徐 晶,高紅亮
(蘭州交通大學 數理學院,甘肅 蘭州 730070)
常微分方程邊值問題是微分方程理論研究中的一個重要問題,在彈性力學和工程物理等領域中應用廣泛,對其正解研究受到許多學者關注[1-10]。
2008年,Li[1]等運用不動點指數理論和臨界群研究了四階微分方程邊值問題
(1)
解的存在性,其中f∈C([0,1]×R,R)且對任意的x∈[0,1],f(x,·)在R上單調遞增。2009年,郭建敏等[3]運用Morse理論和Brezis-Nirenberg理論研究了四階微分方程邊值問題
(2)
2015年,Vrabel[5]運用上下解方法研究了兩端簡單支撐的靜態梁方程邊值問題
(3)
解的存在性,其中參數k1 (4) 引理1[8]設P是實Banach空間B中的錐,若映射α:P→[0,+∞)是連續的且 α(tx+(1-t)x)≥(≤)tα(x)+(1-t)α(x),x,y∈P,t∈[0,1], 則稱映射α是凹(凸)泛函。 令β,γ和θ是錐P上的非負連續凸泛函,α和Ψ是錐P上的非負連續凹泛函,對于非負實數d,p和q,定義集合: P(γ,r)={y∈P|γ(y) Q(γ,β,d,r)={y∈P|β(y)≤d,γ(y)≤r},P(γ,θ,α,p,q,r)={y∈P|α(y)≥p,θ(y)≤q,γ(y)≤r}。 引理2[8]設P是實Banach空間B中的錐,α,γ是錐P上的非負連續增泛函,θ是錐P上的非負連續泛函且滿足θ(0)=0。對于任意正數r,存在正數M,使得 假設存在正數p,q滿足p θ(λy)≤λθ(y),λ∈[0,1],y∈?P(θ,q)。 (ⅰ)α(Ty)>r,y∈?P(α,r); (ⅱ)θ(Ty) (ⅲ)P(γ,p)≠?且γ(Ty)>p,y∈?P(γ,p)。 γ(y1)>p,θ(y1) 引理3[8]設P是實Banach空間B中的錐,r和M是正數。假設α,Ψ是錐P上的非負連續凹函數,γ,β和θ是錐P上的非負連續凸泛函且滿足 (ⅰ) {y∈P(γ,θ,α,p,q,r)|α(y)>p}≠?且α(Ty)>p,y∈P(γ,θ,α,p,q,r); (ⅱ) {y∈P(γ,β,Ψ,h,q,r)|β(y) (ⅲ)α(Ty)>p,y∈P(γ,α,p,r)且θ(Ty)>q; (ⅳ)β(Ty) 本文假設f:[0,1]×[0,+∞)→[0,∞)是連續函數。 其中 容易驗證Gi(x,s)有如下性質: (ⅰ)Gi(x,s)>0,x,s∈[0,1]; (ⅱ)k1i(x)Gi(s,s)≤Gi(x,s)≤Gi(s,s),x,s∈[0,1],其中 P={y∈C[0,1]|y(x)≥0,y(x)≥k11(x)δ2m2‖y‖}, 定義算子T:P→P為 定理1假設存在常數p,q,r滿足0 則問題(4)至少存在兩個正解y1,y2,滿足 證明令 易知α,γ是P中的非負連續增泛函,θ是P上的非負連續泛函且θ(0)=0,ni≥mi。對任意y∈P,可知 易證T:P→P為全連續算子。下證引理2中的條件(ⅰ)~(ⅲ)成立。 首先,對任意y∈?P(α,r),有 θ(y)=q≥α(y)≥δ1δ2n1m2γ(y), 最后,可知 P(γ,p)={y∈P|‖y‖ 且對任意y∈?P(γ,p),即‖y‖=p,有α(y)≥δ1δ2n1m2p,根據條件(ⅲ)可得 綜上,由引理2可知,問題(4)至少存在兩個正解y1,y2,滿足 則問題(4)至少存在三個正解y1,y2,y3滿足不等式 證明令 易知α,Ψ是P中的非負連續凹泛函,γ,β,θ是P中的非負連續凸泛函,ni≥mi。 取y=δ1δ2n1m2q,顯然y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)。因為β(y)=δ1δ2n1m2q {y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r)|β(y) 對任意y∈P(γ,β,Ψ,δ1δ2n1m2q,q,r),根據條件(ⅱ)可得 令y∈Q(γ,β,q,r)使得Ψ(Ty)<δ1δ2n1m2q,則 綜上,由引理3可知,問題(4)至少存在三個正解y1,y2,y3滿足 例1考慮四階微分方程Neumann問題 正解的存在性,其中w1=2,w2=1,k1 (1)若非線性項f的形式為 綜上,在此條件下,邊值問題至少有兩個正解y1,y2滿足 (2)若非線性項f的形式為 綜上,在此條件下,邊值問題至少有三個正解y1,y2,y3滿足 例2考慮四階微分方程Neumann問題 (1)若非線性項f的形式為 綜上,在此條件下,邊值問題至少有兩個正解y1,y2滿足 (2)若非線性項f的形式為 綜上,在此條件下,邊值問題至少有三個正解y1,y2,y3滿足1 預備知識
2 主要結果
3 主要應用