基于改進的Green-Ampt入滲模型的炭質泥巖粗粒土路堤邊坡穩定性分析

何忠明，鐘魏，劉正夫，李奇，舒青海

(1.長沙理工大學交通運輸工程學院，湖南長沙，410004；2.長沙職業技術學院建筑與藝術設計學院，湖南長沙，410217；3.昆明空投建設管理有限公司，云南昆明，650000)

炭質泥巖在我國西南地區廣泛分布，飽水之后具有易軟化崩解、變形大等特點，一般很少作為路堤填料使用。隨著我國西南地區交通建設的不斷發展以及環保意識的不斷提高，一些研究者對炭質泥巖粗粒土的路用性能進行了研究[1-4]，其成果在實際工程中得到應用。在對炭質泥巖粗粒土路堤邊坡穩定性進行分析時，應特別注意水體入滲對炭質泥巖粗粒土路堤邊坡穩定性的影響。水體入滲除了會引起炭質泥巖粗粒土孔隙水壓力上升、重度增大及基質吸力減小外，還會軟化炭質泥巖[5-6]，弱化其力學參數，顯著降低炭質泥巖路堤邊坡的穩定性。一些研究人員分析了降雨入滲及水位升降過程中炭質泥巖粗粒土路堤邊坡的穩定性變化規律，并對炭質泥巖土分層路堤的入滲規律及穩定性進行了研究[7-10]，但對于炭質泥巖粗粒土路堤邊坡的入滲深度與時間的動態關系的研究不夠深入。

目前，國內外運用最廣泛的入滲模型為Green-Ampt模型[11]，該模型參數簡單，物理意義明確，在多孔介質中的垂直入滲的研究中得到了廣泛應用。但該模型在應用于邊坡降雨入滲分析時存在以下不足：1)Green-Ampt模型假設表面水平，且存在一定的積水深度，而實際邊坡則是表面傾斜，雨水除了滲入邊坡內部之外，常在邊坡表面形成徑流，沿著坡面排走，難以形成積水，因此，邊坡降雨入滲初期不一定存在飽和區；2)Green-Ampt模型假定濕潤鋒以內土體為完全飽和狀態，不存在非飽和區，未考慮非飽和滲流，這與實際情況不符。

部分學者對該模型進行了改進，將其用于分析邊坡降雨入滲情況。汪丁建等[12]在原模型的基礎上考慮了沿坡面發生的滲流以及滲透力，但未分析土體濕潤層的體積含水率沿深度的分布；BOUWER[13]對入滲進行了研究，建議濕潤鋒以內土壤導水率為飽和導水率的0.5倍；MA等[14]發現濕潤鋒以內土體導水率為飽和導水率與飽和系數之積；呂特等[15]建議對滲透系數進行修正，修正系數取0.7。以上研究雖然對滲透系數進行了修正，但僅適合某種特定土體或者入滲深度在一定范圍內的情況，且未考慮滲透系數的動態變化。YAO等[16]考慮了飽和區與非飽和區厚度各占濕潤鋒深度的50%，并將其用于邊坡穩定性分析。張潔等[17]研究了適用于斜坡降雨的Green-Ampt模型，但將滲透系數采用飽和滲透系數的一半，未考慮滲透系數隨著濕潤鋒的推進而不斷變化的情況。王文焰等[18-19]通過實驗統計并驗證了飽和層厚度約為濕潤鋒厚度的一半，但這種處理過于簡單，未考慮隨著濕潤鋒的推進，飽和層占濕潤鋒的比例會不斷變大等情況。

由以上分析可知，當前對Green-Ampt 模型的改進主要集中在對滲透系數進行修正以及考慮濕潤鋒內飽和區和非飽和區的影響等方面。這些研究大多通過引入一些經驗系數來進行改進，因此，計算結果存在較大主觀性，無法動態考慮雨水入滲深度、濕潤鋒內飽和、非飽和區域及滲透系數的變化。為此，本文作者在前人的基礎上，考慮降雨入滲過程中非飽和區對入滲量和滲透系數的影響，對Green-Ampt模型中的滲透系數和飽和非飽和區域分布情況進行修正；結合土體抗剪強度公式，分別以濕潤鋒面、飽和區與非飽和區的交界面為危險滑動面，將改進后的Green-Ampt 模型用于炭質泥巖路堤邊坡穩定性分析，最后將改進前后的Green-Ampt模型計算結果與數值模擬結果進行對比，分析本文改進模型的可靠性，為工程實踐提供參考。

1 入滲模型分析

1.1 Green-Ampt入滲模型

Green和Ampt研究土體在薄層積水時提出一種入滲模型即Green-Ampt 入滲模型，該模型假定：1)土體沿深度方向上的體積含水率始終不變；2)雨水入滲過程中濕潤鋒面始終為1個干濕截然分開的界面，即濕潤鋒內體積含水率為飽和含水率θs，濕潤鋒下方土體的體積含水率為初始含水率θi，如圖1所示[11]。

圖1 Green-Ampt模型入滲圖Fig.1 Infiltration diagram of Green-Ampt model

基于上述假設和達西定律，土體的入滲速率為

式中：i為入滲速率，m/d；h為地表積水深度，m；zf為濕潤鋒深度，m；ks為飽和滲透系數，m/d；sf為濕潤鋒處的平均基質吸力水頭，m。

Green-Ampt模型假設濕潤鋒至入滲初始表面之間的土體達到完全飽和，故累計入滲量I為

式中：θs為飽和體積含水率；θi為初始體積含水率。

由累計入滲量I和入滲速率i的導數關系可得

聯合式(1)，(2)和(3)，可得雨水入滲深度h和時間t的函數關系為

式(4)即為Green-Ampt 入滲模型。該公式形式簡單，但未考慮非飽和區和滲透系數的變化，故其應用存在一定局限性。

1.2 改進的Green-Ampt入滲模型

本文在Green-Ampt 模型基礎上，將雨水入滲分為2個階段：降雨強度控制階段和土體入滲能力控制階段。

1.2.1 降雨強度控制階段

在降雨強度控制階段，假設土體僅表面層飽和，厚度忽略不計，濕潤鋒至邊坡坡面全為非飽和區，此時，降雨全部滲入土體，隨著降雨時間增加，非飽和區不斷增大。采用橢圓形曲線來描述非飽和區的體積含水率沿深度的分布規律[19]，水平半軸為飽和體積含水率和初始體積含水率之差，豎向半軸為非飽和區深度，第一階段入滲模型示意圖如圖2所示。對于邊坡而言，表面不發生積水，此階段的極限狀態為降雨強度等于土體入滲能力控制階段時的初始入滲速率，即

圖2 第一階段改進Green-Ampt 入滲模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of the first stage of the improved Green-Ampt infiltration model

式中：q為降雨強度，m/d；β為邊坡傾角，(°)；z1為土體開始出現飽和區時的濕潤鋒深度，m；kˉ為非飽和區的等效導水率，m/d。

根據彭振陽等[20]的研究，非飽和區的入滲系數沿深度線性減小，其滲透系數為

其中：zs為飽和區厚度，m；zw為非飽和區厚度，m；ki為干燥層的導水率，m/d。

非飽和區的等效導水系數k為

結合式(6)和式(7)以及飽和區深度zs可得濕潤鋒至邊坡表面的等效導水系數：

在第一階段，zs=0，可得

聯立式(5)和(9)可得

當zf

根據非飽和區體積含水率與深度的橢圓關系可得

由式(11)和式(12)可得降雨入滲后未出現飽和區時的Green-Ampt入滲模型為

將式(10)代入式(13)可得路堤開始出現飽和區時所對應的時間t1為

1.2.2 土體入滲能力控制階段

當降雨時間t>t1時，雨水入滲進入第二個階段即土體入滲能力控制階段。在此階段，降雨強度大于入滲速率，土體內部飽和區開始不斷增大，非飽和區體積占濕潤鋒至邊坡坡面之間的區域體積的比例不斷減小。第二階段入滲模型如圖3所示。在第二階段，隨著濕潤鋒深度不斷增大，土體飽和區開始擴大，非飽和區體積占濕潤鋒至邊坡表面區域的體積的比例沿濕潤鋒深度線性減小[20]，可得

圖3 改進Green-Ampt入滲模型第二階段示意圖Fig.3 Schematic diagram of the second stage of the improved Green-Ampt infiltration model

其中：a和b為經驗參數。

聯立式(8)和式(15)可得

此時，入滲速率i為

累計入滲量I為

將式(18)代入式(3)有

將式(17)代入式(19)得

將式(20)積分后得到土體內部出現飽和區時的Green-Ampt入滲模型為

2 邊坡穩定性分析

炭質泥巖粗粒土路堤邊坡在降雨作用下容易發生淺層滑坡[21-22]，破壞面多為濕潤鋒面。而本文將濕潤鋒至邊坡表面的區域分為飽和區和非飽和區，飽和區與非飽和區的交界面也可能是危險滑動面[23-25]。采用取傾角為β的單位長度的邊坡為研究對象，分別以濕潤鋒面、飽和區和非飽和區的交界面為危險滑動面(如圖4所示)，利用極限平衡法求出最不利條件下的邊坡安全系數，分析邊坡安全系數隨雨水入滲深度和降雨時間的變化關系。

圖4 不同階段的邊坡滑動面示意圖Fig.4 Schematic diagrams of slope sliding surface at different stages

當以濕潤鋒面為危險滑動面進行分析時，抗滑力采用Fredlund非飽和土體的抗剪強度公式[26]求解；當以飽和區和非飽和區的交界面處為危險滑動面進行分析時，抗滑力采用摩爾-庫侖飽和土體的抗剪強度公式求解。同時，考慮炭質泥巖粗粒土軟化特性，隨著飽水時間增加，對土體黏聚力和內摩擦角進行折減[4-5]。假設非飽和區土體重度與體積含水率呈線性相關，則土體重度沿非飽和區深度呈橢圓分布。非飽和區土體重度計算模型如圖5所示，此時，不同體積含水率的單位土體重度γ可表述為

圖5 非飽和區土條重度示意圖Fig.5 Schematic diagram of soil strip weight in unsaturated zone

式中：γi和γs為初始重度和飽和重度，kN/m3。

非飽和區自重應力為

在降雨強度控制階段中，當土體內僅有非飽和區時，非飽和區厚度zw即為濕潤鋒深度zf，此時，邊坡安全系數Fs為

在土體入滲能力控制階段中，當土體內同時存在非飽和區及飽和區時，分別計算不同交界面的安全系數。以飽和區和非飽和區的交界面為滑動面時的邊坡安全系數Fs1可表示為

其中：σn=γszs；τm=γszstanβ；zs為飽和區深度，m；c″為考慮浸水軟化后的有效黏聚力，kPa；φ″為考慮浸水軟化后的有效內摩擦角，(°)。

以濕潤鋒面為滑動面時的邊坡安全系數Fs2為

取Fs1與Fs2兩者的較小值為土體入滲能力控制階段的邊坡安全系數。

3 數值模擬

為對比Green-Ampt 模型、改進Green-Ampt 模型對某炭質泥巖粗粒土路堤邊坡在降雨條件下的濕潤鋒和邊坡穩定性動態變化規律，采用Geo-studio建立數值模型。模型采用seep/w 模塊進行滲流計算，應用Morgenstern-Price法對不同降雨時間下的邊坡穩定性進行分析。

該數值計算模型寬為29 m，高為16 m，路堤邊坡高為10 m，坡度為1.0:1.5；根據路堤所在地區，選取降雨強度為0.04 m/d。路堤填料力學參數和滲流特性參數如表1和表2所示。為考慮炭質泥巖的軟化效應，本文在路堤穩定性分析過程中，基于入滲模擬的結果、邊坡土層的飽水時間和飽和區深度，對炭質泥巖強度進行折減[4-5,26]，數值計算模型如圖6所示，單元數為1 489個，節點數為1 415個。邊坡坡面設置為降雨邊界，邊坡底部和兩側設置為不透水邊界。同時，將邊坡表面設置為潛在滲流面，邊坡表面陰影線部分為強度折減區域，根據入滲深度和飽和時間對該層土體進行強度折減，邊坡表面垂直邊坡的黑色直線為入滲深度監測曲線。

表1 炭質泥巖粗粒土物理力學參數Table 1 Physical and mechanical parameters of carbonaceous mudstone coarse-grained soil

表2 炭質泥巖粗粒土滲流特性參數Table 2 seepage characteristics parameters of carbonaceous mudstone coarse-grained soil

圖6 數值計算模型Fig.6 Numerical calculation model

4 結果分析

Green-Ampt 模型、改進Green-Ampt 模型以及邊坡降雨入滲數值模擬中的入滲深度(濕潤鋒深度)和時間的關系如圖7所示。從圖7可以看出：改進的Green-Ampt 模型得到的入滲深度處于Green-Ampt 模型計算結果與數值模擬計算結果之間；當降雨時間較短(t<1 d)時，改進前后的Green-Ampt模型和數值分析模型計算得到的濕潤鋒深度相差較小，而隨著降雨時間逐漸增加，這3種方法計算的濕潤鋒深度差值開始增加；當降雨時間為15 d時，數值計算得到的濕潤鋒深度比改進Green-Ampt 模型所得到濕潤鋒深度大0.57 m 左右；當降雨時間增加到30 d時，兩者差值增大到0.76 m，之后差值并基本趨于穩定；而Green-Ampt 模型計算的濕潤鋒深度與改進后的Green-Ampt 模型和數值模擬計算得到的濕潤鋒深度的差值不斷擴大；改進后的Green-Ampt 模型與數值模擬得到的濕潤鋒推進速率(即圖7中各曲線斜率)隨著降雨時間增加而逐漸減小，最后基本相同，這是因為入滲速率與滲透系數和水力梯度有關，改進后的Green-Ampt 模型與數值模擬考慮了傾角對水力梯度、非飽和區對滲透系數的影響，而Green-Ampt 模型得到的入滲速率較大。

圖7 濕潤鋒深度與時間的關系Fig.7 Relationship between depth of wet front and time

Green-Ampt 模型、改進Green-Ampt 模型以及數值分析中邊坡安全系數隨降雨入滲時間t的變化關系如圖8所示。從圖8可以看出：隨著降雨時間t增加，這3 種方法計算的安全系數均不斷降低；Green-Ampt 模型、改進的Green-Ampt 模型與數值模擬所計算的安全系數分別在t=1.5 d附近和t=2.5 d附近相交；當降雨時間小于10 d 時，改進前后的Green-Ampt模型所計算的安全系數隨降雨時間增加而迅速降低，而數值模擬計算安全系數則在t=2.0 d之前先緩慢降低之后迅速下降；當降雨時間大于10 d 時，這3 種方法計算的邊坡安全系數均趨于穩定。

圖8 邊坡安全系數與時間的關系Fig.8 Relationship between slope safety factor of wet front and time

隨著降雨時間增加，Green-Ampt模型所得安全系數最先降至1.0以下，而后是改進的Green-Ampt模型，最后是數值模擬，最終Green-Ampt 模型、改進的Green-Ampt 模型和數值模擬所得安全系數分別穩定在0.68，0.78和0.89附近，前者比后兩者分別低0.10和0.21，且改進的Green-Ampt模型計算得到的安全系數始終高于Green-Ampt 模型計算得到的安全系數。

從上述分析可得改進的Green-Ampt 可以應用于邊坡穩定分析，相應步驟為：1)確定降雨強度以及邊坡初始含水率；2)根據改進的Green-Ampt 模型估算不同入滲時間對應的入滲深度；3)根據邊坡穩定性計算方法得到相應深度下的安全系數；4)根據時間、深度的對應關系得到降雨時間下的邊坡安全系數。

5 結論

1)改進的Green-Ampt 模型得到的入滲深度小于Green-Ampt 模型的計算結果而大于數值模擬計算結果，且隨著降雨時長增加，由改進的Green-Ampt 模型所得入滲深度與數值模擬計算的入滲深度差值趨于穩定，穩定在0.76 m左右。

2)在濕潤鋒深度和時間的關系曲線中，三者的濕潤鋒推進速率不斷減小，慢慢趨于穩定；改進的Green-Ampt模型和數值模擬得到的濕潤鋒推進速率較一致。

3)隨著降雨入滲時間不斷增大，不同方法計算的邊坡安全系數不斷減小，最終均趨于穩定。改進的Green-Ampt模型得到的邊坡安全系數介于Green-Ampt 模型計算結果和數值模擬計算結果之間。初始模型比改進之后的模型和數值模擬得到的邊坡安全系數最終分別低0.10和0.21。