基于混沌序列的彩色圖像量子加密方案*

盧愛平 李盼池

（東北石油大學計算機與信息技術學院 大慶 163318）

1 引言

隨著多媒體信息技術的快速發展，妥善解決信息安全問題越來越迫切。作為多媒體傳輸安全策略之一的圖像加密，在經典圖像處理中已被廣泛研究，且已獲得豐碩的研究成果［1～8］。然而由于量子圖像處理這一新興交叉學科才剛剛起步，量子圖像加密比較經典圖像加密，還很不成熟。量子圖像處理的研究開始于量子圖像描述，尚未形成統一的定義。目前量子圖像描述方法主要有基于量子比特陣列的描述［9］，基于量子糾纏的描述［10］；靈活的量子圖像描述（FRQI）［11～14］，新穎的增強量子圖像描述（NEQR）［15］。其中FRQI模型充分利用了量子疊加性，與NEQR相比具有量子比特數少的優點。

量子圖像加密是量子圖像處理的重要分支之一，也是目前研究最為活躍并取得相對豐碩成果的分支。文獻［16］提出了一種基于量子圖像幾何變換的加密方案；在文獻［17］中，首先提出了一種新的彩色圖像描述方法，其中R、G、B三基色采用3個量子比特描述，然后提出了基于量子比特隨機旋轉的量子圖像加密方法。

本文基于FRQI模型描述量子彩色圖像，基于三種混沌序列和受控旋轉分別提出對應的加密方案。經典計算機上的仿真結果表明，加密后的直方圖分布均勻，且解密效果對秘藥敏感，因此該方法具有較好的抗攻擊能力。

2 量子圖像的FRQI描述

對于一幅2n×2n的彩色圖像，設每個像素RGB三基色的灰度值范圍均為{0，1，…，255}，第k個像素的三基色灰度值分別為，在FRQI中，該圖像可描述為下式。

3 混度序列

混沌序列是加密方案中經常采用的策略之一?；煦缑菜齐S機但卻有精致的內部結構，其特點是對局部空間有較好的遍歷性和對初值的高度依賴型。本文采用以下三種混沌序列。

3.1 chebyshev映射

Chebyshev映射的定義如下式。

其中整數ω為模型的階數，只有當ω≥2時，模型呈現混沌序列，其值-1＜x(n)＜1。若取0為閾值，可以得到取值為{-1， 1}的混沌序列。

3.2 logistic映射

Logistic映射是研究動力系統、混沌、分形等復雜系統行為的一個經典模型。Logistic映射又叫蟲口模型，是在一定地域范圍內，統計昆蟲數目時得到的昆蟲數目變化的簡單數學模型，具體如下式所示。

其中u是混沌吸引子，當u=4時，系統進入混沌狀態，產生混沌變量x(n)，n=1， 2， 3，…，其值在區間(0，1)內。若取0.5為閾值，可以得到取值為{-1，1}的混沌序列。

3.3 tent映射

tent映射在數學中是指一種分段的線性映射，因其函數圖像類似帳篷而得名。除此之外，它還是一個二維混沌映射，其廣泛運用在混沌加密系統中，在混沌擴頻碼的產生、混沌加密系統構造和混沌優化算法的實現中也經常使用。帳篷映射的定義如下：

帳篷映射在其參數范圍內是一個混沌映射，并且具有均勻的分布函數和良好的相關性。若取0.5為閾值，可以得到取值為{-1， 1}的混沌序列。

以n=256，ω=20，μ=4，a=0.3，x(0)=0.32為例，四種混沌映射序列如圖1所示。

圖1 長度為256的三種混沌序列

4 彩色圖像的量子加密方案

對于三基色顏色值范圍{0，1，…，255}的彩色圖像，根據FRQI描述，R、G、B三通道的顏色值只需1個量子比特描述。以一幅2n×2n的彩色圖像為例，描述整幅圖像只需要2n+1個量子比特。

4.1 量子圖像的制備

4.2 像素位置置亂

令彩色圖像的幅度為2n×2n。像素位置置亂的基本思路是：首先根據式（3）～（5），生成三種長度為2n×2n的混沌序列，將每個序列按升序排序，排序后各序列的索引值即為自然數1～2n×2n的一個隨機排列S。將所有像素按行首尾相連構成一個行向量，將該向量按隨機排列S重新排序，再將排序后的行向量逐行放回原矩陣，即可實現像素位置置亂。

首先將原圖像量子化。令原圖像中像素(i，j)的灰度值為，置亂后位置為(s，t)，令k0=(s-1)2n+t，k1=(i-1)2n+j，則置亂過程對應的角度變化量為

4.3 像素顏色置亂

顏色置亂的基本思路是：首先按式（3）～（5），生成三種長度為2n×2n的混沌序列S，將該序列乘以2π作為隨機旋轉角度。

對于一幅2n×2n的彩色圖像，首先采用三種混沌映射分別產生長度為2n×2n的隨機序列：Scheb、Slogi、Stent，將這三個序列排成2n×2n的方陣，按下式定義旋轉角度：

記RYX=R(Angle(Y，X))，根據量子計算原理，像素P(Y，X)顏色比特的隨機旋轉可定義為

整幅圖像的旋轉算子可由22n個子算子RYX組成。

4.4 加密方案的安全性

在本文提出的彩色圖像加密方案中，如下兩點保證了加密方案的安全性。

1）加密后圖像的直方圖近似均勻分布

對于加密后的圖像，不僅像素位置呈現隨機性，基于混沌序列的顏色比特旋轉，也導致其三基色顏色值呈現出高度隨機性，所有灰度級取值的概率近似相等，像素直方圖近似均勻分布。

2）解密效果對秘鑰的敏感性強

該方案的秘鑰為混沌序列的初值。由混沌序列特性可知，其序列取值對處置的依賴性極其敏感，只要初值產生及其微小的波動，整個序列的取值就將面目全非。當混沌序列用于圖像加密時，除非秘鑰被精確破解，否則即使有極其微小的誤差，也就導致破解失敗。因此該性質有效提升了加密圖像的安全性。

4.5 加密圖像的解密方案

在本文提出的加密方案中，采用的所有算子都是可逆的酉算子，其逆算子是其自身的共軛轉置。解密過程是加密的逆過程，根據量子計算的可逆性，解密過程只需采用加密算子的共軛轉置即可?，F將解密過程簡述如下。

首先，合法的接收者從發送者取得秘鑰，生成混沌序列，并構造如下旋轉矩陣，實施像素顏色解密。

其中R+表示R的共軛轉置。具體的解密過程可描述為。

然后，將混沌序列按升序排序，利用其索引序列將原始圖像排序。令原圖像中像素(i，j)的灰度值為，排序后位置為(s，t)，令k0=(s-1)2n+t，k1=(i-1)2n+j，則位置解密過程對應的角度變化量為

5 經典計算機上的仿真

由于量子計算機還沒有普及，所以本文所有仿真都在經典計算機上執行。盡管無法仿真量子計算的并行性，但能仿真提出方案的執行效果。仿真軟件采用Matlab（2014a），量子圖像采用向量描述，各種算子采用矩陣描述，各種處理操作可采用對應的算子矩陣與圖像向量的乘積實現，Matlab強大的矩陣運算功能完全可以展現方案的執行效果。仿真中采用的4幅512×512的彩色圖像如圖2中（a）～（b）所示。

5.1 加密效果

三種混沌序列的長度為n=512×512×24，相關參數為ω=20，μ=4，a=0.3，初值均取0.32。三種混沌加密后的圖像如圖2所示，解密后的圖像與原始圖像完全相同，不再給出。

圖2 仿真采用的4幅原始圖像

5.2 秘鑰敏感性分析

一個理想的加密方案必須對秘鑰高度敏感。為測試提出方案的秘鑰敏感性，首先對秘鑰（混沌序列初值）分別施加幅度為10-1，10-2，…，10-15的隨機熱擾動，然后根據混沌序列構造旋轉角度，實施解密，實驗結果表明，對于三種混沌序列chebyshev、logistic、tent，當 擾 動 幅 度 分 別 減 小 至10-14，10-13，…，10-14時，加密方案仍然是安全的，解密效果與圖3完全相同。再進一步減小，才會呈現出原圖像的輪廓。這說明三種混沌加密方案的秘鑰空間分別為1014、1013、1014，足以低于蠻力攻擊。

圖3 4幅原始圖像的加密效果

為定量評價解密圖像的質量，首先按下式定義解密圖像的峰值信噪比。

其中I(i，j)和I'(i，j)為原始圖像和解密后圖像。

表1給出了施加微小擾動下，解密后4幅圖像的峰值信噪比。

表1 施加微小秘鑰擾動下解密圖像的PSNR

從表1可知，對秘鑰施加微小擾動后，解密前后的PSNR幾乎沒有變化。只有當解秘秘鑰與加密秘鑰精確匹配時，才能完全恢復原始圖像。由于提出的加密方案的密鑰空間足夠大，因此除非事先獲得精確的秘鑰，否則要精確地恢復原始圖像幾乎是不可能的。

5.3 相鄰像素相關性分析

一個好的加密方案，相鄰像素之間應該幾乎不相關。為考察相鄰像素之間的相關性，首先給出相關系數的定義。

其中E(x)，E(x)，E(x)和D(x)，D(x)，D(x)分別為三基色顏色值的均值和方差。

為考察相鄰像素的相關性，對于每幅圖像，分別在水平、豎直、對角三個方向上隨機選取10000對相鄰像素，然后計算相關系數。三種混沌加密方案的相關系數計算結果如表2～4所示。其中Iori表示原始圖像，Ienc表示加密圖像。

根據表2～4展示的實驗結果，原始圖像三個方向上的相關性均很強，而三種混沌加密圖像三個方向上的相關性均很小，這表明本文提出的基于三種混沌序列的彩色圖像加密方案，均具有較好安全性。

表2 chebyshev加密方案相鄰像素的相關性

為進一步展示原始圖像和加密圖像相鄰像素相關性的差異，以圖2（d）圖像的chebyshev混沌加密為例，相鄰像素R，G，B顏色值分布如圖4～6所示，每幅圖中上面三個屬于原始圖像，中間三個屬于加密圖像，下面三個屬于秘鑰施加幅度10-14微小擾動后的解密圖像。

圖4 相鄰像素對于紅色的相關性

表3 logistic加密方案相鄰像素的相關性

表4 tent加密方案相鄰像素的相關性

圖5 相鄰像素對于綠色的相關性

圖6 相鄰像素對于藍色的相關性

圖4～6展示的結果表明，對于本文提出的基于混度序列的加密方案，加密后圖像中的相鄰像素之間在水平豎直對角三個方向上幾乎不具有任何相關性。

5.4 直方圖測試

仍然以圖2（d）圖像為例，在加密前后，R，G，B直方圖分布如圖7所示。其中上面三個屬于原始圖像，中間三個屬于加密圖像，下面三個屬于秘鑰施加幅度10-14微小擾動后的解密圖像。

圖7 加密前后三基色直方圖對比

由圖7可知，本文提出的加密方案能使顏色直方圖呈現近似均勻分布，不給采用統計信息的非法用戶提供任何破解圖像的線索，且對秘鑰施加微小擾動后，完全不能破解原始圖像，從而使加密方案更加安全。

6 結語

本文提出了基于混沌序列的量子彩色圖像加密方案，分別考察了三種混沌序列的加密效果，結果表明三種方案的加密性能非常接近，實際應用時可以任選其一。經典計算機上的仿真結果驗證了加密方案的有效性。該方法的秘鑰為混沌序列的相關參數和初值，秘鑰非常簡單，但敏感性極強，從而保證了加密方案的安全性。