28元素值為π/2，其余各元素值均為π。借助SC工具箱中的f=crrectmap(Pw,b)函數，按照預期的映射角b，將所得w面域的AFPM單元電機的等效模型，映射到規范矩形面域z面域內，AFPM單元電機在z面域內的等效模型示意圖，如圖5所示。

圖4 w面域等效模型的示意圖Fig.4 Schematic diagram of the equivalent model in w-domain

圖5 z面域等效模型的示意圖Fig.5 Schematic diagram of the equivalent model in z-domain

可以看到，經過保角映射之后，復雜w面域變換為規范矩形z面域。由于氣隙較長，永磁體距離槽開口較遠，受槽開口變換影響較小，永磁體在w面域等效產生的無限細線電流的相對位置在z面域基本不變，只是由w面域坐標變換到z面域坐標。電樞繞組在w面域等效產生的無限細線電流變換到z面域后，變化較大，因為經過保角映射，w面域的每個定子槽，幾乎全都映射到z平面的一個點上，槽內線電流也一并映射到該點附近，并以該點為中心左右對稱分布，如圖5所示。

在z面域中，空間任一點的磁場，都可以由z面域內每根等效線電流產生的磁場疊加得到。計z面域內，某根等效線電流的空間坐標為z=u+jv，則兩無限大平行平面間，線電流產生的磁場[14]，滿足：

(8)

(9)

式中：I為該等效線電流上通過的電流，當計算空載磁場時，I即為Im，由式(3)給出，而當計算電樞反應磁場時，I即為Ic，由式(5)給出；h為等效線電流與z面域下平面之間的距離；l為z面域上、下兩平面之間的距離。

將相應的等效線電流產生的磁場進行疊加，即可得到z面域空間任一點磁密，以空載磁場為例

(10)

將z面域內，空間任一點的磁密分布，經由(2)式，即可得到w面域內的磁密分布情況，即AFPM單元電機的氣隙磁密分布。

在計算不同時刻的磁場分布時，定子繞組位置固定不變，轉子永磁體等效成的線電流在w面域中隨時間變化沿x軸正方向運動，當線電流運動至右側邊界時，自動回到左側邊界，往復循環。該處理過程如圖6所示。

圖6 不同轉子位置處的模型處理方式示意圖Fig.6 Schematic diagram of model processing methods at different rotor position

2.4 端部效應的考慮

AFPM電機具有明顯的端部效應，由于氣隙較大，在電機內徑與外徑處，永磁體漏磁較為突出，需要在解析建模中對AFPM電機的端部效應進行特殊考慮，已有的研究大多忽略了該端部效應，或僅通過有限元、等效磁路的方法來輔助建模，擺脫不了有限元計算費時與等效磁路精確度較差的缺陷。為了考慮AFPM電機的端部效應，提出了一種新的借助保角映射的解析建模方法。

AFPM電機沿徑向-軸向平面(r-y平面)切開，可得到電機在r-y平面的二維模型，如圖7所示。

圖7 AFPM電機r-y平面二維模型示意圖Fig.7 Schematic diagram of r-y plane 2-D model of AFPM motor

在圖7中，如前文所述，將轉子等效為氣隙，永磁體等效為位于永磁體兩側的無限細線電流。由于SC工具箱只能對封閉多邊形進行求解，因此，在模型中假設一個外部邊界，在圖7中以外部輪廓虛線標出。

據此處理與前文表述，在w面域內建立該r-y平面二維模型的多邊形模型，如圖8所示。為w面域內的多邊形各頂點賦予預期的映射角cn，組成c矩陣為

圖8 w面域內的電機r-y平面模型Fig.8 R-y plane 2D model in w domain

c=[c1,c2,…,cn]T=

(11)

式中：c矩陣共有12個元素，第1、第6、第7與第12元素值為π/2，其余元素值均為π。如前所述，將w面域多邊形映射到規范矩形面域z面域，如圖9所示。

圖9 z面域內的電機r-y平面模型Fig.9 R-y plane 2D model in z domain

根據式(8)、式(9)與式(10)，即可求得z面域內的電機r-y平面任一點處的磁場分布，再由式(2)，求得w面域內磁場分布。對于該w面域的磁場分布，法向磁密分布即為AFPM電機的軸向磁密分布，切向磁密分布即為AFPM電機的徑向磁密分布。至此，基于保角映射的考慮端部效應的AFPM電機磁場解析建模結束。

2.5 氣隙磁密的解析計算

根據前文描述，可將借助保角映射的AFPM電機氣隙磁場的建模思路歸納為如圖10所示流程圖。

圖10 解析建模流程圖Fig.10 Flowchart of analytical modeling process

依照圖10建模流程，對半徑80 mm處的單元電機軸向與周向空載氣隙磁場分別進行求解，并與有限元計算結果進行對比，如圖11所示。其中有限元計算采用Ansys Maxwell 18.2軟件。用同樣方法，給電樞繞組等效成的線電流通以三相對稱正弦波激勵，即可求得單元電機電樞反應氣隙磁密分布。解析計算結果與有限元對比如圖12所示。

圖11 半徑80 mm處空載氣隙磁場解析與有限元結果對比Fig.11 Comparison of analytical and FEA results of no-load air gap field at a radius of 80 mm

圖12 半徑80 mm處電樞反應磁場解析與有限元結果對比Fig.12 Comparison of analytical and FEA results of armature reaction air gap field at a radius of 80 mm

可以看到，氣隙磁密解析計算結果與有限元吻合良好，且解析模型計算速度更快，耗時大大減小。同時也應注意到，解析相比有限元計算結果，誤差主要集中出現在3個槽口位置處，這一方面是由于保角映射作為處理定子開槽的方法中的一種，本身對開槽的處理精確度有限，但其精確度仍滿足工程應用；另一方面，建模時假設鐵磁材料不飽和，磁導率無窮大，而在實際電機空載磁場計算中，開口槽槽口尖端位置仍然會有局部飽和存在，對槽口附近的建模計算精確度造成影響。

由于電樞繞組等效為無限細線電流，原理上講每根線電流的激勵都可以單獨添加，因此該模型也可適用于電機極端故障運行工況，如相間短路、缺相、甚至匝間短路情況下的電磁計算，使用較為靈活。且該模型完全可以滿足變頻器供電下，考慮電流時間諧波時的建模要求，在此不予贅述。

在各個轉子位置處的氣隙磁密分布同樣可進行求解。以圖5所示轉子位置定義為0時刻位置，在轉子運動至1/6周期時的空載氣隙磁場解析與有限元計算結果對比，如圖13所示?？梢钥吹?，不同轉子位置處的氣隙磁場解析計算結果與有限元計算結果同樣吻合良好。

圖13 1/6周期時刻空載氣隙磁場解析與有限元結果對比Fig.13 Comparison of analytical and FEA results of armature reaction air gap field at 1/6 period

本模型相較前人的重要改進在于借助保角映射對AFPM電機端部效應的考慮上。依照圖10流程，對不同徑向位置處的空載軸向氣隙磁密進行解析計算，并建立三維有限元模型與基于等效磁路的考慮端部效應的磁場解析模型[11]，將三者計算結果進行對比，結果如圖14所示。

圖14 3種方法的不同徑向位置處軸向氣隙磁密計算結果對比Fig.14 Comparison of the calculation results of the axial air gap flux density at different radial positions of the three methods

可以看到，相較于傳統的等效磁路等的端部效應處理方法，基于保角映射建模方法整體精確度更高，尤其是在圖中拐點位置附近，且由于等效磁路法所求解得到端部系數為一分段函數，所得結果并不十分光滑。在端部效應較為典型的拐點附近，可以求得本文所提出的解析模型精確度比等效模型法精確度提高了10.61%左右。

在實際應用中，可進一步處理，得到端部效應修正系數

(12)

式中:By(r)為圖14中某半徑r處的軸向磁密值；Bmid為中心半徑處的軸向磁密值。

在氣隙磁場求解完畢后，可進行反電動勢的解析計算。如圖3所示，以槽中心為界線(b1、b2、b3)，將軸向氣隙磁密在各個界線劃分的區間內進行積分，即可求得每相繞組磁通，進而求解得到相空載反電動勢e，即

(13)

(14)

式中:ψ為每相繞組的磁鏈；Ns為每相串聯匝數；φ為每相繞組的磁通；φi為單個線圈的磁通，即

(15)

式中:i=1,2,…，表示單元電機內每相繞組所包含的線圈數，與電機極槽配合方式有關，對于所用24極36槽電機，i=1，bi為圖3中第i個槽中心的界線，Bw為不同徑向位置處w面域內氣隙中心位置的空載軸向氣隙磁密。

3 樣機實驗驗證

對一臺7 kW非晶合金雙定子單轉子AFPM電機進行實驗，對解析建模與有限元計算結果準確性進行驗證。實驗樣機轉速設定為1 000 r/min，使用一臺直流電機拖動樣機，并對樣機的空載反電動勢波形進行測量，樣機的整機、轉子、定子與實驗平臺，如圖15、圖16所示，示波器測得空載反電動勢波形，如圖17所示。

圖15 7 kW AFPM電機樣機照片Fig.15 Photo of the 7 kW prototype

圖16 7 kW AFPM電機實驗平臺Fig.16 Test platform of the 7 kW AFPM motor

圖17 樣機空載反電動勢實驗波形Fig.17 Tested no-load back-EMF waveform of the prototype

由解析模型求得的空載氣隙磁場分布，即可得到AFPM電機的反電動勢波形，經過計算，1 000 r/min時的樣機空載線反電動勢波形的解析、有限元與實驗結果對比，如圖18所示?？梢钥吹?，解析、有限元計算結果與實驗吻合良好，所提出的解析計算模型計算精確度較高，有限元計算與實驗也吻合。

圖18 樣機空載反電動勢波形對比Fig.18 Comparison of the no-load back-EMF waveform of the prototype

4 結 論

本文基于保角映射法，建立了一臺7 kW非晶合金軸向磁通電機的準三維氣隙磁場解析模型，并考慮了電機端部效應對氣隙磁場分布的影響，通過將解析計算結果與有限元、樣機實驗對比，證明了該解析模型計算精確度較高。利用保角映射法考慮AFPM電機端部效應的方法是簡潔有效的，且相比等效磁路的處理方法，在端部效應較明顯的電機內、外徑位置處，等效磁路法磁密計算誤差率約為13.98%，本文所提出方法磁密計算誤差約為3.38%，本解析模型精確度提高了10.61%。相比三維有限元方法，本文提出的解析模型計算耗時大大減小，在得到較為平滑的計算結果時，三維有限元需要迭代15步左右，即便計算空載磁場時簡化掉電樞繞組，在i5-8400處理器，16G內存配置環境下，仍需要計算44分鐘左右。而本模型在MATLAB環境下計算端部效應對不同徑向位置處磁密的影響時，相同配置環境僅需用時2.06秒，僅為三維有限元計算用時的0.078%。因此，本文提出的解析模型對分析電機不同結構參數下的電磁性能有很大幫助，在AFPM電機初始設計階段與優化設計中有較高的實用價值。