非零橫截面亥姆霍茲線圈的中心軸向磁場*

安靖婕 張露妍 趙品彰 / 江蘇省計量科學研究院

0 引言

在電磁相關的科學或工程研究領域，亥姆霍茲線圈是一種常見的儀器設備，能夠產生可計算的靜態或者交流磁場，應用于地磁場的測量及補償[1]、電磁場的模擬[2]、弱磁場測量儀器的校準[3][4][5][6][11]、電磁兼容抗擾度試驗[7]等方面。文獻[8][9]表明，在亥姆霍茲線圈中心附近的一定空間內，磁場均勻，這種特性對于弱磁儀器的校準和電磁兼容抗擾度試驗非常重要。

亥姆霍茲線圈中心軸向磁場的精確計算是應用的基礎。以圓形亥姆霍茲線圈為例，文獻[3][4][10]分析了影響中心軸向磁場測量準確度的各個因素，包括線圈機械尺寸（半徑、間距）誤差、饋入電流的量值誤差、導線匝數誤差、頻率上限等。在計算中心軸向磁場強度和分析誤差時，將線圈視作圓形電流環，橫截面積相對線圈直徑近似為零，可簡化計算過程；實際上，當線圈匝數較多且電流較大時，橫截面積會影響中心軸向磁場的計算結果，尤其在應用亥姆霍茲線圈產生校準用的精密標準磁場時，這一影響更應被重視，本文將對此展開論述。

1 圓形電流環軸線上的軸向磁場

如圖1所示，假設有一個圓形電流環，環的橫截面積遠小于相對環半徑，以它的中心為原點O建立直角坐標系，x軸穿過原點并與圓環平面垂直，則在x軸上靠近原點的某一點P(xP,0,0)沿x軸方向的磁場強度Hx(xP,0,0)可用式（1）計算：

圖1 圓形電流環示意圖

式中：Hx(xP,0,0) —— 磁場強度，A/m；

r—— 圓環的半徑，m；

xP——P點的x軸坐標值，m；

I—— 導體中的電流值，A

2 亥姆霍茲線圈的中心軸向磁場

如圖2所示，圓形亥姆霍茲線圈由一對線圈平行共軸放置而成，兩個線圈的匝數分別為N1和N2，半徑分別為r1和r2，兩個線圈之間的間距為d，導線中的電流為I，且方向相同。根據亥姆霍茲線圈的定義，應滿足N1=N2=N，r1=r2=r，d=r?，F在以亥姆霍茲線圈的中心為原點O建立直角坐標系，x軸穿過原點并與線圈平面垂直。假如不考慮線圈的橫截面積，將其視為電流環，參考式（1），亥姆霍茲線圈在靠近原點的x軸上一點P(xP,0,0)沿x軸方向產生的磁場強度為

圖2 亥姆霍茲線圈示意圖

則在原點沿x軸方向產生的磁場強度HC可通過式（3）計算，式（3）被稱為經典公式：

當線圈匝數較多時，無法忽視橫截面積對中心軸向磁場數值的影響。用xOy平面將線圈切開，得到圖3所示的橫截面，稱之為非零橫截面。將此橫截面近似為矩形，假設其x軸方向的邊長為2b（寬度），y軸方向的邊長為2a（厚度）。在線圈繞制過程中，多匝導線之間存在間隙（如圖4所示），在繞制足夠緊密的條件下，導線間隙很小，甚至可以被忽略，則橫截面內的等效平均電流密度

圖3 非零橫截面

圖4 橫截面示意圖

圖3中，在第一象限的橫截面內找到一點A（xA,yA），則在第二象限的橫截面內可以找到一點B（xA-d,yA），AB與x軸平行且A與B之間的距離為d；在第三象限的橫截面內可以找到一點C（xA-d,-yA），B與C相關于x軸對稱；在第四象限的橫截面內可以找到一點D（xA,-yA），D與A相關于x軸對稱。如果將A、B、C、D四個點視為線圈橫截面微元，則四個微元構成了以x軸為中軸線的亥姆霍茲子線圈橫截面，而子線圈的中心點在原點附近沿x軸移動。

基于該思路，將亥姆霍茲線圈橫截面分割成圖5所示的微單元網格，第一象限的橫截面內的每一個電流微元λe·dxdy，在另外三個象限的橫截面內總能找到對應的微元，與之組成亥姆霍茲子線圈橫截面；眾多子線圈在原點附近沿x軸方向的磁場強度之和，即為非零橫截面亥姆霍茲線圈中心的真實磁場強度HC，基于式（2）得到：

圖5 橫截面網格圖

假如應用式（3）計算亥姆霍茲線圈中心軸向磁場強度，相對誤差為

當橫截面相對線圈半徑的尺寸，即a/r與b/r的值在0.05～0.25間變化時，根據式（6），可以計算得到不同的相對誤差值，對應關系如圖6所示。從圖6中可以發現，假如忽略亥姆霍茲線圈的橫截面積應用式（3），橫截面厚度（2a）引起的誤差要大于橫截面寬度（2b），當a/r=0.05，b/r=0.25時，誤差為0.1%；而當b/r=0.05，a/r=0.25時，誤差可達0.5%。

圖6 橫截面尺寸對中心磁場的影響

3 結語

通過數值計算分析了橫截面尺寸對于圓形亥姆霍茲線圈中心軸向磁場強度的影響。由此得出結論：當線圈匝數一定時，應盡可能增大橫截面寬度，減小橫截面厚度，應用經典公式計算亥姆霍茲線圈中心的軸向磁場強度時，誤差才能得到有效控制。下一步工作的設想是研制一組實物線圈對理論研究結果進行驗證，難點在于機械加工精度的把控，以及找到一款準確度高、體積小的商用磁場探頭。