研究生課程有限元方法的案例庫建設

張可維 胡志剛

摘要：有限元案例庫引入了自制的機械模型實物，使學生首先從數學模型層面上理解有限元思想，然后在編程過程中掌握有限元分析的技術細節，最后在機械模型驗證中鞏固所學知識。將12個工程問題有限元分析實例引入案例庫，提高了學生應用有限元方法去分析解決實際工程問題的能力。

關鍵詞：案例庫;有限元方法;MATLAB編程

前言

案例教學（Case Method）是一種將實際問題與理論研究相結合，以實際案例為依據，強調學生自主學習、自主探究，從而激發學生興趣，提高學生運用理論解決實際問題能力的教學方法。該方法由美國哈佛法學院前院長C.C.Langdell于1870年首創，后經哈佛企管研究所所長W.B.Doham推廣，在20世紀80年代引入我國。它已經得到世界許多地方認可，被視為代表未來教育方向的一種成功教育方法。中國高校工作者結合自己所上課程的特點，已逐步開展了案例庫建設，推行了案例教學的教學方式[1，2]。有限元方法能顯著提高學生分析解決實際工程問題的能力，促使教育工作者深入思考相關教學工作[3，4]，已經出現了有限元案例教學方面的積極探索[5-7]。由于有限元分析這種高級的工科案例教學應該包含實驗數據，這帶來成本和操作復雜性方面的問題，因此深入探索有限元案例教學是十分具有挑戰性的研究方向。

一、有限元案例庫建設實踐

1.特點

本有限元案例庫引入自制的機械模型實物，使學生首先從數學模型層面上理解有限元思想，然后在編程過程中掌握有限元分析的技術細節，最后在機械模型驗證中鞏固所學知識，從而切實提高學生將有限元方法用于實際工程分析的能力。在實踐中，理論分析結果與實物模型數據可能存在較大差距。這種數據誤差差距來源有很多：受成本限制的機械制造裝配精度不高、材料不均勻導致物理參數不準確、幾何測量誤差導致模型數據不準確等等。因此，本案例庫主要引入了彈簧、六角扳手、簡支梁等簡單機械對象，以降低數據誤差對分析可信度的影響。

2.教材與補充書目

本案例庫教學所用教材為P.I.Kattan著的《MATLAB有限元分析與應用》，補充書目是Daryl L.Logan著的《有限元方法基礎教程》。教材采用了當今在工程教育方面非常流行的數學軟件MATLAB來進行有限元分析和應用，由淺入深、循序漸進地介紹了多種有限元單元及其分析與應用方法。本書特別強調基礎理論和軟件交互，書中的每個示例都提供分步求解，有利于讀者入門。補充書目中提供了大量取自機械工程、土木丁程、航空航天工程和材料科學的示例和習題，有很高的工程應用價值。

3.有限元案例庫內容

有限元案例庫由12個工程問題有限元分析案例組成，每個案例包含配套的教學文檔，其中一些簡單案例還配有自制的機械實物。完整的案例學習要求學生利用有限元分析方法為該機械實物建立有限元模型，并仿真計算出一些典型力學指標數值，然后用實驗加以驗證，最后給出分析報告解釋仿真實驗結果和實際實驗結果之間的差異來源。12個案例的內容如表1所示：

4.學時分配

本有限元案例庫由12個工程問題有限元分析案例組成，每個案例需要2學時，總共需要24學時完成案例教學。

二、彈簧元案例主要內容

彈簧元是最基本的有限元單元。實物彈簧的剛度以及在外力作用下的變形均可測。首先給出彈簧元剛度矩陣公式，然后給出該剛度矩陣的理論推導過程，接著用Matlab語言編寫剛度矩陣生成函數和系統剛度矩陣裝配函數，最后用Matlab語言編寫有限元分析程序調用這兩個函數，實現對單個彈簧受力問題的有限元分析。計算結果可以與實驗結果比對驗證，增強感性認識。

彈簧元剛度矩陣的理論推導如下。首先在彈簧符號上建立局部坐標軸、為節點編號、標出局部節點力和局部節點位移、標出彈簧屬性，最終得到帶有約定正向節點位移的彈簧元模型，如圖1所示。

不妨設彈簧元在拉力T的作用發生伸長變形，表現在節點位移產生變化，如圖2所示。

通過以上有限元分析可進一步編寫Matlab有限元分析程序模板代碼。

結語

通過有限元案例庫的建設和案例教學實踐的應用，可以促進研究生對工程實際問題的理解，因此案例庫的建設具有促進學生掌握先進科學知識的積極意義。專業學位研究生在學習使用軟件工具進行有限元分析的過程中，鍛煉和提高了自身運用計算機解決工程問題的能力。案例庫的建設和應用在改革和創新專業學位研究生教學模式、明確案例教學的地位和作用等多個方面提供了具體的理論依據和實踐經驗。

參考文獻

[1]朱本偉，倪芳，熊強，姚忠，孫蕓.生物分離工程課程教學案例庫的建設與應用探索[J].食品與發酵科技，2021，57（01）：134-138.

[2]任立海，胡遠志，陳浩，肖明楊.汽車碰撞安全開發案例庫建設與教學實踐[J].科技經濟導刊，2021，29（06）：157-158+161.

[3]伍建偉，蔣占四，劉夫云，莊未.機械專業有限元原理及應用課程教學改革研究[J].科技創新導報，2017，14（05）：193-194+196.

[4]徐榮橋，楊仲軒，呂朝鋒.MATLAB在有限元教學中的應用與實踐[J].力學與實踐，2010，32（04）：101-103.

作者簡介：張可維，1973年3月，男，漢族，湖北省武漢市，副教授，工學博士，智能機械。