偏序集上的相對理想及其分解

劉小資，姜廣浩，劉東明

（1.淮北師范大學 數學科學學院，安徽 淮北235000；2.汕頭大學 數學系，廣東 汕頭515063）

0 引言

無論是站在基礎數學理論研究對整個數學領域研究具有的奠基作用的角度上看，還是站在計算機科學對整個人類現代文明進步的促進作用的角度上看，具有數學和計算機科學雙重背景的Domain理論都是數學工作者以及計算機程序語言開發者所熱衷的對象.也正是因為Domain理論可以跨學科跨分支研究的廣泛性和交叉性，所以Domain理論一直是眾多中外學者研究的熱點［1-5］.作為Domain理論中最為重要概念之一的理想，它對于Domain理論的發展的意義不言而喻，對理想概念推廣的研究工作是學者研究的熱門課題.潘美林等［6-7］在偏序集上引入弱理想并對弱理想的性質進行研究，得到豐富的結果.文獻［8］和文獻［9］首次引入局部極大理想和濾子極大理想的概念.近年來，眾多學者在這方面做深入研究和推廣，并得到一些重要的研究成果［10-12］.作為對定向集這個經典概念的推廣，文獻［13］引入一致集和一致連續偏序集的概念.文獻［14］利用相對的思想引入相對定向集的概念，隨后作者更進一步探討相對連續偏序集相關性質［15-16］.沿著一致集和相對定向集的這個研究思路，本文首先在偏序集上引入一致理想和相對理想的概念，研究它們的性質，討論理想、相對理想和一致理想三者之間的關系.此外，在偏序集上引入局部極大相對理想的概念，并證明其存在性.最后，給出一個相對理想的分解定理.綜合得到的各個結果可以看出，本文在偏序集上所定義的相對理想、極大相對理想以及局部極大相對理想不僅廣泛存在而且性質豐富.

1 預備知識

設P為 偏 序 集，記↓X={y∈P:?x∈X,y≤x}，↑X={y∈P:?x∈X,x≤y}，↓x=↓{x},↑x=↑{x}.X?P，稱X為下集當且僅當X=↓X；X為上集當且僅當X=↑X.設P為偏序集，X?P,X≠?，若?x,y∈X，?z∈X使得x,y≤z，則稱X是P的定向子集.

定義1［2］設P是偏序集，X?P，X為理想當且僅當X為既是下集又是定向集.記P所有的理想構成的集合為Idl(P).

定義2［2］設P為偏序集，若對于任意定向子集D，supD存在且supD∈D，則稱偏序集P是定向完備的.簡記為DCPO.

定義3［13］設P是偏序集，S?P，若?x,y∈S，存在z∈P使得x≤z,y≤z，則稱S為P的一致集.

定義4［14］設P是偏序集，S，T?P，S≠?，T≠?，若?x,y∈S，存在t∈T，使得x≤t,y≤t，則稱S為偏序集P相對于T的定向集.當T給定時，簡稱S為相對定向集.

設P為偏序集，集合T?P，T≠?，記Ir(T)={↓S:S為相對于T的定向集}，U(T)={S:S為相對于T的定向集}.本文用“?”和“?”分別表示集合之間的包含關系和真包含關系.

2 相對理想與一致理想

定義5設P是偏序集，I，T?P，I≠?，T≠?，若I相對T定向且I為下集，則稱I是偏序集P相對T的理想，當T給定時，簡稱I為相對理想.記RIdl(T)={I:I為相對T的理想}.

定義6設P為偏序集，任意I?P，若I為一致集且為下集，則稱I為P上的一致理想.記UIdl(P)={I:I為P的一致理想}.

注1理想不一定是相對理想，相對理想也未必是理想.

注2理想必為一致理想，但一致理想未必為理想.

注3相對理想必為一致理想，但一致理想未必為相對理想.

例1如圖1所示.設P={a,b,c,d,e,f}，令T={b,d,e,f}，I={c,d,e,f}，易證I既為相對理想，又為一致理想，但I不定向，故I不是理想.

圖1 偏序集P的Hasse圖

例2如圖2所示.設Q=M?N，其中N=[0,1]?{a}?，規定Q中的序：若?x,y∈M，則x≤y當且僅當x=y；若x∈N,y∈M，則x≤y；若?x,y∈N，則按圖2中的序.令T=[0,1]?，I=N，則I為一致理想，但I不為理想，且I也不為相對理想.

圖2 偏序集Q的Hasse圖

引理1［14］設P是偏序集，I,T?P,I≠?,T≠?，若I=T則I是相對定向集當且僅當I為定向集.

定理1設P是偏序集，I,T?P,I≠?,T≠?，若I=T,I∈RIdl(T)當且僅當I∈Idl(P).

證明設P是偏序集，I為下集，由引理1可得到，I相對T定向當且僅當T自身定向.故I為理想當且僅當I為相對理想.

引理2［14］設P是偏序集，I,T?P，T≠?，若T=P，則I是相對定向集當且僅當I為一致集.

定理2設P是偏序集，I,T?P,I≠?,T≠?，若T=P，I∈RIdl(T)當且僅當I∈UIdl(P).

綜合得到，理想、一致理想、相對理想三者的關系如圖3所示.

圖3 理想、相對理想和一致理想的關系

定理3設P為偏序集，T?P，T≠?，則RIdl(T)=Ir(T).

證明任意取I∈RIdl(T)，即I相對T定向且I為下集，從而↓I=I，故I∈Iu(T)，所以RIdl(T)?Ir(T).任意取I∈Ir(T)，則存在S∈U(T)，使得I=↓S，從而I為下集.下證I相對T定向.任意 取x,y∈I=↓S，存 在a,b∈S使 得x≤a,y≤b，又S∈U(T)，進 而 存 在t∈T使 得a≤t,b≤t，即x≤t,y≤t，故I∈U(T)，所以I∈RIdl(T)，從而Ir(T)?RIdl(T).綜上可得RIdl(T)=Ir(T).

定理4設P是偏序集，I，T?P，T≠?，I為下集且I≠?，若supI∈T，則I∈RIdl(T).

證明因I為下集，故只需要證I相對T定向.?x,y∈I，有x≤supI∈T，y≤supI∈T，I相對T定向，所以I為相對T的理想.

由定理4立刻得到2個推論.

推論1設P是偏序集，?x∈P，每個主理想↓x∈RIdl({x}).

推論2設P是含有最大元1的偏序集，?S?P，S≠?，若S為下集，則S∈RIdl({1}).

引理3［14］設P為偏序集，T?P，T≠?，I1,I2∈U(T)，若T定向，則I1?I2∈U(T).

定理5設P為偏序集，T?P，T≠?，若I1,I2∈RIdl(T)且T定向，則I1?I2∈RIdl(T).

證明設I1,I2∈RIdl(T)，則I1，I2為下集且I1,I2∈U(T)，從而I1?I2是下集，再由引理3得I1?I2∈U(T)，進而I1?I2∈RIdl(T).

定理6設P為偏序集，T?P，T≠?，若Iλ∈RIdl(T)，λ∈Λ，Λ為任意指標集，若T定向，則

推論3設P為偏序集，T?P，T≠?，若T定向，則RIdl(T)為并半格.

推論4設P為偏序集，若P定向，則UIdl(P)為并半格.

3 極大相對理想

定義7設P是偏序集，T?P,T≠?，M∈RIdl(T)，若M在任意相對于T的理想中極大，則稱M為P中相對于T的極大理想，當T給定時，簡稱極大相對理想.

下面定理說明極大相對理想的存在性.

定理7設P為偏序集，T?P，T≠?，則必存在相對于T的極大理想.

證明設RIdl(T)={I:I為相對T的理想}，可見RIdl(T)為關于集合的包含關系”?”的一個偏序集.設RIdl(T)*為RIdl(T)的一個全序子集，令下證M∈RIdl(T).因I為相對T的理想，故I為下集，從而M為下集.另一方面，任意取x,y∈M，則存在I1,I2∈RIdl(T)*使得x∈I1,y∈I2，又因為RIdl(T)*是全序集，故有I1?I2或I2?I1成立.不妨設I1?I2，則x∈I2，又I2為相對T的理想，從而I2相對T定向，進而存在t∈T，使得x≤t,y≤t，即M相對T定向，故有M∈RIdl(T).由Zorn引理得，RIdl(T)必存在極大值，即偏序集P中必然存在相對于T的極大理想.

命題1每個極大相對理想都為一致理想.

定理8設P為偏序集，T?P，T≠?，若T定向，則↓T∈RIdl(T)且為極大相對理想.

證明?x,y∈↓T，存在a,b∈T，使得x≤a且y≤b，又T定向，故存在t∈T，使得a≤t且b≤t，從而↓T∈U(T).因↓T為下集，進而↓T∈RIdl(T).下證↓T是極大的.設?I∈RIdl(T)，只需要證I?↓T.?u∈I，存在u*∈T使得u≤u*，進而u∈↓u*，即u∈↓T，故I?↓T成立，從而↓T為P中的極大相對理想.

推論5設P為偏序集，?x∈P，若T={x}，則↓x為極大相對理想.

證明由推論1得,↓x∈RIdl({x})，?I∈RIdl({x})，則I?↓x.事實上，若I?↓x，則存在a∈I，使得a?↓x，從而a?x，由I∈U({x})知，a≤x矛盾.

推論6設P為偏序集，若I∈UIdl(P)，則I為相對自身的極大理想.

4 局部極大相對理想

定義8設M是偏序集P的真相對理想，如果存在元素x∈PM，使得M在不含x的所有相對理想中極大（x?M?I蘊涵M=I），則稱M是P的關于元素x的極大相對理想，簡稱偏序集上的局部極大相對理想.

注4偏序集上的極大相對理想都是局部極大相對理想，但反之未必成立.

例3如圖1所示，在偏序集P中，{c,e,f}，{d,e,f}是P的相對T={c,d,e,f}的極大理想，且分別是關于點b和a的極大相對理想；但是{f}是P的關于點e的極大相對理想，卻不是極大相對理想；而{e,f}既不是極大相對理想，又不是局部極大相對理想.

下面定理說明局部極大相對理想的存在性.

定理9對偏序集P的真相對理想I及任意元素x∈PI，必存在關于x的極大相對理想M，使得x?M?I.

證明設α={J:J}是L的真相對理想，且x?J?I.由條件可得，I∈α，故α≠?，且α是關于包含關系“?”的偏序集.設β是α的任一全序子集，令下面證明C∈α.一方面，設a,b∈C，則存在J1,J2∈β使a∈J1,b∈J2.但β是α的任一全序子集，故J1?J2或J2?J1.不妨設J1?J2，那么，a∈J2.因為J2是L的真相對理想，不妨設J2是相對于P的子集T的理想，從而存在t∈T，使得a≤t,b≤t，故C為相對定向集.又C為下集，由定義5可知，C是L的相對理想.易知，x?C?I，故C∈α.由Zorn引理，α中必有極大元.該極大元就是滿足要求的關于x的極大相對理想.

5 相對理想的分解

定理10設P是偏序集，則其每一個真相對理想都可以表示成若干個相對局部極大相對理想的交.

證明設I是P的真相對理想，那么對于任意的x∈PI，由前面定理9，它都存在關于x的極大相對理想Mx，從而使x?Mx?I.令，下面只要證明I=J即可.任意取y∈PI，因為y?My，則，即PI?PJ.于 是J?I，又 因 為I?J，所 以I=J，所 以

定理10不但給出偏序集中相對理想的分解，而且還可以由此得到局部極大相對理想的又一等價條件.

推論7設P是偏序集，并且I是P的真相對理想，那么I是P的局部極大相對理想當且僅當對于任意多個相對理想Iα（α∈Γ），如果，那么必存在α0∈Γ，使得I=Iα0.

證明必要性.設I是P的關于元素x的相對極大理想，并且，所以必然存在α0∈Γ，使得x?Iα0?I，但是I是P的關于元素x的相對極大理想，則I=Iα0

充分性.假設I不是P的局部極大相對理想，則由定理9可以知，I能表示為局部極大相對理想的交，用公式表示在這里Mx(x∈PI)是P的局部極大相對理想，但是I不是P的局部極大相對理想.對于任意的x∈PI,I≠Mx，而這與前面的已知條件必存在x0∈Γ，使得I=Mx0相矛盾，所以I是P的局部極大相對理想.

定義9設P是偏序集，如果P的相對理想不存在無限升（降）鏈：I1?I2?I3?…(I1?I2?I3?…)，則稱P滿足相對理想升（降）鏈條件.

定理11在滿足相對理想降鏈條件的偏序集P中，每個真相對理想可以表示成為有限個局部極大相對理想的交.

證明假設存在真相對理想I，不能表示成有限個局部極大相對理想的交，取x1∈PI，由定理9，必存在關于x1的極大相對理想Mx1，使得x1?Mx1?I.令N1=Mx1，那么由假設知，N1?I.又取x2∈N1I，那么再由定理9，必存在關于x2的極大相對理想Mx2，使x2?Mx2?I.令N2=N1?Mx2，那么N2?I，再由假設知，N2?I，并且由x2∈N1,x2?N2知，N1?N2.因為I不能表示成有限個極大相對理想的交，以上做法可以無限重復下去，所以得到一個嚴格無限降鏈N1?N2?N3?…，矛盾.

注5從上面的討論可以得出，偏序集上的局部極大相對理想不僅具有良好性質，而且能夠給出偏序集上的相對理想分解定理.