基于函數極值的多極化MIMO系統性能研究

蔣躍宇 承昊新 錢瑛 王春潔 海凜

【摘要】? ? 基于信道模型提取出多極化MIMO系統所有相關系數的表達式，將其與相關系數和容量因子的關系式結合起來，獲得描述多極化MIMO系統性能的確切表達式。該式作為散射體擴展方位角和俯仰角的多元函數，可以通過求函數極值以得到在何種散射環境下能夠獲取最佳的系統性能。

【關鍵詞】? ? MIMO? ? 多極化? ? 相關系數? ? 信道容量? ? 角度擴展

引言：

關于MIMO系統的研究由來已久，但通常采用的一些對系統性能衡量的標準比如EDOF[1]、相關矩陣秩[2]、信道矩陣乘以其共軛轉置的特征值[3] 等等。但這些標準均不夠直觀或對系統性能的表征不足，例如EDOF和特征值都是一系列隨機數值，矩陣秩僅僅適用于判斷收發端的相關矩陣。

在過去的研究中，Oestges等人提出了容量影響因子[4-5]，并指出相關系數實際上可以分成交叉相關系數和收發相關系數兩類[6-7]，其數值的降低對系統容量分別起到增加和降低的作用。容量影響因子直接表征了MIMO系統的容量大小，其表達式也直觀地體現了各相關系數對容量的影響，因此，只需要獲取相關系數關于散射體分布參數的確切表達式，將其代入容量因子與相關系數的關系式，就可以得到容量和傳播環境的直接關系。

一、相關系數表達式的獲取

1.1 MIMO系統的物理模型

對MIMO系統相關性的計算，一般通過對接收信號在散射體擴展角度范圍內進行積分獲取。然而[8-9]等采用的模型僅能描述發射天線之間的相關性或接收天線之間的相關性，所以必須采用Kronecker積方法對交叉相關系數進行估算。為避免這種情況，我們選擇了一種描述信號整個傳播過程的信道模型[10]。在前期的工作中，我們同樣應用了該模型，且本文的模型設置都和前期工作[11]所采用的設置完全一致：

令和為方位面內的散射體平均入射角和入射角度擴展范圍，θ0和Δθ分別為俯仰面內的散射體平均入射角和入射角度擴展范圍，Ω為當前入射信號所在方向的立體角。接收信號來自于方位面和俯仰面，如圖1所示，令散射體相對收發端的立體角一一對應。

令散射矩陣S（Ω）描述發射信號的電場經由Ω方向的散射體發生的變化，即

（1）

令第k個天線元的方向圖函數為，在θ和方向上的分量分別是和。則信號從第m號發射天線發出再由第n號接收天線接收，其信道響應為

（2）

而子信道之間的相關性系數可以寫成

（3）

其中

（4）

通過式（2）～式（4），我們就能夠計算出任意入射角譜擴展下各子信道之間的相關系數。

1.2相關系數的計算

給定入射角分布，即和、θ0和Δθ，則各子信道之間的相關系數計算舉例如下：

（5）

通過類似式（5）的進一步計算，可以分別求出式（3）的分子和分母各項，即可得到子信道之間的相關性系數。而完整的相關矩陣可以由計算完成的相關系數組合而成，以2×2 MIMO系統為例，相關矩陣可以寫成：

（6）

式（1～4）所描述的信道模型僅僅是一種比較方便獲得相關系數與散射體分布之間聯系的模型。如果采用其它模型，可能得到不同的表達式，但同樣可以進行下一步的代入過程。

二、求函數極值獲取最佳容量

2.1容量因子表達式的獲取

雖然本研究可以擴展到正交三極化天線，但由于算式過于復雜，本文僅以2×2天線為例進行說明。根據文獻[4-5]，MIMO信道容量的上界與各種相關系數有著直接的關系，可以由下式描述2×2 MIMO系統的性能：

（7）

式中為容量影響因子，m為發射天線數量，ES/N0為信噪比，si為交叉相關系數，r和t為傳統收發相關系數。這個式子非常直觀地描述了不同相關系數對信道容量的影響。

如果已經獲得式（6）中相關矩陣所有元素的其確切表達式，那么只要代入式（7），即可獲得容量影響因子和散射體分布即、、θ0、Δθ的關系。在我們的前期工作中，考慮了散射體分布關于收發端連線對稱的情況[11]，這種情況下θ0和定位在收發端連線上，取值固定，此時問題變為求二元函數極值。如果θ0和不固定，則問題會變為求四元函數極值，更為復雜（但仍可求解）。

另外當散射矩陣S（Ω）各元素方差取值不同時，表達式具有不同的結果。本文采用常見的歸一化設置，即所有方差均為1。在這種情況下，對相關系數的表達式進一步推導，可以得到精確的解析式。例如和的計算結果為

（8）

以及

（9）

此時根據式（8）、（9）等解析式就可以得到容量影響因子的精確表達。因為最終表達式的規模比較龐大，本文不再具體列出。

2.2容量因子與環境參數的關系

至此，信道容量的極值問題轉化為該表達式的極值問題，而該表達式為俯仰角和方位角的函數，因此可以通過求函數極值的方法求解，例如采用求偏導等方法，可以解得系統在何種散射環境下取得最佳容量。但由于容量影響因子的具體表達式比較復雜，而且僅僅獲得極值并不足以滿足實際需求，本文采用程序進行輔助計算。

在前期的研究中，我們僅僅指出了一些能夠獲得較優秀系統性能的大致角度范圍，而本文可以通過精確的表達式給出更加精確的取值。并且前期我們僅僅能對散射環境對稱的情況進行研究，現在可以研究任意取值的θ0和，只是計算更為繁瑣。具體結果如圖2和圖3所示，其中圖2仍然是散射環境對稱的情況，與[11]的結論相比完全相符;而圖3是θ0和任意取值例如、的情況。

θ0和任意取值的情況下，容量影響因子與和Δθ的關系各有不同，本文不再一一展示。但總體來說可以得到統一的結論，就是一般都在和Δθ比較小的時候能夠獲得相對較高的容量因子;并且無論θ0、、和Δθ的取值如何，其交叉相關系數對容量上限的提升必然大于傳統收發相關系數對容量上限的削減，導致對應的容量因子取值均大于1，而容量因子取1對應著就是子信道之間完全不相關的理想情況。

更進一步，我們對散射體任意分布的情況，即θ0、任意取值時容量因子的極值進行研究，結果如圖4所示。

從圖4可以看出，容量因子的極值分布有著很強的規律性，總的來說最大容量在=180°的情況下比較容易獲得，并且最大容量關于θ0呈周期性分布。這種周期性的原因有待進一步研究，但參考本結論我們已經可以解決整個系統在何種環境下可以獲得較佳容量甚至最大容量。

三、結束語

通過將MIMO系統的容量問題轉化為數學上的極值問題進行求解等相關計算，我們可以獲得正交極化分集在任意散射體擴展角度范圍下對應的容量因子取值的變化。

通過對這種變化的特征進行歸納，一方面我們能夠通過適當控制天線調整散射環境以獲得更好的系統性能;一方面我們發現無論散射體擴展角度范圍如何分布，正交極化分集對應的容量因子取值均大于1，也就是說正交極化分集比起空間和角度等分集方式，在相關性取值上有著天生的優越性。

參? 考? 文? 獻

[1] L. Zhu， S. Wang and J. Zhu， “Adaptive Beamforming Design for Millimeter-Wave Line-of-Sight MIMO Channel，” in IEEE Communications Letters， vol. 23， no. 11， pp. 2095-2098， Nov. 2019.

[2] K. Honda and K. Ogawa， “Over-The-Air Apparatus for Large-Scale MIMO Antennas to Create the Full-Rank Channel Matrix，” 2020 International Symposium on Antennas and Propagation （ISAP）， 2021， pp. 547-548.

[3] D. Piao， “Characteristics of the Hexapolarized MIMO Channel over Free-Space and Three Non-Free-Space Scenarios，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 12， no. 8， pp. 4174-4182， August 2013.

[4] Oestges C， Paulraj A J， “Beneficial impact of channel correlations on MIMO capacity，” Electronics Letters， vol.40， no. 10， pp. 606-608， May 2004.

[5] C. Oestges， B. Clerckx， D. Vanhoenacker-Janvier and A. Paulraj， “Impact of diagonal correlations on MIMO capacity： application to geometrical scattering models，” 2003 IEEE 58th Vehicular Technology Conference. VTC 2003-Fall （IEEE Cat. No.03CH37484）， 2003， pp. 394-398 Vol.1.

[6] Clerckx B， Oestges C. MIMO wireless networks： channels， techniques and standards for multi-antenna， multi-user and multi-cell systems. 2nd ed. Amsterdam： Academic Press， 2013.

[7] D. Schneider and H. Frey， “Analytical Derivation of Outage Correlation in Random Media Access with Application to Average Consensus in Wireless Networks，” 2020 IEEE 31st Annual International Symposium on Personal， Indoor and Mobile Radio Communications， 2020， pp. 1-7.

[8] T. Svantesson， M. A. Jensen and J. W. Wallace， “Analysis of electromagnetic field polarizations in multiantenna systems，” in IEEE Transactions on Wireless Communications， vol. 3， no. 2， pp. 641-646.

[9] C. A. Viteri-Mera and F. L. Teixeira， “Feasibility analysis of polarimetric-interference alignment beamforming in rich-scattering indoor channels，” 2016 IEEE International Symposium on Antennas and Propagation （APSURSI）， 2016， pp. 335-336.

[10] N. Prayongpun， K. Raoof， “Impact of depolarization phenomena on polarized MIMO channel performances，” I. J. Communications， Network and System Sciencesy， vol. 1， no.2， pp. 124-129， May. 2008.

[11] 戴勇，李偉，汪大洋，趙金城，海凜. “正交三極化MIMO 系統有益入射角譜分布的研究”，中國新通信，已錄用，2021.